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Milieu d'un segment, norme d'un vecteur et distance entre deux points

\(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\)

Sommaire

Milieu d'un segment✎ ☛ Un point est-il le milieu d'un segment ?Norme d'un vecteur et distance entre deux points

Milieu d'un segment

Propriété
On se place dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 du plan.
On considère deux points
A(xA;yA)\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)A(xA​;yA​)
 et
B(xB;yB)\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)B(xB​;yB​)
.
Lemilieudu segment
[AB][\text{AB}][AB]
 est le point
M(xA+xB2;yA+yB2)\boxed{\text M \left(\dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2} \right)}M(2xA​+xB​​;2yA​+yB​​)​
 .
Démonstration
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 du plan, on considère deux points
A(xA;yA)\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)A(xA​;yA​)
 et
B(xB;yB)\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)B(xB​;yB​)
.
Soit
M(xM;yM)\text M\left( x_{\text M} ; y_{\text M} \right)M(xM​;yM​)
 le milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
. Alors le point 
M\text MM
vérifie l'égalité
AM→=MB→\overrightarrow{\text{AM}} = \overrightarrow{\text{MB}}AM=MB
.
Or, on a
AM→(xM−xAyM−yA)\overrightarrow{\text{AM}} \begin{pmatrix} x_{\text M} - x_{\text A}\\ y_{\text M} - y_{\text A} \end{pmatrix}AM(xM​−xA​yM​−yA​​)
 et
MB→(xB−xMyB−yM)\overrightarrow{\text{MB}} \begin{pmatrix} x_{\text B} - x_{\text M}\\ y_{\text B} - y_{\text M} \end{pmatrix}MB(xB​−xM​yB​−yM​​)
.
Les vecteurs
AM→\overrightarrow{\text{AM}}AM
 et
MB→\overrightarrow{\text{MB}}MB
 étant égaux, ils ont les mêmes coordonnées.
On obtient le système suivant :
{xM−xA=xB−xMyM−yA=yB−yM  ⟺  {2×xM=xA+xB2×yM=yA+yB  ⟺  {xM=xA+xB2yM=yA+yB2\begin{cases} x_{\text M} - x_{\text A} = x_{\text B} - x_{\text M} \\ y_{\text M} - y_{\text A} = y_{\text B} - y_{\text M} \\ \end{cases} \iff \begin{cases} 2 \times x_{\text M} = x_{\text A} + x_{\text B} \\ 2 \times y_{\text M} = y_{\text A} + y_{\text B} \\ \end{cases} \iff \begin{cases} x_{\text M} = \dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} \\ y_{\text M} = \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2} \\ \end{cases}{xM​−xA​=xB​−xM​yM​−yA​=yB​−yM​​⟺{2×xM​=xA​+xB​2×yM​=yA​+yB​​⟺⎩⎨⎧​xM​=2xA​+xB​​yM​=2yA​+yB​​​
On peut conclure que
M(xA+xB2;yA+yB2)\boxed{\text M \left( \dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2}\right)}M(2xA​+xB​​;2yA​+yB​​)​
 .
Exemple
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 du plan, on considère deux points
A(−1 ;5)\text A \left( \color{green}{-1}~ ; \color{red}{5}\right)A(−1 ;5)
 et
B(3 ;−7)\text B \left( \color{blue}{3}~ ; \color{orange}{-7}\right)B(3 ;−7)
.
On détermine les coordonnées du point
M\text MM
, milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
.
Alors on a
M(xA+xB2;yA+yB2)\text M \left( \dfrac{\color{green}{x_{\text A}} + \color{blue}{x_{\text B}}}{2} ; \dfrac{\color{red}{y_{\text A}} + \color{orange}{y_{\text B}}}{2} \right)M(2xA​+xB​​;2yA​+yB​​)
soit 
M(−1+32;5+(−7)2)\text M \left( \dfrac{\color{green}{-1} + \color{blue}{3}}{2} ; \dfrac{\color{red}{5} + (\color{orange}{-7})}{2} \right)M(2−1+3​;25+(−7)​)
soit
M(1 ;−1)\boxed{\text M \left( 1~ ; -1 \right)}M(1 ;−1)​
.

✎ ☛ Un point est-il le milieu d'un segment ?

Méthode
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 du plan, on considère deux points
A(xA;yA)\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A} \right)A(xA​;yA​)
 et
B(xB;yB)\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B} \right)B(xB​;yB​)
.
On demande si un point
M\text MM
 de coordonnées données est le milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
.
1.On appelle 
K\text KK
le milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
et on calcule ses coordonnées.
2.On compare les coordonnées du point
K\text KK
 avec celles du point
M\text MM
.
3.On conclut : si les coordonnées des points
M\text MM
 et
K\text KK
 sont égales, alors les points 
M\text MM
 et
K\text KK
 sontconfonduset le point
M\text MM
 est le milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
 ; sinon, le point
M\text MM
 n'est pas le milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
.
Énoncé
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
 du plan, on considère trois points
A(−3 ;5)\text A \left( -3~ ; 5 \right)A(−3 ;5)
,
B(1 ;7)\text B \left( 1~ ; 7 \right)B(1 ;7)
 et
C(9 ;−1)\text C \left( 9~ ; -1 \right)C(9 ;−1)
.
1.Le point
M(−1 ;6)\text M \left( -1~ ; 6 \right)M(−1 ;6)
 est-il le milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
 ?
2.Le point
N(2 ;3)\text N \left( 2~ ; 3 \right)N(2 ;3)
 est-il le milieu du segment
[AC][\text{AC}][AC]
 ?
Solution
1.On appelle
K\text KK
 le milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
. Alors on a
K(xA+xB2;yA+yB2)\text K \left( \dfrac{x_{\text A} + x_{\text B}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text B}}{2} \right)K(2xA​+xB​​;2yA​+yB​​)
.
Donc
K(−3+12;5+72)\text K \left( \dfrac{-3 + 1}{2} ; \dfrac{5 + 7}{2} \right)K(2−3+1​;25+7​)
 soit
K(−1 ;6)\text K \left( -1~; 6 \right)K(−1 ;6)
. Les points
K\text KK
 et
M\text MM
 sont confondus.
Donc le point
M\text MM
 est le milieu du segment
[AB][\text{AB}][AB]
.
2.On appelle
L\text LL
 le milieu du segment
[AC][\text{AC}][AC]
. Alors on a
L(xA+xC2;yA+yC2)\text L \left( \dfrac{x_{\text A} + x_{\text C}}{2} ; \dfrac{y_{\text A} + y_{\text C}}{2} \right)L(2xA​+xC​​;2yA​+yC​​)
.
Donc
L(−3+92;5+(−1)2)\text L \left( \dfrac{-3 + 9}{2} ; \dfrac{5 + (-1)}{2} \right)L(2−3+9​;25+(−1)​)
 soit
L(3 ;2)\text L \left( 3~ ; 2 \right)L(3 ;2)
. Les points
L\text LL
 et
N\text NN
 ne sont pas confondus.
Donc le point
N\text NN
 n'est pas le milieu du segment
[AC][\text{AC}][AC]
.

Norme d'un vecteur et distance entre deux points

Propriété
Dans une baseorthonormée
(i→,j→)\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(i,j​)
 du plan, on considère un vecteur
u→(xy)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x\\ y \\ \end{pmatrix}u(xy​)
.
La norme du vecteur
u→\overrightarrow{u}u
 est donnée par
∣∣u→∣∣=x2+y2\boxed{\lvert\lvert \overrightarrow{u} \rvert \rvert = \sqrt{x^2 + y^2}}∣∣u∣∣=x2+y2​​
 .
Exemple
Soit
u→(5−2)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ -2\\ \end{pmatrix}u(5−2​)
. On a
∣∣u→∣∣=52+(−2)2=25+4=29\lvert\lvert \overrightarrow{u} \rvert \rvert = \sqrt{5^2 + (-2)^2} = \sqrt{25+4} = \sqrt{29}∣∣u∣∣=52+(−2)2​=25+4​=29​
.
Propriété
Dans un repèreorthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
, on considère deux points
A(xA;yA)\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)A(xA​;yA​)
 et
B(xB;yB)\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)B(xB​;yB​)
.
Ladistanceentre les points
A\text AA
 et
B\text BB
 est donnée par 
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\boxed{\text{AB} = \sqrt{\left(x_{\text B} - x_{\text A} \right)^2 +\left( y_{\text B} - y_{\text A}\right)^2}}AB=(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2​​
 .
Démonstration(partielle)
Dans un repèreorthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
, on considère deux points
A(xA;yA)\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text A}\right)A(xA​;yA​)
 et
B(xB;yB)\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text B}\right)B(xB​;yB​)
.
Supposons que
0⩽xA<xB0 \leqslant x_{\text A} < x_{\text B}0⩽xA​<xB​
 et
0⩽yA<yB0 \leqslant y_{\text A} <y_{\text B}0⩽yA​<yB​
(la démonstration est analogue dans les autres cas).
On pose
C(xB;yA)\text C \left(x_{\text B} ; y_{\text A} \right)C(xB​;yA​)
.
Ainsi, le triangle
ABC\text{ABC}ABC
 est rectangle en
C\text CC
 et on a
AC=xB−xA\text{AC} = x_{\text B} - x_{\text A}AC=xB​−xA​
 et
BC=yB−yA\text{BC} = y_{\text B} - y_{\text A}BC=yB​−yA​
.
D'après le théorème de Pythagore, on a
AB2=AC2+BC2\text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2AB2=AC2+BC2
 soit
AB2=(xB−xA)2+(yB−yA)2\text{AB}^2 = \left(x_{\text B} - x_{\text A} \right)^2 + \left( y_{\text B} - y_{\text A} \right)^2AB2=(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2
.
Une distance étant positive, on obtient :
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\boxed{\text{AB} = \sqrt{\left(x_{\text B} - x_{\text A} \right)^2 +\left( y_{\text B} - y_{\text A}\right)^2}}AB=(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2​​
.
Exemple
Dans un repèreorthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
, on considère deux points
A(−1 ;5)\text A \left( \color{green}{-1} ~; \color{red}{5}\right)A(−1 ;5)
 et
B(3 ;−7)\text B \left( \color{blue}{3}~ ; \color{orange}{-7}\right)B(3 ;−7)
.
On a
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\text{AB} = \sqrt{\left(\color{blue}{x_{\text B}} - \color{green}{x_{\text A}} \right)^2 +\left( \color{orange}{y_{\text B}} - \color{red}{y_{\text A}}\right)^2}AB=(xB​−xA​)2+(yB​−yA​)2​
soit
AB=(3−(−1))2+(−7−5)2\text{AB} = \sqrt{\left(\color{blue}{3} - (\color{green}{-1}) \right)^2 +\left( \color{orange}{-7} - \color{red}{5}\right)^2}AB=(3−(−1))2+(−7−5)2​
soit
AB=410\boxed{\text{AB} = 4\sqrt{10}}AB=410​​
.