Dans un repère orthonormé
du plan, on considère les points
,
,
et
.
1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs
et
.b. En déduire si les droites
et
sont parallèles ou non.
2. a. Calculer les coordonnées des vecteurs
et
.b. En déduire si les droites
et
sont parallèles ou non.
3. À l'aide des questions 1. b. et 2. b., déterminer la nature du quadrilatère
.
** Déterminer les coordonnées d'un point
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
.
On considère les points
et
,où
.
Existe-t-il une valeur de
telle que les droites
et
sont parallèles ?
** Droites parallèles
Soit
un triangle. On considère les points
et
tels que :
- \(\overrightarrow{\text{AE}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}\) ;
- \(\overrightarrow{\text{ED}}= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{EC}}\) ;
- \(\overrightarrow{\text{BF}}= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{BC}}+\dfrac{5}{6}\overrightarrow{\text{AB}}\).
1.Exprimer le vecteur
en fonction des vecteurs
et
.
2.Faire une figure et placer les points
et
.
3.Démontrer que
.
4.Démontrer que les droites
et
sont parallèles.
☛ ** Points alignés
Énoncé
Soit
un triangle.
Les points
et
sont définis respectivement par
et
.
1.Démontrer que
.
2.Exprimer le vecteur
en fonction des vecteurs
et
.
3.Démontrer que les points
et
sont alignés.
Solution
1.On a
donc
d'après la relation de Chasles.
Ainsi,
soit
(car
).
2.On a
donc
d'après la relation de Chasles.
Ainsi,
soit
(car
et
).
3. On a
donc les vecteurs
et
sont colinéaires.
Les points
sont alignés.
*** Repère-toi bien !
Soit
un triangle d'aire non nulle. On considère les points
et
définis par :
- \(\text{E}\) est le milieu du segment\([\text{AC}]\) ;
- \(\overrightarrow{\text{AF}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}}\) ;
- \(\text{G}\) est le symétrique du point\(\text{B}\) par rapport au point\(\text{C}\).
On se place dans le repère
du plan.
1.Faire une figure et placer les points
et
.
2. a.Démontrer, en utilisant deux relations de Chasles, que
.b.En déduire les coordonnées du point
dans le repère
.
3.En suivant la même méthode que précédemment, déterminer les coordonnées des points
et
dans le repère
.
4.Démontrer que les points
et
sont alignés.