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Colinéarité de deux vecteurs et applications

Dans un repère orthonormé 

Sommaire

* Colinéarité et quadrilatère** Déterminer les coordonnées d'un point** Droites parallèles☛ ** Points alignés*** Repère-toi bien !

* Colinéarité et quadrilatère

Dans un repère orthonormé 
(O,i→,j→)\left( \text O , \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O,i,j​)
 du plan, on considère les points 
A(−1;7)\text A \left( -1;7 \right)A(−1;7)
, 
B(5;3)\text B \left( 5;3 \right)B(5;3)
, 
C(−6;1)\text C \left( -6; 1 \right)C(−6;1)
 et 
D(3;−5)\text D \left( 3; -5\right)D(3;−5)
.
1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs 
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et 
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
.b. En déduire si les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(CD)(\text{CD})(CD)
 sont parallèles ou non.
2. a. Calculer les coordonnées des vecteurs 
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
 et 
BD→\overrightarrow{\text{BD}}BD
.b. En déduire si les droites 
(AC)(\text{AC})(AC)
 et 
(BD)(\text{BD})(BD)
 sont parallèles ou non.
3. À l'aide des questions 1. b. et 2. b., déterminer la nature du quadrilatère 
ABDC\text{ABDC}ABDC
.

** Déterminer les coordonnées d'un point

Le plan est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→)\left(\text{O}~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
.
On considère les points 
A(2 ;−3),B(−2 ;1),C(−5 ;−2)\text{A}(2~;-3), \text{B}(-2~;1), \text{C}(-5~;-2)A(2 ;−3),B(−2 ;1),C(−5 ;−2)
 et 
D(−1 ;α2)\text{D}(-1~;\alpha^2)D(−1 ;α2)
,où 
α∈R\alpha \in \mathbb{R}α∈R
.
Existe-t-il une valeur de 
α\alphaα
 telle que les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(CD)(\text{CD})(CD)
sont parallèles ?

** Droites parallèles

Soit
ABC\text{ABC}ABC
un triangle. On considère les points
E, D\text{E, D}E, D
et
F\text{F}F
 tels que :
  • \(\overrightarrow{\text{AE}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}\) ;
  • \(\overrightarrow{\text{ED}}= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{EC}}\) ;
  • \(\overrightarrow{\text{BF}}= \dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{BC}}+\dfrac{5}{6}\overrightarrow{\text{AB}}\).
1.Exprimer le vecteur 
ED→\overrightarrow{\text{ED}}ED
 en fonction des vecteurs 
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et 
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
.
2.Faire une figure et placer les points 
E, D\text{E, D}E, D
et
F\text{F}F
.
3.Démontrer que 
BF→=13AB→+12AC→\overrightarrow{\text{BF}}= \dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{AC}}BF=31​AB+21​AC
.
4.Démontrer que les droites 
(DE)(\text{DE})(DE)
 et 
(BF)(\text{BF})(BF)
 sont parallèles.

☛ ** Points alignés

Énoncé
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle.
Les points 
D\text{D}D
 et 
E\text{E}E
 sont définis respectivement par 
BD→=AB→−AC→\overrightarrow{\text{BD}}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}BD=AB−AC
 et 
CE→=4BA→+AC→\overrightarrow{\text{CE}} = 4\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}}CE=4BA+AC
.
1.Démontrer que 
AD→=2AB→−AC→\overrightarrow{\text{AD}}= 2\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}AD=2AB−AC
.
2.Exprimer le vecteur 
AE→\overrightarrow{\text{AE}}AE
 en fonction des vecteurs 
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et 
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
.
3.Démontrer que les points 
A, D\text{A, D}A, D
 et 
E\text{E}E
 sont alignés.
Solution
1.On a
BD→=AB→−AC→\overrightarrow{\text{BD}}= \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}BD=AB−AC
 donc
BA→+AD→=AB→−AC→\overrightarrow{\text{BA}} + \overrightarrow{\text{AD}} = \overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}BA+AD=AB−AC
 d'après la relation de Chasles.
    Ainsi,
AD→=AB→−AC→−BA→\overrightarrow{\text{AD}}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{BA}}AD=AB−AC−BA
 soit
AD→=2AB→−AC→\boxed{\overrightarrow{\text{AD}}= 2\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AC}}}AD=2AB−AC​
(car
−BA→=AB→-\overrightarrow{\text{BA}} = \overrightarrow{\text{AB}}−BA=AB
).
2.On a
CE→=4BA→+AC→\overrightarrow{\text{CE}}= 4\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}}CE=4BA+AC
 donc
CA→+AE→=4BA→+AC→\overrightarrow{\text{CA}} + \overrightarrow{\text{AE}} = 4\overrightarrow{\text{BA}}+\overrightarrow{\text{AC}}CA+AE=4BA+AC
 d'après la relation de Chasles.
    Ainsi,
AE→=4BA→−AC→−CA→\overrightarrow{\text{AE}}= 4\overrightarrow{\text{BA}}-\overrightarrow{\text{AC}} - \overrightarrow{\text{CA}}AE=4BA−AC−CA
 soit
AE→=−4AB→+2AC→\boxed{\overrightarrow{\text{AE}}= -4\overrightarrow{\text{AB}}+2\overrightarrow{\text{AC}}}AE=−4AB+2AC​
(car
BA→=−AB→\overrightarrow{\text{BA}} = -\overrightarrow{\text{AB}}BA=−AB
 et
−CA→=AC→-\overrightarrow{\text{CA}} = \overrightarrow{\text{AC}}−CA=AC
).
3. On a 
AE→=−2AD→\overrightarrow{\text{AE}}=-2\overrightarrow{\text{AD}}AE=−2AD
 donc les vecteurs 
AE→\overrightarrow{\text{AE}}AE
 et 
AD→\overrightarrow{\text{AD}}AD
 sont colinéaires.
Les points 
A, E et D\text{A, E et D}A, E et D
sont alignés.

*** Repère-toi bien !

Soit
ABC\text{ABC}ABC
un triangle d'aire non nulle. On considère les points
E, F\text{E, F}E, F
et
G\text{G}G
définis par :
  • \(\text{E}\) est le milieu du segment\([\text{AC}]\) ;
  • \(\overrightarrow{\text{AF}}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{\text{AB}}\) ;
  • \(\text{G}\) est le symétrique du point\(\text{B}\) par rapport au point\(\text{C}\).
On se place dans le repère 
(B ;BC→,BA→)\left(\text{B}~ ; \overrightarrow{\text{BC}} ,\overrightarrow{\text{BA}} \right)(B ;BC,BA)
du plan.
1.Faire une figure et placer les points
E, F\text{E, F}E, F
et
G\text{G}G
.
2. a.Démontrer, en utilisant deux relations de Chasles, que 
BE→=12BC→+12BA→\overrightarrow{\text{BE}}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{BC}}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{\text{BA}}BE=21​BC+21​BA
.b.En déduire les coordonnées du point 
E\text{E}E
 dans le repère 
(B ;BC→,BA→)\left(\text{B}~ ; \overrightarrow{\text{BC}} ,\overrightarrow{\text{BA}} \right)(B ;BC,BA)
.
3.En suivant la même méthode que précédemment, déterminer les coordonnées des points
F\text{F}F
 et 
G\text{G}G
 dans le repère
(B ;BC→,BA→)\left(\text{B}~ ; \overrightarrow{\text{BC}} ,\overrightarrow{\text{BA}} \right)(B ;BC,BA)
.
4.Démontrer que les points
E, F\text{E, F}E, F
et
G\text{G}G
 sont alignés.