Milieu d'un segment, distance entre deux points

Énoncé
Dans un repère orthonormé

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les points

\text T \left( -3~;3 \right)

,

\text U \left( 4~;-1 \right)

et

\text V \left( 1~;5 \right)

. Le point

\text V

 est-il le symétrique du point

\text T

 par rapport au point

\text U

?

Solution

Il s'agit de déterminer si le point

\text U

est le milieu du segment

[\text{TV}]

.

Soit

\text M

 le milieu du segment

[\text{TV}]

.

Alors on a

\text M \left( \dfrac{x_{\text{T}} + x_{\text{V}}}{2} ; \dfrac{y_{\text{T}} + y_{\text{V}}}{2} \right)

 soit

\text M \left( \dfrac{-3 + 1}{2} ; \dfrac{3 + 5}{2} \right)

 soit

\text M \left( -1 ; 4 \right)

.

On constate que les points

\text U

et

\text M

 ne sont pas confondus.

Donc le point

\text U

 n'est pas le milieu du segment

[\text{TV}]

.
Le point

\text V

n'est pas le symétrique du point

\text T

 par rapport au point

\text U

.

Dans un repère orthonormé

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les points

\text A \left( \dfrac{3}{2}~ ; \dfrac{1}{3} \right)

,

\text B \left( -\dfrac{5}{4}~ ; \dfrac{4}{3} \right)

et

\text C \left( \dfrac{1}{2} ~; -\dfrac{11}{6} \right)

.

1.Calculer les coordonnées du milieu

\text M

 du segment

[\text{AB}]

.

2.Calculer les coordonnées du milieu

\text N

 du segment

[\text{AC}]

.

3.Le point

\text A

 est-il le milieu du segment

[\text{BC}]

?

Dans un repère orthonormé

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les points

\text A \left( 14~;-27\right)

,

\text B \left( 67~;-59\right)

,

\text C \left( -43~;-9\right)

et

\text D \left( 10~;-41\right)

.

1.Calculer les coordonnées des milieux des segments

[\text{AD}]

et

[\text{BC}]

.

2.En déduire la nature du quadrilatère

\text{ABDC}

.

Dans un repère orthonormé

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les points

\text A \left( 113~ ; 141 \right)

,

\text B \left( 127 ~; 148 \right)

et

\text C \left( 117~ ; 143 \right)

.

1.Sans calculatrice, montrer que

\sqrt{20} + \sqrt{125} = \sqrt{245}

.

2.a.Calculer les longueurs

\text{AB}

,

\text{BC}

et

\text{AC}

.b.Les points

\text A

,

\text B

et

\text C

 sont-ils alignés ?

Soit 

\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}\right)

 un repère orthonormé du plan.
On considère les points 

\text{A}(-3~;2),~ \text{B}(-1~;-7),~ \text{C}(5~;0)

et

\text{D}(3~;9)

.
1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs 

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{DC}}

.
    b.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 

\text{ABCD}

?

2. a.Calculer les longueurs 

\text{AD}

et

\text{AB}

.
    b.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 

\text{ABCD}

?

3.En déduire la nature exacte du quadrilatère 

\text{ABCD}

.

Soit 

\left(\text{O} ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}\right)

 un repère orthonormé du plan.
On considère les points 

\text{A}(1~;2), \text{B}(2~;-1), \text{C}(-2~;1)

et

\text{D}(-1~;-2)

.

1. a.Calculer les coordonnées des vecteurs 

\overrightarrow{\text{AB}}

et

\overrightarrow{\text{CD}}

    b.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 

\text{ABDC}

?

2. a.Calculer les longueurs 

\text{AC}

et

\text{AB}

.
    b.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 

\text{ABDC}

?

3. a.Calculer la longueur 

\text{BC}

.
    b.Justifier que les droites 

(\text{AB})

et

(\text{AC})

 sont perpendiculaires.

4.En déduire la nature exacte du quadrilatère 

\text{ABDC}

.

Dans un repère orthonormé

\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les points

\text A \left( -5~;-2 \right)

,

\text B \left( -3~;4 \right)

et

\text C \left( 7~;-6 \right)

.

1.Placer les points

\text A

,

\text B

et

\text C

dans le repère ci-dessous.

2.Conjecturer la nature du triangle

\text{ABC}

.

3.Démontrer cette conjecture.

Dans un repère orthonormé

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les points

\text E \left( 3~;-1 \right)

,

\text F \left( 5~;1 \right)

,

\text G \left( 2~;2 \right)

et

\text H \left( 6~;-2 \right)

.

1.Placer les points

\text E

,

\text F

,

\text G

et

\text H

dans le repère ci-dessous.

2.Conjecturer la nature du quadrilatère

\text{EGFH}

.

3.Démontrer cette conjecture.

Dans un repère orthonormé

\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les points

\text P \left( -9~;-9 \right)

,

\text Q \left( -3~;-4 \right)

et

\text R \left( 10~;7 \right)

.

1.Placer les points

\text P

,

\text Q

et

\text R

dans le repère ci-dessous.

2.Conjecturer la position des points

\text P

,

\text Q

et

\text R

.

3.Démontrer cette conjecture.

Dans un repère orthonormé

\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)

du plan, on considère les points

\text A \left( -4~;2 \right)

,

\text B \left( 1~;5 \right)

,

\text C \left( 3~;-1 \right)

et

\text D \left( -2~;-4 \right)

.

1.Placer les points

\text A

,

\text B

,

\text C

et

\text D

dans le repère.

2.Conjecturer la nature du quadrilatère

\text{ABCD}

.

3.Calculer les coordonnées du milieu

\text M

du segment

[\text{AC}]

.

4.Calculer les coordonnées du milieu

\text N

du segment

[\text{BD}]

.

5.En déduire la nature du quadrilatère

\text{ABCD}

.

6.Calculer la distance

\text{AB}

.

7.Montrer que

\text{BC} = 2\sqrt{10}

.

8.Le quadrilatère

\text{ABCD}

est-il un losange ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé 

\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)

.
On considère les points

\text{A}(-6~; 3),~\text{B}(-4~;-1)

et

\text{F}(-4~; 3)

.
On note 

\mathscr{C}

 le cercle de diamètre 

[\text{AB}]

.

1.Soit 

\text{C}

 le centre du cercle 

\mathscr{C}

.
    a.Calculer les coordonnées de 

\text{C}

, puis déterminer le rayon 

r

 du cercle 

\mathscr{C}

.
    b.Le point 

\text{F}

 appartient-il au cercle 

\mathscr{C}

?

2.Soit 

\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ \end{pmatrix}

. On note 

t_{\overrightarrow{u}}

 la translation de vecteur 

\overrightarrow{u}

.
    On appelle

\text{A}',~ \text{B}'

et

\text{C}'

 les images respectives des points 

\text{A}, ~\text{B}

et

\text{C}

par

t_{\overrightarrow{u}}

.
    a.Justifier que 

\overrightarrow{\text{AA}'}=\overrightarrow{u}

. Déterminer les coordonnées du point

\text{A}'

.
    b. Déterminer les coordonnées des points 

\text{B}'

et

\text{C}'

.  c.Soit

\text{G}(1~;5)

. Démontrer que 

\text{G}

 est l'image de 

\text{F}

 par la translation 

t_{\overrightarrow{u}}

.

3.Quelle est l'image du cercle 

\mathscr{C}

 par la translation

t_{\overrightarrow{u}}

?

☛ * Symétrie centrale