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Milieu d'un segment, distance entre deux points

\(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\)

Sommaire

☛ * Symétrie centrale* Des fractions et des milieux* Milieux de segments et quadrilatère** Distances et points alignés* Nature d'un quadrilatère (1)* Nature d'un quadrilatère (2)** Nature d'un triangle** Nature d'un quadrilatère** Points alignés** Exercice de synthèse*** Cercle et translation

☛ * Symétrie centrale

Énoncé
Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
T(−3 ;3)\text T \left( -3~;3 \right)T(−3 ;3)
,
U(4 ;−1)\text U \left( 4~;-1 \right)U(4 ;−1)
 et
V(1 ;5)\text V \left( 1~;5 \right)V(1 ;5)
. Le point
V\text VV
 est-il le symétrique du point
T\text TT
 par rapport au point
U\text UU
 ?
Solution
Il s'agit de déterminer si le point
U\text UU
est le milieu du segment
[TV][\text{TV}][TV]
.
Soit
M\text MM
 le milieu du segment
[TV][\text{TV}][TV]
.
Alors on a
M(xT+xV2;yT+yV2)\text M \left( \dfrac{x_{\text{T}} + x_{\text{V}}}{2} ; \dfrac{y_{\text{T}} + y_{\text{V}}}{2} \right)M(2xT​+xV​​;2yT​+yV​​)
 soit
M(−3+12;3+52)\text M \left( \dfrac{-3 + 1}{2} ; \dfrac{3 + 5}{2} \right)M(2−3+1​;23+5​)
 soit
M(−1;4)\text M \left( -1 ; 4 \right)M(−1;4)
.
On constate que les points
U\text UU
 et
M\text MM
 ne sont pas confondus.
Donc le point
U\text UU
 n'est pas le milieu du segment
[TV][\text{TV}][TV]
.
Le point
V\text VV
n'est pas le symétrique du point
T\text TT
 par rapport au point
U\text UU
.

* Des fractions et des milieux

Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(32 ;13)\text A \left( \dfrac{3}{2}~ ; \dfrac{1}{3} \right)A(23​ ;31​)
,
B(−54 ;43)\text B \left( -\dfrac{5}{4}~ ; \dfrac{4}{3} \right)B(−45​ ;34​)
 et
C(12 ;−116)\text C \left( \dfrac{1}{2} ~; -\dfrac{11}{6} \right)C(21​ ;−611​)
.
1.Calculer les coordonnées du milieu
M\text MM
 du segment
[AB][\text{AB}][AB]
.
2.Calculer les coordonnées du milieu
N\text NN
 du segment
[AC][\text{AC}][AC]
.
3.Le point
A\text AA
 est-il le milieu du segment
[BC][\text{BC}][BC]
 ?

* Milieux de segments et quadrilatère

Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(14 ;−27)\text A \left( 14~;-27\right)A(14 ;−27)
,
B(67 ;−59)\text B \left( 67~;-59\right)B(67 ;−59)
,
C(−43 ;−9)\text C \left( -43~;-9\right)C(−43 ;−9)
 et
D(10 ;−41)\text D \left( 10~;-41\right)D(10 ;−41)
.
1.Calculer les coordonnées des milieux des segments
[AD][\text{AD}][AD]
 et
[BC][\text{BC}][BC]
.
2.En déduire la nature du quadrilatère
ABDC\text{ABDC}ABDC
.

** Distances et points alignés

Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(113 ;141)\text A \left( 113~ ; 141 \right)A(113 ;141)
,
B(127 ;148)\text B \left( 127 ~; 148 \right)B(127 ;148)
 et
C(117 ;143)\text C \left( 117~ ; 143 \right)C(117 ;143)
.
1.Sans calculatrice, montrer que
20+125=245\sqrt{20} + \sqrt{125} = \sqrt{245}20​+125​=245​
.
2.a.Calculer les longueurs
AB\text{AB}AB
,
BC\text{BC}BC
 et
AC\text{AC}AC
.b.Les points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont-ils alignés ?

* Nature d'un quadrilatère (1)

Soit 
(O ;i→,j→)\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
 un repère orthonormé du plan.
On considère les points 
A(−3 ;2), B(−1 ;−7), C(5 ;0)\text{A}(-3~;2),~ \text{B}(-1~;-7),~ \text{C}(5~;0)A(−3 ;2), B(−1 ;−7), C(5 ;0)
 et 
D(3 ;9)\text{D}(3~;9)D(3 ;9)
.
1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs 
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et 
DC→\overrightarrow{\text{DC}}DC
.
    b.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 
ABCD\text{ABCD}ABCD
 ?
2. a.Calculer les longueurs 
AD\text{AD}AD
 et 
AB\text{AB}AB
.
    b.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 
ABCD\text{ABCD}ABCD
 ?
3.En déduire la nature exacte du quadrilatère 
ABCD\text{ABCD}ABCD
.

* Nature d'un quadrilatère (2)

Soit 
(O ;i→,j→)\left(\text{O} ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
 un repère orthonormé du plan.
On considère les points 
A(1 ;2),B(2 ;−1),C(−2 ;1)\text{A}(1~;2), \text{B}(2~;-1), \text{C}(-2~;1)A(1 ;2),B(2 ;−1),C(−2 ;1)
 et 
D(−1 ;−2)\text{D}(-1~;-2)D(−1 ;−2)
.
1. a.Calculer les coordonnées des vecteurs 
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
 et 
CD→\overrightarrow{\text{CD}}CD
    b.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 
ABDC\text{ABDC}ABDC
 ?
2. a.Calculer les longueurs 
AC\text{AC}AC
 et 
AB\text{AB}AB
.
    b.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 
ABDC\text{ABDC}ABDC
 ?
3. a.Calculer la longueur 
BC\text{BC}BC
.
    b.Justifier que les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(AC)(\text{AC})(AC)
 sont perpendiculaires.
4.En déduire la nature exacte du quadrilatère 
ABDC\text{ABDC}ABDC
.

** Nature d'un triangle

Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(−5 ;−2)\text A \left( -5~;-2 \right)A(−5 ;−2)
, 
B(−3 ;4)\text B \left( -3~;4 \right)B(−3 ;4)
et 
C(7 ;−6)\text C \left( 7~;-6 \right)C(7 ;−6)
.
1.Placer les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
dans le repère ci-dessous.
2.Conjecturer la nature du triangle
ABC\text{ABC}ABC
.
3.Démontrer cette conjecture.

** Nature d'un quadrilatère

Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
E(3 ;−1)\text E \left( 3~;-1 \right)E(3 ;−1)
, 
F(5 ;1)\text F \left( 5~;1 \right)F(5 ;1)
,
G(2 ;2)\text G \left( 2~;2 \right)G(2 ;2)
et 
H(6 ;−2)\text H \left( 6~;-2 \right)H(6 ;−2)
.
1.Placer les points
E\text EE
,
F\text FF
,
G\text GG
et
H\text HH
dans le repère ci-dessous.
2.Conjecturer la nature du quadrilatère
EGFH\text{EGFH}EGFH
.
3.Démontrer cette conjecture.

** Points alignés

Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
P(−9 ;−9)\text P \left( -9~;-9 \right)P(−9 ;−9)
, 
Q(−3 ;−4)\text Q \left( -3~;-4 \right)Q(−3 ;−4)
et 
R(10 ;7)\text R \left( 10~;7 \right)R(10 ;7)
.
1.Placer les points
P\text PP
,
Q\text QQ
et
R\text RR
dans le repère ci-dessous.
2.Conjecturer la position des points
P\text PP
,
Q\text QQ
et
R\text RR
.
3.Démontrer cette conjecture.

** Exercice de synthèse

Dans un repère orthonormé
(O ;i→,j→)\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(−4 ;2)\text A \left( -4~;2 \right)A(−4 ;2)
, 
B(1 ;5)\text B \left( 1~;5 \right)B(1 ;5)
,
C(3 ;−1)\text C \left( 3~;-1 \right)C(3 ;−1)
et 
D(−2 ;−4)\text D \left( -2~;-4 \right)D(−2 ;−4)
.
1.Placer les points
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
et
D\text DD
dans le repère.
2.Conjecturer la nature du quadrilatère
ABCD\text{ABCD}ABCD
.
3.Calculer les coordonnées du milieu
M\text MM
du segment
[AC][\text{AC}][AC]
.
4.Calculer les coordonnées du milieu
N\text NN
du segment
[BD][\text{BD}][BD]
.
5.En déduire la nature du quadrilatère
ABCD\text{ABCD}ABCD
.
6.Calculer la distance
AB\text{AB}AB
.
7.Montrer que
BC=210\text{BC} = 2\sqrt{10}BC=210​
.
8.Le quadrilatère
ABCD\text{ABCD}ABCD
est-il un losange ?

*** Cercle et translation

Le plan est muni d'un repère orthonormé 
(O ;i→,j→)\left(\text{O}~ ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
.
On considère les points
A(−6 ;3), B(−4 ;−1)\text{A}(-6~; 3),~\text{B}(-4~;-1)A(−6 ;3), B(−4 ;−1)
et
F(−4 ;3)\text{F}(-4~; 3)F(−4 ;3)
.
On note 
C\mathscr{C}C
 le cercle de diamètre 
[AB][\text{AB}][AB]
.
1.Soit 
C\text{C}C
 le centre du cercle 
C\mathscr{C}C
.
    a.Calculer les coordonnées de 
C\text{C}C
, puis déterminer le rayon 
rrr
 du cercle 
C\mathscr{C}C
.
    b.Le point 
F\text{F}F
 appartient-il au cercle 
C\mathscr{C}C
 ?
2.Soit 
u→(52)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ 2\\ \end{pmatrix}u(52​)
. On note 
tu→t_{\overrightarrow{u}}tu​
 la translation de vecteur 
u→\overrightarrow{u}u
.
    On appelle
A′, B′\text{A}',~ \text{B}'A′, B′
 et 
C′\text{C}'C′
 les images respectives des points 
A, B\text{A}, ~\text{B}A, B
 et 
C\text{C}C
 par 
tu→t_{\overrightarrow{u}}tu​
.
    a.Justifier que 
AA′→=u→\overrightarrow{\text{AA}'}=\overrightarrow{u}AA′=u
. Déterminer les coordonnées du point
A′\text{A}'A′
.
    b. Déterminer les coordonnées des points 
B′\text{B}'B′
 et 
C′\text{C}'C′
.  c.Soit
G(1 ;5)\text{G}(1~;5)G(1 ;5)
. Démontrer que 
G\text{G}G
 est l'image de 
F\text{F}F
 par la translation 
tu→t_{\overrightarrow{u}}tu​
.
3.Quelle est l'image du cercle 
C\mathscr{C}C
 par la translation
tu→t_{\overrightarrow{u}}tu​
 ?