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Des ballons aux vecteurs

\(\overrightarrow{\text{AB}}\)

Sommaire

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Des ballons aux vecteurs - Scénario pédagogique

Objectif
Introduire la propriété donnant les coordonnées d'un vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
à partir des coordonnées des points
A\text AA
et
B\text BB
.
Intérêts pédagogiques
Réinvestissement des coordonnées d'un point dans un repère du plan, pratique ludique des mathématiques, appropriation de la propriété.
Bonus
Possibilité d'illustrer la relation de Chasles.
Nombre d'élèves
Possible en classe entière, idéal en groupe.
Matériel nécessaire
3 lettres
O\text OO
,
I\text II
et
J\text JJ
, un lot de coordonnées, deux ballons, fichier GeoGebra.
Déroulé de l'activité
1.Les tables de la salle de classe sont séparées les unes des autres.
2.On crée un repère orthonormé en posant une lettre
O\text OO
, une lettre
I\text II
et une lettre
J\text JJ
sur trois tables.
3.En entrant en classe, chaque élève pioche un couple de coordonnées pour se placer dans le repère
(O ;I ,J)\left( \text O~ ; \text I~, \text J \right)(O ;I ,J)
.
4.Présentation des ballons :
  • un ballon blanc dit "léger" peut être lancé à travers la salle de classe ;
  • un ballon coloré dit "lourd" ne peut se déplacer que d'une table à la fois (avant/arrière ou gauche/droite.
5.Présentation du fichier GeoGebra vidéoprojeté, présentant une vue du dessus de la salle de classe.
6.a.On montre un premier lancer de ballon "léger" à l'aide du fichier GeoGebra.b.On demande aux élèves quel chemin pourrait parcourir le ballon "lourd" pour effectuer le même trajet.c.Au tableau, on fait une petite synthèse. Par exemple, si le ballon a été lancé de Bastien à Sarah, on associe les coordonnées de Bastien à un point
B\text BB
et celles de Sarah à un point
S\text SS
.d.On demande aux élèves ce que représente le lancer du ballon "léger" en fonction des points
B\text BB
et
S\text SS
.e.On demande aux élèves ce que représentent les déplacements du ballon "lourd" pour le vecteur
BS→\overrightarrow{\text{BS}}BS
.f.On demande aux élèves de trouver un lien entre les coordonnées du vecteur
BS→\overrightarrow{\text{BS}}BS
et celles des points 
B\text BB
et
S\text SS
.
7.On répète l'étape 6 pour deux autres exemples.
8.On consigne cela sur feuille : propriété identifiée, suivie d'un ou deux exemples d'application.

Des ballons aux vecteurs - Conclusion

Propriété
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère deux points
A(xA;yA)\text A \left( x_{\text A} ; y_{\text{A}} \right)A(xA​;yA​)
et 
B(xB;yB)\text B \left( x_{\text B} ; y_{\text{B}} \right)B(xB​;yB​)
.
Les coordonnées du vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
sont données par 
(xB−xAyB−yA)\boxed{\color{white}{\begin{pmatrix} x_{\text{B}} - x_{\text{A}}\\ y_{\text{B}} - y_{\text{A}}\\\end{pmatrix}}}(xB​−xA​yB​−yA​​)​
.
Exemples
Dans un repère
(O ;i→,j→)\left( \text O ~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)(O ;i,j​)
du plan, on considère les points
A(−3 ;7)\text A \left(-3 ~; 7 \right)A(−3 ;7)
, 
B(−5 ;−6)\text B \left(-5~ ; -6 \right)B(−5 ;−6)
et 
C(10 ;−4)\text C \left( 10~ ; -4 \right)C(10 ;−4)
.
1.Calculer les coordonnées du vecteur
AB→\overrightarrow{\text{AB}}AB
.
2.Calculer les coordonnées du vecteur
AC→\overrightarrow{\text{AC}}AC
.
3.Calculer les coordonnées du vecteur
BC→\overrightarrow{\text{BC}}BC
.

Des ballons aux vecteurs - Repère et coordonnées - PDF à imprimer

Des ballons aux vecteurs - Repère et coordonnées

O

I

J

(−2 ; 3)  (−1 ; 3)
(0 ; 3)  (1 ; 3)
(2 ; 3)
(−2 ; 2)  (−1 ; 2)
(0 ; 2)  (1 ; 2)
(2 ; 2)
(−2 ; 1)  (−1 ; 1)
(0 ; 1)  (1 ; 1)
(2 ; 1)
(−2 ; 0)  (−1 ; 0)
(0 ; 0)  (1 ; 0)
(2 ; 0)
(−2 ; −1)  (−1 ; −1)
(0 ; −1)   (1 ; −1)
               (2 ; −1)
(−2 ; −2)  (−1 ; −2)
(0 ; −2)   (1 ; −2)
               (2 ; −2)
(−2 ; −3)  (−1 ; −3)
(0 ; −3)   (1 ; −3)
               (2 ; −3)

Des ballons aux vecteurs - La classe est un repère