Théorème de Thalès et sa réciproque

Théorème

On considère les points 

\text{A}

,

\text{B}

,

\text{C}

,

\text{M}

et

\text{N}

 du plan.
Si les droites

(\text{BM})

et

(\text{CN})

sont sécantes en 

\text{A}

 et si les droites

(\text{BC})

et

(\text{MN})

sont parallèles,
alors : 

\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}

.

Dans chacune des configurations, on a :

\(\text{(BC)} //\text{(MN)}\)
les droites\(\text{(BM)}\)et\(\text{(CN)}\)sont sécantes en\(\text{A}\).

D'après le théorème de Thalès : 

\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}

.

Remarques

On suppose que deux droites

(\text{BM})

et

(\text{CN})

sont sécantes en un point 

\text{A}

 et que les droites

(\text{BC})

et

(\text{MN})

sont parallèles.

D'après le théorème de Thalès, on obtient aussi : \(\dfrac{\color{red}{ \text{AM}}}{\color{blue}{ \text{AB}}}=\dfrac{\color{red}{ \text{AN}}}{\color{blue}{\text{AC}}}=\dfrac{\color{red}{ \text{MN}}}{\color{blue}{\text{BC}}}\).
D'après le théorème de Thalès, le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité :

\qquad \qquad\begin{array}{|c|c|c|}\hline\color{red}{\text{AM}} & \color{red}{\text{AN}} & \color{red}{\text{MN}} \\\hline\color{blue}{\text{AB}} & \color{blue}{\text{AC}} & \color{blue}{\text{BC}} \\\hline\end{array}\\

D'après le théorème de Thalès, les triangles\(\color {red}{\text{AMN}}\) et\(\color {blue}{\text{ABC}}\) sont semblables.
D'après le théorème de Thalès, le triangle \(\color {red}{\text{AMN}}\) est une réduction ou un agrandissement du triangle \(\color {blue}{\text{ABC}}\).

☛ Théorème de Thalès - Application

Énoncé

Dans la figure ci-dessous, les droites 

\text{(KL)}

et

\text{(JM)}

sont parallèles.
Les points

\text{K}

,

\text{E}

et

\text{M}

 d'une part et les points 

\text{L}

,

\text{E}

et

\text{J}

 d'autre part sont alignés.
De plus : 

\text{KL}=3\text{ cm ; } \text{KE}=4{,}5\text{ cm et } \text{JM}=5\text{ cm }

.

Calculer la longueur

\text{EM}

.

Solution

Les droites \(\text{(KL)}\)et \(\text{(JM)}\)sont parallèles.
Les droites \(\text{(KM)}\)et \(\text{(JL)}\)sont sécantes en\(\text{E}\).

D'après le théorème de Thalès, on a : 

\dfrac{\text{EK}}{\text{EM}}=\dfrac{\text{EL}}{\text{EJ}}=\dfrac{\text{KL}}{\text{MJ}}

Soit 

\dfrac{4{,}5}{\text{EM}}=\dfrac{\text{EL}}{\text{EJ}}=\dfrac{3}{5}

Pour calculer la longueur

\text{EM}

, on utilise l'égalité de quotients suivante.

\dfrac{4{,}5}{\text{EM}}=\dfrac{3}{5}

Ainsi : 

\text{EM}=\dfrac{4{,}5 \times 5}{3}=\dfrac{\color{red} 3 \times 1{,}5 \times 5}{\color{red}3}=1{,}5 \times 5=7{,}5 \text{ cm}

.

Réciproque du théorème de Thalès

Théorème

On considère les points 

\text{A}

,

\text{B}

,

\text{C}

,

\text{M}

et

\text{N}

 du plan.Si 

\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}

 etsiles points 

\text{A}

,

\text{B}

et

\text{M}

 sont alignés dans le même ordre que les points

\text{A}

,

\text{C}

et

\text{N}

, alorsles droites 

\text{(BC)}

et

\text{(MN)}

 sont parallèles.

Exemple

On souhaite déterminer si les droites 

(\text{TU})

et

(\text{MS})

 ci-dessous sont parallèles. On donne les informations suivantes :

le point \(\text{R}\) appartient au segment \([\text{DT}]\) ;
le point \(\text{C}\) appartient au segment \([\text{DN}]\) ;
\(\text{RT} = 6\text{ cm},\text{RU} = 4,5\text{ cm}, \text{RM} = 8\text{ cm et RS}=6 \text{ cm}\).

On calcule séparément les quotients et on les compare :

\(\dfrac{\text{RT}}{\text{RM}}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{\text{RU}}{\text{RS}}=\dfrac{4{,}5}{6}=\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}\)

On constate que : 

\dfrac{\text{RT}}{\text{RM}}=\dfrac{\text{RU}}{\text{RS}}

De plus, les points

\text{R}

,

\text{T}

et

\text{M}

 sont alignés dans le même ordre que les points 

\text{R}

,

\text{U}

et

\text{S}

.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites 

(\text{TU})

et

(\text{MS})

 sont parallèles.

☛ Réciproque du théorème de Thalès - Application

Énoncé

Dans la figure ci-dessous, on a :

\(\text{B} \in \text{[DT]}\)
\(\text{C} \in \text{[DN]}\)
\(\text{DR}=7{,}2\text{ cm , } \text{DC}=8{,}8\text{ cm , } \text{DT}=9\text{ cm et } \text{DN}=11\text{ cm}\)

Démontrer que les droites 

\text{(RC)}

et

\text{(TN)}

 sont parallèles.

Solution

D’une part :

\dfrac{\text{DR}}{\text{DT}}=\dfrac{7{,}2}{9}=\dfrac{0{,}8 \times 9}{9}=0{,}8

D’autre part : 

\dfrac{\text{DC}}{\text{DN}}=\dfrac{8{,}8}{11}=\dfrac{11 \times 0{,}8}{11}=0{,}8

On constate que : 

\dfrac{\text{DR}}{\text{DT}}=\dfrac{\text{DC}}{\text{DN}}

.

De plus, les points

\text{D}

,

\text{R}

et

\text{T}

sont alignés dans le même ordre que les points

\text{D}

,

\text{C}

et

\text{N}

.

D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites

\text{(RC)}

et

\text{(TN)}

sont parallèles.

☛ Droites parallèles ou pas ?

Énoncé

Dans la figure ci-dessous, on a :

\(\text{T} \in [\text{MS}]\) ;
\(\text{T} \in [\text{AH}]\) ;
\(\text{MT}=10\text{ cm , AT}=9\text{ cm , TS}=13\text{ cm et TH}=12\text{ cm}\).

Les droites 

(\text{AM})

et

(\text{SH})

 sont-elles parallèlesv?

Solution

Les droites 

(\text{MS})

et

(\text{AH})

 sont sécantes en 

(\text{T})

.

D’une part :

\dfrac{\text{MT}}{\text{TS}}=\dfrac{10}{13}

D’autre part : 

\dfrac{\text{AT}}{\text{TH}}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3 \times 3}{4 \times 3}=\dfrac{3}{4}

On constate que : 

\dfrac{\text{MT}}{\text{TS}}\ne \dfrac{\text{AT}}{\text{TH}}

.

D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites

\text{(AM)}

et

\text{(SH)}

ne sont pas parallèles.