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Théorème de Thalès et sa réciproque

\(\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}\)

Sommaire

Théorème de Thalès☛ Théorème de Thalès - ApplicationRéciproque du théorème de Thalès☛ Réciproque du théorème de Thalès - Application☛ Droites parallèles ou pas ?

Théorème de Thalès

Théorème
On considère les points 
A\text{A}A
, 
B\text{B}B
, 
C\text{C}C
,
M\text{M}M
 et
N\text{N}N
 du plan.
Si les droites
(BM)(\text{BM})(BM)
et
(CN)(\text{CN})(CN)
sont sécantes en 
A\text{A}A
 et si les droites
(BC)(\text{BC})(BC)
et
(MN)(\text{MN})(MN)
sont parallèles,
alors : 
ABAM=ACAN=BCMN\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}AMAB​=ANAC​=MNBC​
.
Dans chacune des configurations, on a :
  • \(\text{(BC)} //\text{(MN)}\)
  • les droites\(\text{(BM)}\)et\(\text{(CN)}\)sont sécantes en\(\text{A}\).
D'après le théorème de Thalès : 
ABAM=ACAN=BCMN\dfrac{\text{AB}}{\text{AM}}=\dfrac{\text{AC}}{\text{AN}}=\dfrac{\text{BC}}{\text{MN}}AMAB​=ANAC​=MNBC​
.
Remarques
On suppose que deux droites
(BM)(\text{BM})(BM)
et
(CN)(\text{CN})(CN)
sont sécantes en un point 
A\text{A}A
 et que les droites
(BC)(\text{BC})(BC)
et
(MN)(\text{MN})(MN)
sont parallèles.
  • D'après le théorème de Thalès, on obtient aussi : \(\dfrac{\color{red}{ \text{AM}}}{\color{blue}{ \text{AB}}}=\dfrac{\color{red}{ \text{AN}}}{\color{blue}{\text{AC}}}=\dfrac{\color{red}{ \text{MN}}}{\color{blue}{\text{BC}}}\).
  • D'après le théorème de Thalès, le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité :
AMANMNABACBC\qquad \qquad\begin{array}{|c|c|c|}\hline\color{red}{\text{AM}} & \color{red}{\text{AN}} & \color{red}{\text{MN}} \\\hline\color{blue}{\text{AB}} & \color{blue}{\text{AC}} & \color{blue}{\text{BC}} \\\hline\end{array}\\AMAB​ANAC​MNBC​​
  • D'après le théorème de Thalès, les triangles\(\color {red}{\text{AMN}}\) et\(\color {blue}{\text{ABC}}\) sont semblables.
  • D'après le théorème de Thalès, le triangle \(\color {red}{\text{AMN}}\) est une réduction ou un agrandissement du triangle \(\color {blue}{\text{ABC}}\).

☛ Théorème de Thalès - Application

Énoncé
Dans la figure ci-dessous, les droites 
(KL)\text{(KL)}(KL)
et 
(JM)\text{(JM)}(JM)
sont parallèles.
Les points
K\text{K}K
, 
E\text{E}E
et 
M\text{M}M
 d'une part et les points 
L\text{L}L
, 
E\text{E}E
 et
J\text{J}J
 d'autre part sont alignés.
De plus : 
KL=3 cm ; KE=4,5 cm et JM=5 cm \text{KL}=3\text{ cm ; } \text{KE}=4{,}5\text{ cm et } \text{JM}=5\text{ cm }KL=3 cm ; KE=4,5 cm et JM=5 cm 
.
Calculer la longueur
EM\text{EM}EM
.
Solution
  • Les droites \(\text{(KL)}\)et \(\text{(JM)}\)sont parallèles.
  • Les droites \(\text{(KM)}\)et \(\text{(JL)}\)sont sécantes en\(\text{E}\).
D'après le théorème de Thalès, on a : 
EKEM=ELEJ=KLMJ\dfrac{\text{EK}}{\text{EM}}=\dfrac{\text{EL}}{\text{EJ}}=\dfrac{\text{KL}}{\text{MJ}}EMEK​=EJEL​=MJKL​
Soit 
4,5EM=ELEJ=35\dfrac{4{,}5}{\text{EM}}=\dfrac{\text{EL}}{\text{EJ}}=\dfrac{3}{5}EM4,5​=EJEL​=53​
Pour calculer la longueur
EM\text{EM}EM
, on utilise l'égalité de quotients suivante.
4,5EM=35\dfrac{4{,}5}{\text{EM}}=\dfrac{3}{5}EM4,5​=53​
Ainsi : 
EM=4,5×53=3×1,5×53=1,5×5=7,5 cm\text{EM}=\dfrac{4{,}5 \times 5}{3}=\dfrac{\color{red} 3 \times 1{,}5 \times 5}{\color{red}3}=1{,}5 \times 5=7{,}5 \text{ cm}EM=34,5×5​=33×1,5×5​=1,5×5=7,5 cm
.

Réciproque du théorème de Thalès

Théorème
On considère les points 
A\text{A}A
, 
B\text{B}B
, 
C\text{C}C
,
M\text{M}M
 et
N\text{N}N
 du plan.Si 
AMAB=ANAC\dfrac{\text{AM}}{\text{AB}}=\dfrac{\text{AN}}{\text{AC}}ABAM​=ACAN​
 etsiles points 
A\text{A}A
, 
B\text{B}B
 et 
M\text{M}M
 sont alignés dans le même ordre que les points
A\text{A}A
, 
C\text{C}C
 et 
N\text{N}N
, alorsles droites 
(BC)\text{(BC)}(BC)
 et 
(MN)\text{(MN)}(MN)
 sont parallèles.
Exemple
On souhaite déterminer si les droites 
(TU)(\text{TU})(TU)
 et 
(MS)(\text{MS})(MS)
 ci-dessous sont parallèles. On donne les informations suivantes :
  • le point \(\text{R}\) appartient au segment \([\text{DT}]\) ;
  • le point \(\text{C}\) appartient au segment \([\text{DN}]\) ;
  • \(\text{RT} = 6\text{ cm},\text{RU} = 4,5\text{ cm}, \text{RM} = 8\text{ cm et RS}=6 \text{ cm}\).
On calcule séparément les quotients et on les compare :
  • \(\dfrac{\text{RT}}{\text{RM}}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\)
  • \(\dfrac{\text{RU}}{\text{RS}}=\dfrac{4{,}5}{6}=\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}\)
On constate que : 
RTRM=RURS\dfrac{\text{RT}}{\text{RM}}=\dfrac{\text{RU}}{\text{RS}}RMRT​=RSRU​
De plus, les points
R\text{R}R
,
T\text{T}T
 et 
M\text{M}M
 sont alignés dans le même ordre que les points 
R\text{R}R
, 
U\text{U}U
 et 
S\text{S}S
.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites 
(TU)(\text{TU})(TU)
 et 
(MS)(\text{MS})(MS)
 sont parallèles.

☛ Réciproque du théorème de Thalès - Application

Énoncé
Dans la figure ci-dessous, on a :
  • \(\text{B} \in \text{[DT]}\)
  • \(\text{C} \in \text{[DN]}\)
  • \(\text{DR}=7{,}2\text{ cm , } \text{DC}=8{,}8\text{ cm , } \text{DT}=9\text{ cm et } \text{DN}=11\text{ cm}\)
Démontrer que les droites 
(RC)\text{(RC)}(RC)
 et 
(TN)\text{(TN)}(TN)
 sont parallèles.
Solution
D’une part :
DRDT=7,29=0,8×99=0,8\dfrac{\text{DR}}{\text{DT}}=\dfrac{7{,}2}{9}=\dfrac{0{,}8 \times 9}{9}=0{,}8DTDR​=97,2​=90,8×9​=0,8
D’autre part : 
DCDN=8,811=11×0,811=0,8\dfrac{\text{DC}}{\text{DN}}=\dfrac{8{,}8}{11}=\dfrac{11 \times 0{,}8}{11}=0{,}8DNDC​=118,8​=1111×0,8​=0,8
On constate que : 
DRDT=DCDN\dfrac{\text{DR}}{\text{DT}}=\dfrac{\text{DC}}{\text{DN}}DTDR​=DNDC​
.
De plus, les points
D\text{D}D
,
R\text{R}R
et
T\text{T}T
sont alignés dans le même ordre que les points
D\text{D}D
,
C\text{C}C
et
N\text{N}N
.
D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites
(RC)\text{(RC)}(RC)
et
(TN)\text{(TN)}(TN)
sont parallèles.

☛ Droites parallèles ou pas ?

Énoncé
Dans la figure ci-dessous, on a :
  • \(\text{T} \in [\text{MS}]\) ;
  • \(\text{T} \in [\text{AH}]\) ;
  • \(\text{MT}=10\text{ cm , AT}=9\text{ cm , TS}=13\text{ cm et TH}=12\text{ cm}\).
Les droites 
(AM)(\text{AM})(AM)
 et
(SH)(\text{SH})(SH)
 sont-elles parallèlesv?
Solution
Les droites 
(MS)(\text{MS})(MS)
 et 
(AH)(\text{AH})(AH)
 sont sécantes en 
(T)(\text{T})(T)
.
D’une part :
MTTS=1013\dfrac{\text{MT}}{\text{TS}}=\dfrac{10}{13}TSMT​=1310​
D’autre part : 
ATTH=912=3×34×3=34\dfrac{\text{AT}}{\text{TH}}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3 \times 3}{4 \times 3}=\dfrac{3}{4}THAT​=129​=4×33×3​=43​
On constate que : 
MTTS≠ATTH\dfrac{\text{MT}}{\text{TS}}\ne \dfrac{\text{AT}}{\text{TH}}TSMT​=THAT​
.
D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites
(AM)\text{(AM)}(AM)
et
(SH)\text{(SH)}(SH)
ne sont pas parallèles.