Énoncé

1. Soit un triangle

$$\text{ABC}$$

tel que

$$\text{AB}$$

= 5 cm,

$$\text{AC}$$

= 7 cm et

$$\text{BC}$$

= 12 cm. Ce triangle

$$\text{ABC}$$

est-il rectangle ?

2. Soit un triangle 

$$\text{ABC}$$

tel que 

$$\text{AB}$$

= 25 cm,

$$\text{AC}$$

= 9 cm et

$$\text{BC}$$

= 12 cm. Ce triangle

$$\text{ABC}$$

est-il rectangle ?

3. Soit un triangle

$$\text{ABC}$$

tel que

$$\text{AB}$$

= 24 cm,

$$\text{AC}$$

= 3 dm et

$$\text{BC}$$

= 18 cm. Ce triangle

$$\text{ABC}$$

 est-il rectangle ?

4. Soit un triangle

$$\text{ABC}$$

tel que

$$\text{AB}$$

=

$$\sqrt{5}$$

cm,

$$\text{AC}$$

=

$$\sqrt{3}$$

cm et

$$\text{BC}$$

= 2 cm. Ce triangle 

$$\text{ABC}$$

est-il rectangle ?

5. Soit un triangle 

$$\text{ABC}$$

tel que

$$\text{AB}$$

= 15 cm,

$$\text{AC}$$

= 9 cm et 

$$\text{BC}$$

= 12 cm. Ce triangle

$$\text{ABC}$$

est-il rectangle ?

6. Soit un triangle

$$\text{ABC}$$

tel que

$$\text{AB}$$

= 5 cm,

\text{AC}

= 5 cm et

$$\text{BC}$$

= 5 cm. Ce triangle

$$\text{ABC}$$

est-il rectangle ?

7. Soit un triangle

$$\text{ABC}$$

tel que

$$\text{AB}$$

=

$$\sqrt{8}$$

cm,

$$\text{AC}$$

=

$$\sqrt{3}$$

cm et

$$\text{BC}$$

= 

$$\sqrt{5}$$

 cm. Ce triangle

\text{ABC

est-il rectangle ?

Solution

1. Dans le triangle

$$\text{ABC}$$

, on a

$$\text{AB }$$

= 5 cm,

$$\text{AC}$$

= 7 cm et

$$\text{BC}$$

= 12 cm. 

On a 

$$\text{BC}=\text{AB}+\text{AC}$$

. On en déduit que les points 

$$\text{A, B et C }$$

sont alignés. Le triangle

$$\text{ABC}$$

est aplati, il n'est donc pas rectangle.

2.Dans le triangle

$$\text{ABC}$$

, on a

$$\text{AB}$$

= 25 cm,

$$\text{AC}$$

= 9 cm et

$$\text{BC }$$

= 12 cm.

On constate que 

$$\text{AB}>\text{AC}+\text{BC}$$

 donc l'inégalité triangulaire n'est pas respectée. Le triangle

$$\text{ABC}$$

n'est pas constructible.

3.Dans le triangle

$$\text{ABC}$$

, on a

$$\text{AB}$$

= 24 cm,

$$\text{AC}$$

= 3 dm (soit 30 cm) et

$$\text{BC}$$

= 18 cm. On peut donc calculer :

\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900

$$\text{AC}^2 = 30^2 = 900$$

On constate que, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangleest rectangle en.

4.Dans le triangle

$$\text{ABC}$$

, on a 

$$\text{AB}$$

=

$$\sqrt{5}$$

cm,

\text{AC

=

$$\sqrt{3}$$

cm et

\text{BC

= 2 cm. On peut donc calculer :

$$\text{BC}^2 + \text{AC}^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$$

.

$$\text{AB}^2 = \sqrt{5}^2 = 5$$

.

On constate que, donc, d'après le contraposée du théorème de Pythagore, le trianglen'est pas rectangle.

5.Dans le triangle

$$\text{ABC}$$

, on a

$$\text{AB}$$

= 15 cm,

$$\text{AC}$$

= 9 cm et

$$\text{BC}$$

= 12 cm. On peut donc calculer :

$$\text{BC}^2 + \text{AC}^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$$

,

$$\text{AB}^2 = 15^2 = 225$$

.

On constate que, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangleest rectangle en.

6.Dans le triangle

$$\text{ABC}$$

, on a

$$\text{AB}$$

= 5 cm,

$$\text{AC}$$

= 5 cm et

$$\text{BC}$$

= 5 cm. On constate que le triangle

$$\text{ABC}$$

est un triangle équilatéral, donc le triangle

$$\text{ABC}$$

n'est pas rectangle.

7.Dans le triangle

$$\text{ABC}$$

, on a

$$\text{AB}$$

=

$$\sqrt{8}$$

cm,

$$\text{AC}$$

=

$$\sqrt{3}$$

cm et

\text{BC

= 

$$\sqrt{5}$$

 cm. On peut donc calculer :

$$\text{BC}^2 + \text{AC}^2 = (\sqrt5)^2 + (\sqrt3)^2 = 5 + 3 = 8$$

,

$$\text{AB}^2 = (\sqrt8)^2 = 8$$

.

On constate que

$$\text{BC}^2 + \text{AC}^2=\text{AB}^2$$

, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle

\text{ABC

est rectangle en

\text{C

.