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☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

\(\text{BC}=\text{AB}+\text{AC}\)

Sommaire

☛ Triangle rectangle ou pas ?

☛ Triangle rectangle ou pas ?

Énoncé
1. Soit un triangle
ABC\text{ABC}ABC
tel que
AB\text{AB}AB
= 5 cm,
AC\text{AC}AC
= 7 cm et
BC\text{BC}BC
= 12 cm. Ce triangle
ABC\text{ABC}ABC
est-il rectangle ?
2. Soit un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
tel que 
AB\text{AB}AB
= 25 cm,
AC\text{AC}AC
= 9 cm et
BC\text{BC}BC
= 12 cm. Ce triangle
ABC\text{ABC}ABC
est-il rectangle ?
3. Soit un triangle
ABC\text{ABC}ABC
tel que
AB\text{AB}AB
= 24 cm,
AC\text{AC}AC
= 3 dm et
BC\text{BC}BC
= 18 cm. Ce triangle
ABC\text{ABC}ABC
 est-il rectangle ?
4. Soit un triangle
ABC\text{ABC}ABC
tel que
AB\text{AB}AB
=
5\sqrt{5}5​
cm,
AC\text{AC}AC
=
3\sqrt{3}3​
cm et
BC\text{BC}BC
= 2 cm. Ce triangle 
ABC\text{ABC}ABC
est-il rectangle ?
5. Soit un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
tel que
AB\text{AB}AB
= 15 cm,
AC\text{AC}AC
= 9 cm et 
BC\text{BC}BC
= 12 cm. Ce triangle
ABC\text{ABC}ABC
est-il rectangle ?
6. Soit un triangle
ABC\text{ABC}ABC
tel que
AB\text{AB}AB
= 5 cm,
\text{AC}
= 5 cm et
BC\text{BC}BC
= 5 cm. Ce triangle
ABC\text{ABC}ABC
est-il rectangle ?
7. Soit un triangle
ABC\text{ABC}ABC
tel que
AB\text{AB}AB
=
8\sqrt{8}8​
cm,
AC\text{AC}AC
=
3\sqrt{3}3​
cm et
BC\text{BC}BC
= 
5\sqrt{5}5​
 cm. Ce triangle
\text{ABC
est-il rectangle ?
Solution
1. Dans le triangle
ABC\text{ABC}ABC
, on a
AB \text{AB }AB 
= 5 cm,
AC\text{AC}AC
= 7 cm et
BC\text{BC}BC
= 12 cm. 
On a 
BC=AB+AC\text{BC}=\text{AB}+\text{AC}BC=AB+AC
. On en déduit que les points 
A, B et C \text{A, B et C }A, B et C 
sont alignés. Le triangle
ABC\text{ABC}ABC
est aplati, il n'est donc pas rectangle.
2.Dans le triangle
ABC\text{ABC}ABC
, on a
AB\text{AB}AB
= 25 cm,
AC\text{AC}AC
= 9 cm et
BC \text{BC }BC 
= 12 cm.
On constate que 
AB>AC+BC\text{AB}>\text{AC}+\text{BC}AB>AC+BC
 donc l'inégalité triangulaire n'est pas respectée. Le triangle
ABC\text{ABC}ABC
n'est pas constructible.
3.Dans le triangle
ABC\text{ABC}ABC
, on a
AB\text{AB}AB
= 24 cm,
AC\text{AC}AC
= 3 dm (soit 30 cm) et
BC\text{BC}BC
= 18 cm. On peut donc calculer :
\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900
AC2=302=900\text{AC}^2 = 30^2 = 900AC2=302=900
On constate que, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangleest rectangle en.
4.Dans le triangle
ABC\text{ABC}ABC
, on a 
AB\text{AB}AB
=
5\sqrt{5}5​
cm,
\text{AC
=
3\sqrt{3}3​
cm et
\text{BC
= 2 cm. On peut donc calculer :
BC2+AC2=22+(3)2=4+3=7\text{BC}^2 + \text{AC}^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7BC2+AC2=22+(3​)2=4+3=7
.
AB2=52=5\text{AB}^2 = \sqrt{5}^2 = 5AB2=5​2=5
.
On constate que, donc, d'après le contraposée du théorème de Pythagore, le trianglen'est pas rectangle.
5.Dans le triangle
ABC\text{ABC}ABC
, on a
AB\text{AB}AB
= 15 cm,
AC\text{AC}AC
= 9 cm et
BC\text{BC}BC
= 12 cm. On peut donc calculer :
BC2+AC2=122+92=144+81=225\text{BC}^2 + \text{AC}^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225BC2+AC2=122+92=144+81=225
,
AB2=152=225\text{AB}^2 = 15^2 = 225AB2=152=225
.
On constate que, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangleest rectangle en.
6.Dans le triangle
ABC\text{ABC}ABC
, on a
AB\text{AB}AB
= 5 cm,
AC\text{AC}AC
= 5 cm et
BC\text{BC}BC
= 5 cm. On constate que le triangle
ABC\text{ABC}ABC
est un triangle équilatéral, donc le triangle
ABC\text{ABC}ABC
n'est pas rectangle.
7.Dans le triangle
ABC\text{ABC}ABC
, on a
AB\text{AB}AB
=
8\sqrt{8}8​
cm,
AC\text{AC}AC
=
3\sqrt{3}3​
cm et
\text{BC
= 
5\sqrt{5}5​
 cm. On peut donc calculer :
BC2+AC2=(5)2+(3)2=5+3=8\text{BC}^2 + \text{AC}^2 = (\sqrt5)^2 + (\sqrt3)^2 = 5 + 3 = 8BC2+AC2=(5​)2+(3​)2=5+3=8
,
AB2=(8)2=8\text{AB}^2 = (\sqrt8)^2 = 8AB2=(8​)2=8
.
On constate que
BC2+AC2=AB2\text{BC}^2 + \text{AC}^2=\text{AB}^2BC2+AC2=AB2
, donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
\text{ABC
est rectangle en
\text{C
.