Exercice 1
On considère un triangle
tel que
,
et
.
1.Démontrer que
est un triangle rectangle.
2.Déterminer le centre et le rayon du cercle
, cercle circonscrit au triangle
.
Exercice 2
On considère un triangle
rectangle en
tel que
et
.
Déterminer le centre et le rayon du cercle
, cercle circonscrit au triangle
.
* Tirer des bords
D'après DNB Juillet 2019 Polynésie
Lorsqu'un voilier est face au vent, il ne peut pas avancer.
Si la destination choisie nécessite de prendre une direction face au vent, le voilier devra progresser en faisant des zigzags.
Comparer les trajectoires de ces deux voiliers en calculant la distance, en kilomètres et arrondie au dixième, que chacun a parcourue.
* Triangles semblables
D'après DNB Métropole juin 2018
La figure ci-dessus n’est pas représentée en vraie grandeur.
Les points
,
et
sont alignés. Le triangle
est rectangle en
. Le triangle
est rectangle en
.
1. Montrer que la longueur
est égale à 4 cm.
2. Montrer que les triangles
et
sont semblables.
3. Sophie affirme que l’angle
est un angle droit. A-t-elle raison ? Justifier.
4. Max affirme que l’angle
est un angle droit. A-t-il raison ? Justifier.
** L'araignée fait son chemin
Inspiré du DNB Septembre 2022 Polynésie
Un poteau électrique vertical
de
de haut est retenu par un câble métallique
comme montré sur leschéma 1qui n'est pas en vraie grandeur.
Schéma 1
1. Montrer que la longueur du câble
est égale à
.
2. Calculer la mesure de l'angle
au degré près.
Deux araignées se trouvant au sommet du poteau (point
) rejoignent le bas du câble (point
) par deux chemins différents.
3. La première araignée se déplace le long du câble
à une vitesse de
.
Vérifier qu'il lui faut
secondes pour atteindre le bas du câble.
4. La deuxième araignée suit le chemin
indiqué en pointillés sur leschéma 2(qui n'est pas en vraie grandeur). Elle parcourt le morceau de câble
, puis descend verticalement le long de
grâce à son fil et enfin se déplace sur le sol le long de
.
Calculer les longueurs
et
.
Schéma 2
5. La deuxième araignée se déplace à une vitesse de
le long des segments
et
, et descend le long du segment
à une vitesse de
.
Combien de temps lui faut-il pour atteindre le point A si elle ne fait pas de pause ?
** Calculer l'aire d'un triangle
On considère un triangle
tel que :
cm ;
cm ;
.
1. a.Représenter ce triangle
.
b.Combien semble mesurer
, au mm près ?
2.Soit
le projeté orthogonal de
sur la droite
.
a.Calculer la distance
.
b.En déduire l'aire
du triangle
.
3. a.Calculer la longueur
.
b.En déduire la longueur
.
☛** Distance d'un point à une droite (1)
On considère une droite
et un point
n'appartenant pas à la droite
.
On donne
,
et
.
1.Démontrer que
est un triangle rectangle.
2.Soit
le projeté orthogonal de
sur la droite
et
l'aire du triangle
.
En calculant l'aire
de deux manières différentes, déterminer la distance du point
à la droite
.
*** Distance d'un point à une droite (2)
On considère une droite
et un point
n'appartenant pas à la droite
.
On donne
,
et
.
Déterminer la distance du point
à la droite
.
*** Optimisation de la taille d'une bouteille de parfum
Une entreprise de parfumerie souhaite créer une nouvelle bouteille de parfum en forme de parallélépipède rectangle.
La contenance de la bouteille doit être de 100 mL.
La longueur de cette bouteille est fixée à
et la hauteur
doit être comprise entre
et
.
Pour des question d'esthétisme l'objectif est de minimiser la largeur
de la bouteille.
1.Simon dit avoir trouvé une solution : il propose de prendre une largeur de 2 cm et une hauteur de 12 cm.
La proposition de Simon est-elle correcte ?
2.Anaïs décide de modéliser la situation.
a.Démontrer que
, où
.
b.On admet que, lorsque la hauteur
augmente, la largeur
diminue. En déduire la valeur de
à considérer.
c.Quelle largeur
Anaïs peut-elle proposer ?
3.On s'intéresse maintenant au vaporisateur sur la bouteille.
Celui-ci est modélisé par un cylindre dont la base est un disque de rayon
et de hauteur
. On a représenté ce cylindre en rouge.
Quel est le volume
de ce vaporisateur ?
4.Afin de terminer la bouteille, l'équipe de création souhaite ajouter un bouchon de forme cubique, que l'on a représenté en vert.
Ce cube a pour arête 1,25 cm.
a.Calculer le volume
de ce cube.
b.Déterminer le volume
du bouchon de cette bouteille.
Pour aller plus loin, en lien avec les fonctions
5.Démonstration de la question2b.
On considère
la fonction définie sur l'intervalle
par
.
a.Soit
et
deux réels de
tels que
.
Démontrer que
.
b.En déduire le signe de
, puis le sens de variation de
sur
.
c.Justifier le choix d'Anaïs.
** Droite des milieux
Soit
un triangle.
On considère
le milieu de
et
le milieu de
.
Démontrer que les droites
et
sont parallèles.
** Vu au brevet
D'après DNB Juin 2016 Polynésie
Dans la figure ci-dessus :
- \(\text{ABE}\) est un triangle ;
- \(\text{AB}=6\text{ cm ; AE}=8\text{ cm et BE}=10\text{ cm ;}\)
- \(\text{I}\) et \(\text{J}\) sont les milieux respectifs des côtés \([\text{AB}]\) et \([\text{AE}]\) ;
- le cercle \((C)\) passe par les points \(\text{I}\), \(\text{J}\) et\(\text{A}\).
1. Peut-on affirmer que les droites
et
sont parallèles ?
2. Montrer que le triangle
est rectangle.
3. Quelle est la mesure de l'angle
? On donnera une valeur approchée au degré près.
4.a. Justifier que le centre du cercle
est le milieu du segment
.
b. Quelle est la mesure du rayon du cercle
?
** Projeté orthogonal et aire d'un triangle
est un triangle tel que :
- \(\text{AB}=3\sqrt{5}\) ;
- l'aire\(\mathcal{A}\) du triangle est de 15 unités d'aire ;
- \(\text{H}\) est le projeté orthogonal de \(\text{C}\) sur la droite \((\text{AB})\).
Calculer la longueur
.
** Construction d'un espace tropical dans un zoo
Un parc zoologique décide de construire un dôme sphérique de 102 mètres de diamètre afin de créer une zone tropicale. La hauteur de ce dôme doit être de 77 mètres.
Le dôme est modélisé par une calotte sphérique représentée ci-dessous.
On admet que les droites (AE) et (OA) sont perpendiculaires en A.
1.Justifier que OA = 26 m.
2.Calculer la longueur AE en mètres. On donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centimètre près.
3.Déterminer la mesure, en degré, de l'angle
.
4.On s'intéresse à la surface au sol occupée par le dôme. On admet que l'intersection entre le sol et le dôme est le cercle de centre A et de rayon AE.
Calculer, au mètre carré près, l'aire de cette surface.
5.On admet que le volume d'une calotte sphérique de hauteur
et de rayon
est :
.
À l'aide de cette expression, calculer le volume du dôme de la future zone tropicale.Arrondir au mètre cube près.
☛ *** Lieux géométriques
Dans cet exercice, on considère trois points
et
distincts du plan.
1.Quel est l'ensemble des points
du plan tels que
?
2.Quel est l'ensemble des points
du plan tels que
est un triangle isocèle en
?
3. Quel est l'ensemble des points
du plan tels que
?
4.Quel est l'ensemble des points
du plan tels que
et
sont perpendiculaires ?
5. Quel est l'ensemble des points
du plan tels que
?
*** Création d'un logo
Une entreprise souhaite créer le logo suivant sur la façade d'un mur de son bâtiment.
Le gérant souhaite savoir combien de litres de peinture bleue sont nécessaires pour peindre ce logo. On modélise le logo par la figure suivante.
est un demi-cercle de diamètre
tel que
mètres.
est le milieu de
.
est le point de
tel que
et
m.
est le projeté orthogonal de
sur la droite
.
1.a.Calculer les longueurs
et
.
b.En déduire l'aire
du triangle
.
2.
est le point du segment
tel que
m. Calculer l'aire
du triangle
.
3.Un pot de 1 litre de peinture bleue permet de peindre 10 m². Combien de litres de peinture bleue sont nécessaires pour peindre le logo ?
4.Afin que le logo soit harmonieux, l'angle
doit être compris entre
et
. Cette contrainte est-elle respectée ?
*** Tangente à un cercle
On considère le cercle
de centre
et de rayon
(où
est un réel strictement positif).
Soit
un diamètre du cercle
.
On a représenté en rouge la tangente au cercle
en
.
est le point de la tangente à
en
tel que
et
Déterminer le rayon
du cercle
.
☛ ** Intersection des médiatrices d'un triangle
On souhaite démontrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point.
Soit
un triangle (non aplati).
On note
le milieu de
,
le milieu de
et
le milieu de
.
Soit
la médiatrice de
,
la médiatrice de
et
la médiatrice de
.
1.Faire une figure.
2. On raisonne par l'absurde et on suppose que les droites
et
sont parallèles.
a.Démontrer que cela implique que les droites
et
sont parallèles.
b.En déduire que les droites
et
sont sécantes.
On appelle
le point d'intersection des droites
et
.
3.Démontrer que l'on a
.
4. Conclure.
☛ ** Cercles et droites
On considère deux points distincts
et
.
Soit
le cercle de centre
et de rayon
(réel strictement positif) et
le cercle de centre
et de rayon
(réel strictement positif) tels que
et
et
se coupent en deux points.
On appelle
et
les points d'intersection des cercles
et
.
Démontrer que les droites
et
sont perpendiculaires.
** Symétrie et parallélisme
Soit
et
trois points du plan.
On considère la symétrie centrale
de centre
.
On définit les points
et
.
Démontrer que les droites
et
sont parallèles.