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Configurations

 est un triangle rectangle.

Sommaire

* Centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle* Tirer des bords* Triangles semblables** L'araignée fait son chemin** Calculer l'aire d'un triangle☛** Distance d'un point à une droite (1)*** Distance d'un point à une droite (2)*** Optimisation de la taille d'une bouteille de parfum** Droite des milieux** Vu au brevet** Projeté orthogonal et aire d'un triangle** Construction d'un espace tropical dans un zoo☛ *** Lieux géométriques
*** Création d'un logo
*** Tangente à un cercle
☛ ** Intersection des médiatrices d'un triangle
☛ ** Cercles et droites
** Symétrie et parallélisme

* Centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle

Exercice 1
On considère un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 tel que 
AB=17\text{AB}=17AB=17
, 
BC=8\text{BC}=8BC=8
 et 
AC=15\text{AC}=15AC=15
.
1.Démontrer que 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle.
2.Déterminer le centre et le rayon du cercle 
C\mathscr{C}C
, cercle circonscrit au triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
Exercice 2
On considère un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 rectangle en 
B\text{B}B
tel que 
AB=3\text{AB}=3AB=3
 et 
ACB^=23,2o\widehat{\text{ACB}}=23,2^\text{o}ACB=23,2o
.
Déterminer le centre et le rayon du cercle 
C\mathscr{C}C
, cercle circonscrit au triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.

* Tirer des bords

D'après DNB Juillet 2019 Polynésie
Lorsqu'un voilier est face au vent, il ne peut pas avancer.
Si la destination choisie nécessite de prendre une direction face au vent, le voilier devra progresser en faisant des zigzags.
Comparer les trajectoires de ces deux voiliers en calculant la distance, en kilomètres et arrondie au dixième, que chacun a parcourue.

* Triangles semblables

D'après DNB Métropole juin 2018
La figure ci-dessus n’est pas représentée en vraie grandeur.
Les points
C\text{C}C
,
B\text{B}B
et
E\text{E}E
sont alignés. Le triangle
ABC\text{ABC}ABC
 est rectangle en
A\text{A}A
. Le triangle
BCD\text{BCD}BCD
 est rectangle en
B\text{B}B
.
1. Montrer que la longueur
BD\text{BD}BD
 est égale à 4 cm.
2. Montrer que les triangles
BCD\text{BCD}BCD
 et
BFE\text{BFE}BFE
 sont semblables.
3. Sophie affirme que l’angle 
BFE^\widehat{\text{BFE}}BFE
est un angle droit. A-t-elle raison ? Justifier.
4. Max affirme que l’angle 
ACD^\widehat{\text{ACD}}ACD
est un angle droit. A-t-il raison ? Justifier.

** L'araignée fait son chemin

Inspiré du DNB Septembre 2022 Polynésie
Un poteau électrique vertical 
[BC][\text{BC}][BC]
 de 
5,2 m5{,}2 \text{ m}5,2 m
 de haut est retenu par un câble métallique 
[AC][\text{AC}][AC]
 comme montré sur leschéma 1qui n'est pas en vraie grandeur.
Schéma 1
1. Montrer que la longueur du câble 
[AC][\text{AC}][AC]
 est égale à 
6,5 m6{,}5 \text{ m}6,5 m
.
2. Calculer la mesure de l'angle 
ACB^\widehat{\text{ACB}}ACB
 au degré près.
Deux araignées se trouvant au sommet du poteau (point
C\text{C}C
) rejoignent le bas du câble (point 
A\text{A}A
) par deux chemins différents.
3. La première araignée se déplace le long du câble 
[AC][\text{AC}][AC]
 à une vitesse de 
0,2 m/s0{,}2 \text{ m/s}0,2 m/s
.
Vérifier qu'il lui faut 
32,532{,}532,5
 secondes pour atteindre le bas du câble.
4. La deuxième araignée suit le chemin 
CFHA\text{CFHA}CFHA
 indiqué en pointillés sur leschéma 2(qui n'est pas en vraie grandeur). Elle parcourt le morceau de câble 
[CF][\text{CF}][CF]
, puis descend verticalement le long de 
[FH][\text{FH}][FH]
 grâce à son fil et enfin se déplace sur le sol le long de 
[HA][\text{HA}][HA]
.
Calculer les longueurs 
FH\text{FH}FH
 et
HA\text{HA}HA
.
Schéma 2
5. La deuxième araignée se déplace à une vitesse de 
0,2 m/s0{,}2 \text{ m/s}0,2 m/s
 le long des segments 
[CF][\text{CF}][CF]
 et 
[HA][\text{HA}][HA]
, et descend le long du segment 
[FH][\text{FH}][FH]
 à une vitesse de 
0,8 m/s0{,}8 \text{ m/s}0,8 m/s
.
Combien de temps lui faut-il pour atteindre le point A si elle ne fait pas de pause ?

** Calculer l'aire d'un triangle

On considère un triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 tel que : 
BC=3\text{BC}=3BC=3
 cm ; 
AC=6\text{AC}=6AC=6
 cm ; 
ACB^=36o\widehat{\text{ACB}}=36^\text{o}ACB=36o
.
1. a.Représenter ce triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
    b.Combien semble mesurer 
AB\text{AB}AB
, au mm près ?
2.Soit 
H\text{H}H
 le projeté orthogonal de 
B\text{B}B
 sur la droite 
(AC)(\text{AC})(AC)
.
    a.Calculer la distance 
BH\text{BH}BH
.
    b.En déduire l'aire 
A\mathcal{A}A
 du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
3. a.Calculer la longueur 
HC\text{HC}HC
.
    b.En déduire la longueur 
AB\text{AB}AB
.

☛** Distance d'un point à une droite (1)

On considère une droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et un point 
C\text{C}C
 n'appartenant pas à la droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
.
On donne 
AB=3,5\text{AB}=3{,}5AB=3,5
, 
AC=8,4\text{AC} = 8{,}4AC=8,4
 et 
BC=9,1\text{BC}=9{,}1BC=9,1
.
1.Démontrer que 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle.
2.Soit 
H\text{H}H
 le projeté orthogonal de 
A\text{A}A
 sur la droite 
(BC)(\text{BC})(BC)
 et 
A\mathcal{A}A
 l'aire du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
En calculant l'aire 
A\mathcal{A}A
 de deux manières différentes, déterminer la distance du point 
A\text{A}A
 à la droite 
(BC)(\text{BC})(BC)
.

*** Distance d'un point à une droite (2)

On considère une droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et un point 
C\text{C}C
 n'appartenant pas à la droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
.
On donne 
AB=12,3\text{AB}=12{,}3AB=12,3
, 
AC=16,4\text{AC} = 16{,}4AC=16,4
 et 
BC=20,5\text{BC}=20{,}5BC=20,5
.
Déterminer la distance du point 
A\text{A}A
 à la droite 
(BC)(\text{BC})(BC)
.

*** Optimisation de la taille d'une bouteille de parfum

Une entreprise de parfumerie souhaite créer une nouvelle bouteille de parfum en forme de parallélépipède rectangle.
La contenance de la bouteille doit être de 100 mL.
La longueur de cette bouteille est fixée à 
L=4 cmL=4 \text{ cm}L=4 cm
 et la hauteur
hhh
 doit être comprise entre 
101010
 et 
13 cm13 \text{ cm}13 cm
.
Pour des question d'esthétisme l'objectif est de minimiser la largeur
ℓ\ellℓ
 de la bouteille.
1.Simon dit avoir trouvé une solution : il propose de prendre une largeur de 2 cm et une hauteur de 12 cm.
La proposition de Simon est-elle correcte ?
2.Anaïs décide de modéliser la situation.
    a.Démontrer que 
ℓ=25h\ell = \dfrac{25}{h}ℓ=h25​
, où 
10⩽h⩽1310\leqslant h\leqslant1310⩽h⩽13
.
    b.On admet que, lorsque la hauteur
hhh
 augmente, la largeur
ℓ\ellℓ
 diminue. En déduire la valeur de 
hhh
 à considérer.
    c.Quelle largeur 
ℓ\ellℓ
 Anaïs peut-elle proposer ?
3.On s'intéresse maintenant au vaporisateur sur la bouteille.
Celui-ci est modélisé par un cylindre dont la base est un disque de rayon 
R=0,5 cmR=0{,}5 \text{ cm}R=0,5 cm
 et de hauteur
1 cm1\text{ cm}1 cm
. On a représenté ce cylindre en rouge.
Quel est le volume 
VcylindreV_\text{cylindre}Vcylindre​
 de ce vaporisateur ?
4.Afin de terminer la bouteille, l'équipe de création souhaite ajouter un bouchon de forme cubique, que l'on a représenté en vert.
Ce cube a pour arête 1,25 cm.
    a.Calculer le volume 
VcubeV_\text{cube}Vcube​
 de ce cube.
    b.Déterminer le volume 
VbouchonV_\text{bouchon}Vbouchon​
du bouchon de cette bouteille.
Pour aller plus loin, en lien avec les fonctions
5.Démonstration de la question2b.
On considère 
ℓ\ellℓ
 la fonction définie sur l'intervalle 
[10 ;13][10~;13][10 ;13]
 par 
ℓ(h)=25h\ell (h) = \dfrac{25}{h}ℓ(h)=h25​
.
    a.Soit 
h1h_1h1​
 et 
h2h_2h2​
 deux réels de 
[10 ;13][10~;13][10 ;13]
 tels que
h1<h2h_1<h_2h1​<h2​
.
        Démontrer que 
ℓ(h1)−ℓ(h2)=25(h2−h1)h1h2\ell (h_1)-\ell (h_2)=\dfrac{25(h_2-h_1)}{h_1h_2}ℓ(h1​)−ℓ(h2​)=h1​h2​25(h2​−h1​)​
.
    b.En déduire le signe de 
ℓ(h1)−ℓ(h2)\ell (h_1) - \ell (h_2)ℓ(h1​)−ℓ(h2​)
, puis le sens de variation de 
ℓ\ellℓ
 sur 
[10 ;13][10~;13][10 ;13]
.
    c.Justifier le choix d'Anaïs.

** Droite des milieux

Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle.
On considère 
I\text{I}I
 le milieu de 
[AB][\text{AB}][AB]
 et 
J\text{J}J
 le milieu de 
[AC][\text{AC}][AC]
.
Démontrer que les droites 
(IJ)(\text{IJ})(IJ)
 et 
(BC)(\text{BC})(BC)
sont parallèles.

** Vu au brevet

D'après DNB Juin 2016 Polynésie
Dans la figure ci-dessus :
  • \(\text{ABE}\) est un triangle ;
  • \(\text{AB}=6\text{ cm ; AE}=8\text{ cm et BE}=10\text{ cm ;}\)
  • \(\text{I}\) et \(\text{J}\) sont les milieux respectifs des côtés \([\text{AB}]\) et \([\text{AE}]\) ;
  • le cercle \((C)\) passe par les points \(\text{I}\), \(\text{J}\) et\(\text{A}\).
1. Peut-on affirmer que les droites
(IJ)(\text{IJ})(IJ)
 et 
(BE)(\text{BE})(BE)
 sont parallèles ?
2. Montrer que le triangle 
ABE\text{ABE}ABE
 est rectangle.
3. Quelle est la mesure de l'angle 
AEB^\widehat{\text{AEB}}AEB
 ? On donnera une valeur approchée au degré près.
4.a. Justifier que le centre du cercle 
(C)(C)(C)
 est le milieu du segment 
[IJ][\text{IJ}][IJ]
.
b. Quelle est la mesure du rayon du cercle 
(C)(C)(C)
?

** Projeté orthogonal et aire d'un triangle

ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle tel que : 
  • \(\text{AB}=3\sqrt{5}\) ;
  • l'aire\(\mathcal{A}\) du triangle est de 15 unités d'aire ;
  • \(\text{H}\) est le projeté orthogonal de \(\text{C}\) sur la droite \((\text{AB})\).
Calculer la longueur 
CH\text{CH}CH
.

** Construction d'un espace tropical dans un zoo

Un parc zoologique décide de construire un dôme sphérique de 102 mètres de diamètre afin de créer une zone tropicale. La hauteur de ce dôme doit être de 77 mètres.
Le dôme est modélisé par une calotte sphérique représentée ci-dessous.
On admet que les droites (AE) et (OA) sont perpendiculaires en A.
1.Justifier que OA = 26 m.
2.Calculer la longueur AE en mètres. On donnera la valeur exacte, puis une valeur arrondie au centimètre près.
3.Déterminer la mesure, en degré, de l'angle
AEO^\widehat {\text{AEO}}AEO
.
4.On s'intéresse à la surface au sol occupée par le dôme. On admet que l'intersection entre le sol et le dôme est le cercle de centre A et de rayon AE.
Calculer, au mètre carré près, l'aire de cette surface.
5.On admet que le volume d'une calotte sphérique de hauteur
hhh
et de rayon
RRR
est : 
V=πh23(3R−h)V=\dfrac{\pi h^2}{3}(3R-h)V=3πh2​(3R−h)
.
À l'aide de cette expression, calculer le volume du dôme de la future zone tropicale.Arrondir au mètre cube près.

☛ *** Lieux géométriques

Dans cet exercice, on considère trois points 
A,B\text{A}, \text{B}A,B
 et 
C\text{C}C
 distincts du plan.
1.Quel est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
AM=3\text{AM}=3AM=3
 ?
2.Quel est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
ABM\text{ABM}ABM
 est un triangle isocèle en 
M\text{M}M
 ?
3. Quel est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
AM=BM=CM\text{AM}=\text{BM}=\text{CM}AM=BM=CM
 ?
4.Quel est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que
(AM)\text{(AM)}(AM)
 et  
(BM)(\text{BM})(BM)
 sont perpendiculaires ?
5. Quel est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
BAM^=CAM^\widehat{\text{BAM}}=\widehat{\text{CAM}}BAM=CAM
 ?

*** Création d'un logo

Une entreprise souhaite créer le logo suivant sur la façade d'un mur de son bâtiment.
Le gérant souhaite savoir combien de litres de peinture bleue sont nécessaires pour peindre ce logo. On modélise le logo par la figure suivante.
C\mathscr{C}C
 est un demi-cercle de diamètre 
[AB][\text{AB}][AB]
 tel que 
AB=10\text{AB}=10AB=10
 mètres.
G\text{G}G
 est le milieu de 
[AB][\text{AB}][AB]
.
C\text{C}C
 est le point de 
C\mathscr{C}C
 tel que 
BAC^=58o\widehat{\text{BAC}}=58^\text{o}BAC=58o
 et 
AC=5,3\text{AC}=5{,}3AC=5,3
 m.
F\text{F}F
 est le projeté orthogonal de
C\text{C}C
 sur la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
1.a.Calculer les longueurs 
AF\text{AF}AF
 et
FC\text{FC}FC
.
    b.En déduire l'aire 
A1\mathcal{A}_1A1​
du triangle 
AFC\text{AFC}AFC
.
2.
E\text{E}E
 est le point du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
 tel que 
BE=1\text{BE}=1BE=1
 m. Calculer l'aire
A2\mathcal{A}_2A2​
du triangle 
EGC\text{EGC}EGC
.
3.Un pot de 1 litre de peinture bleue permet de peindre 10 m². Combien de litres de peinture bleue sont nécessaires pour peindre le logo ?
4.Afin que le logo soit harmonieux, l'angle 
β=GEC^\beta = \widehat{\text{GEC}}β=GEC
 doit être compris entre 
36o36^\text{o}36o
 et 
37o37^\text{o}37o
. Cette contrainte est-elle respectée ?

*** Tangente à un cercle

On considère le cercle 
C\mathscr{C}C
 de centre 
O\text{O}O
 et de rayon 
RRR
 (où
RRR
 est un réel strictement positif).
Soit
[AC][\text{AC}][AC]
 un diamètre du cercle 
C\mathscr{C}C
.
On a représenté en rouge la tangente au cercle 
C\mathscr{C}C
 en 
A\text{A}A
.
B\text{B}B
 est le point de la tangente à 
C\mathscr{C}C
 en 
A\text{A}A
 tel que 
α=ACB^=39,8o\alpha =\widehat{\text{ACB}}=39{,}8^\text{o}α=ACB=39,8o
 et 
AB=5.\text{AB}=5.AB=5.
Déterminer le rayon 
RRR
 du cercle 
C\mathscr{C}C
.

☛ ** Intersection des médiatrices d'un triangle

On souhaite démontrer que les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes en un point.
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle (non aplati).
On note 
A′\text{A}'A′
 le milieu de 
[BC][\text{BC}][BC]
, 
B′\text{B}'B′
 le milieu de 
[AC][\text{AC}][AC]
 et
C′\text{C}'C′
 le milieu de 
[AB][\text{AB}][AB]
.
Soit 
(d1)(d_\text{1})(d1​)
 la médiatrice de 
[BC][\text{BC}][BC]
,
(d2)(d_\text{2})(d2​)
 la médiatrice de 
[AC][\text{AC}][AC]
 et 
(d3)(d_\text{3})(d3​)
 la médiatrice de 
[AB][\text{AB}][AB]
.
1.Faire une figure.
2. On raisonne par l'absurde et on suppose que les droites
(d1)(d_1)(d1​)
 et 
(d2)(d_2)(d2​)
 sont parallèles.
    a.Démontrer que cela implique que les droites
(AC)(\text{AC})(AC)
 et
(BC)(\text{BC})(BC)
 sont parallèles.
    b.En déduire que les droites 
(d1)(d_1)(d1​)
 et 
(d2)(d_2)(d2​)
 sont sécantes.
On appelle 
O\text{O}O
 le point d'intersection des droites 
(d1)(d_1)(d1​)
 et 
(d2)(d_2)(d2​)
.
3.Démontrer que l'on a 
OC=OA=OB\text{OC}=\text{OA}=\text{OB}OC=OA=OB
.
4. Conclure.

☛ ** Cercles et droites

On considère deux points distincts 
A\text{A}A
 et 
B\text{B}B
.
Soit 
C1\mathscr{C}_1C1​
 le cercle de centre 
A\text{A}A
 et de rayon 
r1r_1r1​
 (réel strictement positif) et 
C2\mathscr{C}_2C2​
 le cercle de centre 
B\text{B}B
 et de rayon 
r2r_2r2​
 (réel strictement positif) tels que 
r2>r1r_2>r_1r2​>r1​
 et 
C1\mathscr{C}_1C1​
 et
C2\mathscr{C}_2C2​
 se coupent en deux points.
On appelle
C\text{C}C
 et 
D\text{D}D
 les points d'intersection des cercles 
C1\mathscr{C}_1C1​
 et 
C2\mathscr{C}_2C2​
 .
Démontrer que les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(CD)(\text{CD})(CD)
 sont perpendiculaires.

** Symétrie et parallélisme

Soit 
O,A\text{O}, \text{A}O,A
 et 
B\text{B}B
 trois points du plan.
On considère la symétrie centrale 
sss
 de centre 
O\text{O}O
.
On définit les points 
A′=s(A)\text{A}'=s(\text{A})A′=s(A)
 et 
B′=s(B)\text{B}'=s(\text{B})B′=s(B)
.
Démontrer que les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(A′B′)(\text{A}'\text{B}')(A′B′)
sont parallèles.