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Dans un repère du plan

\(\left(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J}\right)\)

Sommaire

* Nature d'un triangle* Nature d'un quadrilatère (1)* Nature d'un quadrilatère (2)* Droites parallèles ?** Projeté orthogonal d'un point sur une droite (1)** Projeté orthogonal d'un point sur une droite (2)** Utiliser la trigonométrie pour calculer un angle** Droite des milieux** Calculer un angle à l'aide du projeté orthogonal☛*** Dans un repère - Lieux géométriques

* Nature d'un triangle

Exercice 1
Soit 
(O ;I ,J)\left(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J}\right)(O ;I ,J)
 un repère orthonormé du plan.
On considère les points 
A(−3 ;2), B(4 ;6)\text{A}(-3~;2), ~\text{B}(4~;6)A(−3 ;2), B(4 ;6)
 et 
C(3 ;−2)\text{C}(3~;-2)C(3 ;−2)
.
Quelle est la nature du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 ?
Exercice 2
Soit 
(O ;I ,J)\left(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J}\right)(O ;I ,J)
 un repère orthonormé du plan.
On considère les points 
A(−4 ;0), B(−1 ;3)\text{A}(-4~;0),~ \text{B}(-1~;3)A(−4 ;0), B(−1 ;3)
 et 
C(4 ;−2)\text{C}(4~;-2)C(4 ;−2)
.
Quelle est la nature du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 ?

* Nature d'un quadrilatère (1)

Soit 
(O ;I ,J)\left(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J}\right)(O ;I ,J)
 un repère orthonormé du plan.
On considère les points 
A(1 ;2), B(2 ;−1), C(−2 ;1)\text{A}(1~;2),~ \text{B}(2~;-1), ~\text{C}(-2~;1)A(1 ;2), B(2 ;−1), C(−2 ;1)
 et 
D(−1 ;−2)\text{D}(-1~;-2)D(−1 ;−2)
.
1. a.Calculer les coordonnées de 
M\text{M}M
, milieu du segment 
[AD][\text{AD}][AD]
.
    b.Calculer les coordonnées de 
N\text{N}N
, milieu du segment 
[BC][\text{BC}][BC]
.
    c.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 
ABDC\text{ABDC}ABDC
 ?
2. Calculer les longueurs 
AC\text{AC}AC
 et 
AB\text{AB}AB
.
3. a.Calculer la longueur 
BC\text{BC}BC
.
    b.Justifier que les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(AC)(\text{AC})(AC)
 sont perpendiculaires.
4.Conclure sur la nature du quadrilatère 
ABDC\text{ABDC}ABDC
.

* Nature d'un quadrilatère (2)

Soit 
(O ;I ,J)\left(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J}\right)(O ;I ,J)
 un repère orthonormé du plan.
On considère les points 
A(−3 ;2), B(−1 ;−7), C(5 ;0)\text{A}(-3~;2),~ \text{B}(-1~;-7),~ \text{C}(5~;0)A(−3 ;2), B(−1 ;−7), C(5 ;0)
 et 
D(3 ;9)\text{D}(3~;9)D(3 ;9)
.
1. a.Calculer les coordonnées de 
M\text{M}M
, milieu du segment 
[AC][\text{AC}][AC]
.
    b.Calculer les coordonnées de 
N\text{N}N
, milieu du segment 
[BD][\text{BD}][BD]
.
    c.Que peut-on en déduire pour le quadrilatère 
ABCD\text{ABCD}ABCD
 ?
2. Calculer les longueurs 
AB\text{AB}AB
 et 
BC\text{BC}BC
.
3.Conclure sur la nature du quadrilatère 
ABCD\text{ABCD}ABCD
.

* Droites parallèles ?

Le plan est muni d'un repère orthonormé 
(O ;I ,J)(\text{O}~;\text{I}~,\text{J})(O ;I ,J)
.
On considère les points 
A(−1 ;3)\text{A}(-1~;3)A(−1 ;3)
, 
B(4 ;−2)\text{B}(4~;-2)B(4 ;−2)
, 
C(9 ;8)\text{C}(9~;8)C(9 ;8)
, 
D(−3 ;2)\text{D}(-3~;2)D(−3 ;2)
 et 
E(−2 ;4)\text{E}(-2~;4)E(−2 ;4)
.
On admet que le point
E\text{E}E
 appartient à la droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et que le point 
D\text{D}D
 appartient à la droite 
(AC)(\text{AC})(AC)
.
1. a.Calculer les longueurs 
AB\text{AB}AB
 et 
AE\text{AE}AE
.
    b.En déduire que 
AB=5AE\text{AB}=5\text{AE}AB=5AE
.
2.Démontrer que 
EDBC=15\dfrac{\text{ED}}{\text{BC}}=\dfrac{1}{5}BCED​=51​
.
3.On donne 
AD=5\text{AD}=\sqrt{5}AD=5​
 et 
AC=55\text{AC}=5\sqrt{5}AC=55​
. Les droites 
(BC)(\text{BC})(BC)
 et 
(ED)(\text{ED})(ED)
 sont-elles parallèles ?

** Projeté orthogonal d'un point sur une droite (1)

1.Tracer un repère orthonormé 
(O ;I ,J)\left(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J}\right)(O ;I ,J)
 du plan.
On considère les points 
A(−3 ;−1), B(−1 ;2)\text{A}(-3~;-1),~ \text{B}(-1~;2)A(−3 ;−1), B(−1 ;2)
 et 
C(1 ;−1)\text{C}(1~;-1)C(1 ;−1)
.
Placerles points 
A,B\text{A}, \text{B}A,B
 et 
C\text{C}C
 dans ce repère.
Compléter la figure au fur et à mesure de l'exercice.
2. a.Soit 
E\text{E}E
 le milieu de 
[AC][\text{AC}][AC]
. Calculer les coordonnées de 
E\text{E}E
.
    b.On admet que 
F(−1 ;−1)\text{F}(-1~;-1)F(−1 ;−1)
 est le milieu de 
[BD][\text{BD}][BD]
. Que peut-on dire du quadrilatère 
ABCD\text{ABCD}ABCD
 ?
4. a.Calculer les longueurs 
AB\text{AB}AB
, 
AE\text{AE}AE
 et 
BE\text{BE}BE
.
    b.Démontrer que le triangle 
ABE\text{ABE}ABE
 est rectangle en 
E\text{E}E
.
5.Quelle est la nature du quadrilatère 
ABCD\text{ABCD}ABCD
 ?
6. Soit
H\text{H}H
le projeté orthogonal de
C\text{C}C
sur la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
    a.Placer le point 
H\text{H}H
 sur la figure.
    b. Justifier que l’aire
A\mathcal{A}A
du triangle
ABC\text{ABC}ABC
est égale à 6 unités d’aire.
    c.En déduire la distance 
CH\text{CH}CH
.

** Projeté orthogonal d'un point sur une droite (2)

Le plan est muni d'un repère orthonormé 
(O ;I ,J)\left(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J}\right)(O ;I ,J)
.
On considère les points 
A(−2 ;1), B(0 ;5)\text{A}(-2~;1), ~\text{B}(0~;5)A(−2 ;1), B(0 ;5)
 et 
C(6 ;−3)\text{C}(6~;-3)C(6 ;−3)
.
1. Soit 
E\text{E}E
 le milieu de 
[BC][\text{BC}][BC]
. Calculer les coordonnées de 
E\text{E}E
.
2.Soit 
D\text{D}D
 le symétrique de 
A\text{A}A
 par rapport à
E\text{E}E
. Démontrer que 
D\text{D}D
 a pour coordonnées 
(8;1)(8;1)(8;1)
.
3. a.Calculer les longueurs 
AB\text{AB}AB
 et 
BC\text{BC}BC
.
    b. On admet que
AC=45\text{AC}=4\sqrt{5}AC=45​
. Démontrer que le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est rectangle.
5.Quelle est la nature du quadrilatère 
ABDC\text{ABDC}ABDC
 ?
6. Soit
H\text{H}H
le projeté orthogonal de
A\text{A}A
sur la droite
(BC)(\text{BC})(BC)
. Calculer la distance 
AH\text{AH}AH
.

** Utiliser la trigonométrie pour calculer un angle

Exercice 1
Le plan est muni d'un repère orthonormé 
(O ;I ,J)(\text{O}~ ; \text{I}~, \text{J})(O ;I ,J)
.
On considère les points 
A(0 ;3), B(6 ;0)\text{A}(0~;3),~ \text{B}(6~;0)A(0 ;3), B(6 ;0)
 et 
C(−2 ;−1)\text{C}(-2~;-1)C(−2 ;−1)
.
1.Démontrer que 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle.
2.Déterminer la mesure, arrondie au degré près, de chacun des angles du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
Exercice 2
Le plan est muni d'un repère orthonormé 
(O ;I ,J)(\text{O} ~; \text{I} ~, \text{J})(O ;I ,J)
.
On considère les points 
A(1 ;4), B(−3 ;2)\text{A}(1~;4), ~\text{B}(-3~;2)A(1 ;4), B(−3 ;2)
 et 
C(0 ;−4)\text{C}(0~;-4)C(0 ;−4)
.
Déterminer la mesure de l'angle 
BAC^\widehat{\text{BAC}}BAC
, arrondie au dixième de degré près.

** Droite des milieux

Le plan est muni d'un repère orthonormé 
(O ;I ,J)(\text{O}~;\text{I}~,\text{J})(O ;I ,J)
.
On considère les points 
A(−3 ;5)\text{A}(-3~;5)A(−3 ;5)
, 
B(−1 ;−3)\text{B}(-1~;-3)B(−1 ;−3)
 et 
C(5 ;1)\text{C}(5~;1)C(5 ;1)
.
1.Calculer les coordonnées du point 
E\text{E}E
, milieu du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
.
2.Calculer les coordonnées du point 
F\text{F}F
, milieu du segment 
[AC][\text{AC}][AC]
.
3.Calculer les longueurs 
BC\text{BC}BC
 et 
EF\text{EF}EF
.
4.Démontrer que les droites 
(BC)(\text{BC})(BC)
 et 
(EF)(\text{EF})(EF)
 sont parallèles.

** Calculer un angle à l'aide du projeté orthogonal

1.Tracer un repère orthonormé 
(O ;I ,J)(\text{O}~;\text{I}~,\text{J})(O ;I ,J)
 du plan.
On considère les points 
A(−4 ;2)\text{A}(-4~;2)A(−4 ;2)
, 
B(2 ;−1)\text{B}(2~;-1)B(2 ;−1)
 et 
C(0 ;5)\text{C}(0~;5)C(0 ;5)
.
Soit 
H\text{H}H
 le projeté orthogonal de 
C\text{C}C
 sur la droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
.
Placer les points 
A,B,C\text{A}, \text{B}, \text{C}A,B,C
 et 
H\text{H}H
dans ce repère.
2.Calculer la longueur 
AB\text{AB}AB
.
3.On admet que l'aire 
A\mathcal{A}A
du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est égale à 15 unités d'aires. Calculer la longueur 
CH\text{CH}CH
.
4.Calculer la longueur 
AH\text{AH}AH
.
5.Déterminer la mesure de chacun des angles du triangles 
ABC\text{ABC}ABC
. Arrondir au degré près.

☛*** Dans un repère - Lieux géométriques

Le plan est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→)\left(\text{O}~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
.
On considère les points 
A(−1 ;1)\text{A}(-1~;1)A(−1 ;1)
 et 
B(0 ;−2)\text{B}(0~;-2)B(0 ;−2)
.
Soit 
M(x ;y)\text{M}(x~;y)M(x ;y)
 un point du plan.
Soit 
(E)(\mathcal{E})(E)
 des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
.
1.Calculer les coordonnées de 
I\text{I}I
, milieu du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
. Justifier que 
I\text{I}I
 appartient à l'ensemble
(E)(\mathcal{E})(E)
.
2.Comment caractériser géométriquement l'ensemble 
(E)(\mathcal{E})(E)
 ?
3.Démontrer que 
AM2=x2+y2+2x−2y+2\text{AM}^2=x^2+y^2+2x-2y+2AM2=x2+y2+2x−2y+2
.
4.Calculer
BM2\text{BM}^2BM2
en fonction de 
xxx
 et 
yyy
.
5.En déduire qu'une équation de
(E)(\mathcal{E})(E)
 est 
2x−6y−2=02x-6y-2=02x−6y−2=0
.
6.Soit
C(−2;1)\text{C}(-2;1)C(−2;1)
 et 
D(3;−1)\text{D}(3;-1)D(3;−1)
. Déterminer une équation de la médiatrice du segment 
[CD][\text{CD}][CD]
.