Énoncé
On considère une droite
et un point
n'appartenant pas à la droite
.
On donne
,
et
.
1.Démontrer que
est un triangle rectangle.
2.Soit
le projeté orthogonal de
sur la droite
et
l'aire du triangle
.
En calculant l'aire
de deux manières différentes, déterminer la distance du point
à la droite
.
Solution
1.Dans le triangle
,
est le plus grand des trois côtés.
D'une part :
.
D'autre part :
.
Donc
;
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle
est rectangle en
.
2. Le triangle
est rectangle en
.
Donc on a
unités d'aire.
est la hauteur issue de
.
Donc on a aussi
.
Donc
D'où
(arrondi au dixième près).
☛ ** Lieux géométriques
Énoncé
Dans cet exercice, on considère trois points
et
distincts du plan.
1.Quel est l'ensemble des points
du plan tels que
?
2.Quel est l'ensemble des points
du plan tels que
est un triangle isocèle en
?
3. Quel est l'ensemble des points
du plan tels que
?
4.Quel est l'ensemble des points
du plan tels que
et
sont perpendiculaires ?
5. Quel est l'ensemble des points
du plan tels que
?
Solution
1.Chercher l'ensemble des points
du plan tels que
signifie que l'on cherche tous les points
du plan situés à une distance de 3 (unités de longueur) du point
. Cet ensemble correspond au cercle de centre
et de rayon 3.
2.Dire que
est un triangle isocèle en
se traduit par
.
On cherche donc l'ensemble des points
du plan équidistants de
et de
.
L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment
.
3.On a
donc
appartient à la médiatrice du segment
.
On a aussi :
- \(\text{CM}=\text{BM}\) donc \(\text{M}\) appartient à la médiatricedu segment \([\text{CB}]\).
- \(\text{AM}=\text{CM}\) donc \(\text{M}\) appartient à la médiatricedu segment \([\text{AC}]\).
On en déduit que
est le point d'intersection (ou point de concours) des trois médiatrices du triangle
, soit le centre du cercle circonscrit au triangle
.
Donc l'ensemble cherché est réduit à un seul point le centre du cercle circonscrit à
.
4.
et
sont perpendiculaires donc
est un triangle rectangle en
.
est l'hypoténuse de ce triangle rectangle.
Or, si
est un triangle rectangle en
, alors le milieu de
est le centre du cercle circonscrit au triangle
.
On en déduit que l'ensemble cherché est le cercle de diamètre
, privé des points
et
.
5. On a
donc
.
Donc
appartient à l'ensemble des points qui sépare l'angle
en deux angles de même mesure.
Ainsi l'ensemble cherché est la bissectrice de l'angle
.
☛ ** Intersection des médiatrices d'un triangle
Énoncé
Soit
un triangle (non aplati).
On note
le milieu de
,
le milieu de
et
le milieu de
.
Soit
la médiatrice de
,
la médiatrice de
et
la médiatrice de
.
1.Faire une figure.
2. On raisonne par l'absurde et on suppose que les droites
et
sont parallèles.
a.Démontrer que cela implique que les droites
et
sont parallèles.
b.En déduire que les droites
et
sont sécantes.
On appelle
le point d'intersection des droites
et
.
3.Démontrer que l'on a
.
4.Conclure.
Solution
1.
2. On raisonne par l'absurde et on suppose que les droites
et
sont parallèles. a.On sait que :
- \((d_1)\) est perpendiculaire à \((\text{BC})\) par définition de la médiatrice d'un segment ;
- De, même \((d_2)\) est perpendiculaire à \((\text{AC})\) ;
- Par hypothèse \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles.
On en déduit que
est perpendiculaire à
. Or,
est perpendiculaire à
.
Donc les droites
et
sont parallèles.
b.Les droites
et
sont parallèles, ce qui signifie que les points
et
sont alignés.
Mais
est un triangle (non aplati), ce qui contredit le fait que
et
sont alignés.
On en déduit que notre hypothèse de départ "les droites
et
sont parallèles" est fausse, donc
et
sont sécantes.
3.
appartient à
donc
. De même
appartient à
donc
.
Donc
.
Remarque
Cette question justifie que les points
et
appartiennent au cercle de centre
et de rayon
, cercle circonscrit au triangle
.
4.D'après la question précédente, on a
, donc par propriété de la médiatrice, on en déduit que
.
On peut en déduire que le point
est le point de concours des trois médiatrices du triangle
.
☛ ** Cercles et droites
Énoncé
On considère deux points distincts
et
.
Soit
le cercle de centre
et de rayon
(réel strictement positif) et
le cercle de centre
et de rayon
(réel strictement positif) tels que
et
et
se coupent en deux points.
On appelle
et
les points d'intersection des cercles
et
.
Démontrer que les droites
et
sont perpendiculaires.
Solution
et
donc
.
Ainsi
appartient à la médiatrice de
.
De même,
et
donc
.
Ainsi
appartient à la médiatrice de
.
La médiatrice de
est donc la droite
.
D'où
et
sont perpendiculaires.
☛ *** Dans un repère - Lieux géométriques
Énoncé
Le plan est rapporté à un repère orthonormé
.
On considère les points
et
.
Soit
un point du plan.
Soit
des points
du plan tels que
.
1.Calculer les coordonnées de
, milieu du segment
. Justifier que
appartient à l'ensemble
.
2.Comment caractériser géométriquement l'ensemble
?
3.Démontrer que
.
4.Calculer
en fonction de
et
.
5.En déduire qu'une équation de
est
.
6. Soit
et
. Déterminer une équation de la médiatrice du segment
,
Solution
1.
est le milieu du segment
, donc :
et
, d'où
et
.
Ainsi
a pour coordonnées
.
De plus,
étant le milieu du segment
, on a
, d'où
appartient à l'ensemble
.
2.
est l'ensemble des points
du plan tels que
, c'est-à-dire l'ensemble des points
du plan équidistants de
et
. L'ensemble
est donc la médiatrice du segment
.
3.
.
On utilise les identités remarquables :
et
.
D'où
.
4.
. En développant avec la première identité remarquable, on obtient :
.
D'où
.
5.
est l'ensemble des points
du plan tels que
.
et
sont des longueurs donc on a :
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si
6.En appliquant le même raisonnement avec
, une équation de la médiatrice de
est
.