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☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

 n'appartenant pas à la droite 

Sommaire

☛ ** Distance d'un point à une droite (1)☛ ** Lieux géométriques☛ ** Intersection des médiatrices d'un triangle☛ ** Cercles et droites☛ *** Dans un repère - Lieux géométriques

☛ ** Distance d'un point à une droite (1)

Énoncé
On considère une droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et un point 
C\text{C}C
 n'appartenant pas à la droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
.
On donne 
AB=3,5\text{AB}=3{,}5AB=3,5
, 
AC=8,4\text{AC} = 8{,}4AC=8,4
 et 
BC=9,1\text{BC}=9{,}1BC=9,1
.
1.Démontrer que 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle rectangle.
2.Soit 
H\text{H}H
 le projeté orthogonal de 
A\text{A}A
 sur la droite 
(BC)(\text{BC})(BC)
 et 
A\mathcal{A}A
 l'aire du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
En calculant l'aire 
A\mathcal{A}A
 de deux manières différentes, déterminer la distance du point 
A\text{A}A
 à la droite 
(BC)(\text{BC})(BC)
.
Solution
1.Dans le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
,  
[BC][\text{BC}][BC]
 est le plus grand des trois côtés.
D'une part : 
BC2=9,12=82,81\text{BC}^2=9{,}1^2=82{,}81BC2=9,12=82,81
.
D'autre part : 
AB2+AC2=3,52+8,42=12,25+70,56=82,81\text{AB}^2+\text{AC}^2=3{,}5^2+8{,}4^2=12{,}25+70{,}56=82{,}81AB2+AC2=3,52+8,42=12,25+70,56=82,81
.
Donc 
BC2=AB2+AC2\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2BC2=AB2+AC2
;
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est rectangle en 
A\text{A}A
.
2. Le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est rectangle en 
A\text{A}A
.
Donc on a 
A=AB×AC2=3,5×8,42=14,7\mathcal{A}=\dfrac{\text{AB}\times \text{AC}}{2}=\dfrac{3{,}5\times 8{,}4}{2}=14{,}7A=2AB×AC​=23,5×8,4​=14,7
 unités d'aire.
(AH)(\text{AH})(AH)
 est la hauteur issue de 
A\text{A}A
.
Donc on a aussi 
A=BC×AH2=9,1×AH2\mathcal{A}=\dfrac{\text{BC}\times \text{AH}}{2}=\dfrac{9{,}1\times \text{AH}}{2}A=2BC×AH​=29,1×AH​
.
Donc 
9,1×AH2=14,7\dfrac{9{,}1\times \text{AH}}{2}=14{,}729,1×AH​=14,7
D'où 
AH=14,7×29,1=4213≈3,2\text{AH}=\dfrac{14{,}7\times 2}{9{,}1}=\dfrac{42}{13}\approx3{,}2AH=9,114,7×2​=1342​≈3,2
(arrondi au dixième près).

☛ ** Lieux géométriques

Énoncé
Dans cet exercice, on considère trois points 
A,B\text{A}, \text{B}A,B
 et 
C\text{C}C
 distincts du plan.
1.Quel est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
AM=3\text{AM}=3AM=3
 ?
2.Quel est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
ABM\text{ABM}ABM
 est un triangle isocèle en 
M\text{M}M
 ?
3. Quel est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
AM=BM=CM\text{AM}=\text{BM}=\text{CM}AM=BM=CM
 ?
4.Quel est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que
(AM)\text{(AM)}(AM)
et 
(BM)(\text{BM})(BM)
 sont perpendiculaires ?
5. Quel est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
BAM^=CAM^\widehat{\text{BAM}}=\widehat{\text{CAM}}BAM=CAM
 ?
Solution
1.Chercher l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
AM=3\text{AM}=3AM=3
 signifie que l'on cherche tous les points 
M\text{M}M
 du plan situés à une distance de 3 (unités de longueur) du point 
A\text{A}A
. Cet ensemble correspond au cercle de centre 
A\text{A}A
 et de rayon 3.
2.Dire que
ABM\text{ABM}ABM
 est un triangle isocèle en 
M\text{M}M
se traduit par 
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
.
On cherche donc l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan équidistants de 
A\text{A}A
 et de 
B\text{B}B
.
L'ensemble cherché est donc la médiatrice du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
.
3.On a
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
 donc 
M\text{M}M
 appartient à la médiatrice du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
.
On a aussi : 
  • \(\text{CM}=\text{BM}\) donc \(\text{M}\) appartient à la médiatricedu segment \([\text{CB}]\).
  • \(\text{AM}=\text{CM}\) donc \(\text{M}\) appartient à la médiatricedu segment \([\text{AC}]\).
On en déduit que 
M\text{M}M
 est le point d'intersection (ou point de concours) des trois médiatrices du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
, soit le centre du cercle circonscrit au triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
Donc l'ensemble cherché est réduit à un seul point le centre du cercle circonscrit à 
ABC\text{ABC}ABC
.
4. 
(AM)\text{(AM)}(AM)
 et 
(BM)(\text{BM})(BM)
 sont perpendiculaires donc 
AMB\text{AMB}AMB
 est un triangle rectangle en 
M\text{M}M
.
[AB][\text{AB}][AB]
 est l'hypoténuse de ce triangle rectangle.
Or, si 
AMB\text{AMB}AMB
 est un triangle rectangle en 
M\text{M}M
, alors le milieu de 
[AB][\text{AB}][AB]
 est le centre du cercle circonscrit au triangle 
AMB\text{AMB}AMB
.
On en déduit que l'ensemble cherché est le cercle de diamètre 
[AB][\text{AB}][AB]
, privé des points 
A\text{A}A
 et 
B\text{B}B
.
5. On a 
BAM^=CAM^\widehat{\text{BAM}}=\widehat{\text{CAM}}BAM=CAM
 donc
2×BAM^=BAC^2\times\widehat{\text{BAM}}=\widehat{\text{BAC}}2×BAM=BAC
.
Donc 
M\text{M}M
 appartient à l'ensemble des points qui sépare l'angle 
BAC^\widehat{\text{BAC}}BAC
 en deux angles de même mesure.
Ainsi l'ensemble cherché est la bissectrice de l'angle 
BAC^\widehat{\text{BAC}}BAC
 .

☛ ** Intersection des médiatrices d'un triangle

Énoncé
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle (non aplati).
On note 
A′\text{A}'A′
 le milieu de 
[BC][\text{BC}][BC]
,
B′\text{B}'B′
 le milieu de 
[AC][\text{AC}][AC]
 et
C′\text{C}'C′
 le milieu de 
[AB][\text{AB}][AB]
.
Soit 
(d1)(d_\text{1})(d1​)
 la médiatrice de 
[BC][\text{BC}][BC]
, 
(d2)(d_\text{2})(d2​)
 la médiatrice de 
[AC][\text{AC}][AC]
 et
(d3)(d_\text{3})(d3​)
 la médiatrice de 
[AB][\text{AB}][AB]
.
1.Faire une figure.
2. On raisonne par l'absurde et on suppose que les droites
(d1)(d_1)(d1​)
 et 
(d2)(d_2)(d2​)
 sont parallèles.
    a.Démontrer que cela implique que les droites
(AC)(\text{AC})(AC)
 et
(BC)(\text{BC})(BC)
 sont parallèles.
    b.En déduire que les droites 
(d1)(d_1)(d1​)
 et 
(d2)(d_2)(d2​)
 sont sécantes.
On appelle 
O\text{O}O
 le point d'intersection des droites
(d1)(d_1)(d1​)
 et 
(d2)(d_2)(d2​)
.
3.Démontrer que l'on a 
OC=OA=OB\text{OC}=\text{OA}=\text{OB}OC=OA=OB
.
4.Conclure.
Solution
1.
2. On raisonne par l'absurde et on suppose que les droites
(d1)(d_1)(d1​)
 et 
(d2)(d_2)(d2​)
 sont parallèles.  a.On sait que : 
  • \((d_1)\) est perpendiculaire à \((\text{BC})\) par définition de la médiatrice d'un segment ;
  • De, même \((d_2)\) est perpendiculaire à \((\text{AC})\) ;
  • Par hypothèse \((d_1)\) et \((d_2)\) sont parallèles.
On en déduit que
(d1)(d_1)(d1​)
 est perpendiculaire à 
(AC)(\text{AC})(AC)
. Or,
(d1)(d_1)(d1​)
 est perpendiculaire à 
(BC)(\text{BC})(BC)
.
Donc les droites 
(AC)(\text{AC})(AC)
 et 
(BC)(\text{BC})(BC)
 sont parallèles.
    b.Les droites 
(AC)(\text{AC})(AC)
 et 
(BC)(\text{BC})(BC)
 sont parallèles, ce qui signifie que les points 
A,B\text{A}, \text{B}A,B
 et 
C\text{C}C
 sont alignés.
Mais 
ABC\text{ABC}ABC
 est un triangle (non aplati), ce qui contredit le fait que 
A,B\text{A}, \text{B}A,B
 et 
C\text{C}C
 sont alignés.
On en déduit que notre hypothèse de départ "les droites
(d1)(d_1)(d1​)
 et 
(d2)(d_2)(d2​)
 sont parallèles" est fausse, donc 
(d1)(d_1)(d1​)
 et 
(d2)(d_2)(d2​)
 sont sécantes.
3.
O\text{O}O
 appartient à 
(d1)(d_1)(d1​)
 donc 
OB=OC\text{OB}=\text{OC}OB=OC
. De même 
O\text{O}O
 appartient à 
(d2)(d_2)(d2​)
 donc 
OA=OC\text{OA}=\text{OC}OA=OC
.
Donc 
OB=OC=OA\text{OB}=\text{OC}=\text{OA}OB=OC=OA
.
Remarque
Cette question justifie que les points 
A,B\text{A}, \text{B}A,B
 et 
C\text{C}C
 appartiennent au cercle de centre 
O\text{O}O
 et de rayon 
OA\text{OA}OA
, cercle circonscrit au triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
4.D'après la question précédente, on a 
OB=OA\text{OB}=\text{OA}OB=OA
, donc par propriété de la médiatrice, on en déduit que 
O∈(d3)\text{O}\in (d_3)O∈(d3​)
.
On peut en déduire que le point 
O\text{O}O
 est le point de concours des trois médiatrices du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.

☛ ** Cercles et droites

Énoncé
On considère deux points distincts 
A\text{A}A
 et 
B\text{B}B
.
Soit 
C1\mathscr{C}_1C1​
 le cercle de centre 
A\text{A}A
et de rayon 
r1r_1r1​
 (réel strictement positif) et 
C2\mathscr{C}_2C2​
 le cercle de centre 
B\text{B}B
et de rayon 
r2r_2r2​
 (réel strictement positif) tels que 
r2>r1r_2>r_1r2​>r1​
 et 
C1\mathscr{C}_1C1​
 et 
C2\mathscr{C}_2C2​
 se coupent en deux points.
On appelle
C\text{C}C
 et 
D\text{D}D
 les points d'intersection des cercles 
C1\mathscr{C}_1C1​
 et 
C2\mathscr{C}_2C2​
 .
Démontrer que les droites 
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(CD)(\text{CD})(CD)
 sont perpendiculaires.
Solution
C∈C1\text{C}\in \mathscr{C}_1C∈C1​
 et 
D∈C1\text{D}\in \mathscr{C}_1D∈C1​
 donc 
CA=DA\text{CA}=\text{DA}CA=DA
. 
Ainsi 
A\text{A}A
 appartient à la médiatrice de 
[CD][\text{CD}][CD]
.
De même, 
C∈C2\text{C}\in \mathscr{C}_2C∈C2​
 et 
D∈C2\text{D}\in \mathscr{C}_2D∈C2​
 donc 
CB=DB\text{CB}=\text{DB}CB=DB
. 
Ainsi 
B\text{B}B
 appartient à la médiatrice de 
[CD][\text{CD}][CD]
.
La médiatrice de 
[CD][\text{CD}][CD]
 est donc la droite 
(AB)(\text{AB})(AB)
. 
D'où
(AB)(\text{AB})(AB)
 et 
(CD)(\text{CD})(CD)
 sont perpendiculaires.

☛ *** Dans un repère - Lieux géométriques

Énoncé
Le plan est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→)\left(\text{O}~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
.
On considère les points 
A(−1 ;1)\text{A}(-1~;1)A(−1 ;1)
 et 
B(0 ;−2)\text{B}(0~;-2)B(0 ;−2)
.
Soit 
M(x ;y)\text{M}(x~;y)M(x ;y)
 un point du plan.
Soit
(E)(\mathcal{E})(E)
 des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
.
1.Calculer les coordonnées de 
I\text{I}I
, milieu du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
. Justifier que 
I\text{I}I
 appartient à l'ensemble
(E)(\mathcal{E})(E)
.
2.Comment caractériser géométriquement l'ensemble 
(E)(\mathcal{E})(E)
 ?
3.Démontrer que 
AM2=x2+y2+2x−2y+2\text{AM}^2=x^2+y^2+2x-2y+2AM2=x2+y2+2x−2y+2
.
4.Calculer
BM2\text{BM}^2BM2
en fonction de 
xxx
 et 
yyy
.
5.En déduire qu'une équation de 
(E)(\mathcal{E})(E)
 est 
2x−6y−2=02x-6y-2=02x−6y−2=0
.
6. Soit
C(−2;1)\text{C}(-2;1)C(−2;1)
 et 
D(3;−1)\text{D}(3;-1)D(3;−1)
. Déterminer une équation de la médiatrice du segment 
[CD][\text{CD}][CD]
,
Solution
1.
I\text{I}I
 est le milieu du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
, donc :
xI=xA+xB2x_\text{I}=\dfrac{x_\text{A}+x_\text{B}}{2}xI​=2xA​+xB​​
 et 
yI=yA+yB2y_\text{I}=\dfrac{y_\text{A}+y_\text{B}}{2}yI​=2yA​+yB​​
, d'où 
xI=−1+02=−12x_\text{I}=\dfrac{-1+0}{2} = -\dfrac{1}{2}xI​=2−1+0​=−21​
 et 
xI=1−22=−12x_\text{I}=\dfrac{1-2}{2} = -\dfrac{1}{2}xI​=21−2​=−21​
.
Ainsi 
I\text{I}I
 a pour coordonnées 
(−12 ;−12)\left(-\dfrac{1}{2} ~; -\dfrac{1}{2}\right)(−21​ ;−21​)
.
De plus, 
I\text{I}I
 étant le milieu du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
, on a
AI=BI\text{AI}=\text{BI}AI=BI
, d'où 
I\text{I}I
 appartient à l'ensemble 
(E)(\mathcal{E})(E)
.
2.
(E)(\mathcal{E})(E)
 est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
, c'est-à-dire l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan équidistants de 
A\text{A}A
 et 
B\text{B}B
. L'ensemble
(E)(\mathcal{E})(E)
 est donc la médiatrice du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
.
3.
AM2=(xM−xA)2+(yM−yA)22=(x−(−1))2+(y−1)2=(x+1)2+(y−1)2\text{AM}^2=\sqrt{\left(x_\text{M}-x_\text{A}\right)^2+\left(y_\text{M}-y_\text{A}\right)^2}^2 = (x-(-1))^2+(y-1)^2 = (x+1)^2+(y-1)^2AM2=(xM​−xA​)2+(yM​−yA​)2​2=(x−(−1))2+(y−1)2=(x+1)2+(y−1)2
.
On utilise les identités remarquables :
(x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2=x^2+2x+1(x+1)2=x2+2x+1
 et 
(y−1)2=y2−2y+1(y-1)^2=y^2-2y+1(y−1)2=y2−2y+1
.
D'où 
AM2=x2+2x+1+y2−2y+1=x2+y2+2x−2y+2\text{AM}^2=x^2+2x+1+y^2-2y+1=x^2+y^2+2x-2y+2AM2=x2+2x+1+y2−2y+1=x2+y2+2x−2y+2
.
4. 
BM2=(xM−xB)2+(yM−yB)22=(x−0)2+(y−(−2))2=x2+(y+2)2\text{BM}^2=\sqrt{\left(x_\text{M}-x_\text{B}\right)^2+\left(y_\text{M}-y_\text{B}\right)^2}^2 = (x-0)^2+(y-(-2))^2 = x^2+(y+2)^2BM2=(xM​−xB​)2+(yM​−yB​)2​2=(x−0)2+(y−(−2))2=x2+(y+2)2
. En développant avec la première identité remarquable, on obtient :
(y+2)2=y2+2×y×2+22=y2+4y+4(y+2)^2=y^2+2\times y \times 2+2^2 = y^2+4y+4(y+2)2=y2+2×y×2+22=y2+4y+4
.
D'où 
BM2=x2+y2+4y+4\text{BM}^2=x^2+y^2+4y+4BM2=x2+y2+4y+4
.
5.
(E)(\mathcal{E})(E)
 est l'ensemble des points 
M\text{M}M
 du plan tels que 
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
. 
AM\text{AM}AM
 et 
BM\text{BM}BM
 sont des longueurs donc on a : 
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
 si et seulement si
AM2=BM2\text{AM}^2=\text{BM}^2AM2=BM2
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
 si et seulement si
x2+y2+2x−2y+2=x2+y2+4y+4x^2+y^2+2x-2y+2=x^2+y^2+4y+4x2+y2+2x−2y+2=x2+y2+4y+4
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
 si et seulement si
x2+y2+2x−2y+2−x2−y2−4y−4=0x^2+y^2+2x-2y+2-x^2-y^2-4y-4=0x2+y2+2x−2y+2−x2−y2−4y−4=0
AM=BM\text{AM}=\text{BM}AM=BM
 si et seulement si
2x−6y−2=02x-6y-2=02x−6y−2=0
6.En appliquant le même raisonnement avec 
CM=DM\text{CM}=\text{DM}CM=DM
, une équation de la médiatrice de 
[CD][\text{CD}][CD]
 est 
10x−4y−5=010x-4y-5=010x−4y−5=0
.