Énoncé
Soit
un triangle tel que
,
et
.
Soit
le projeté orthogonal de
sur la droite
.
1.Quelle est la nature du triangle
?
2.Exprimer l'aire
du triangle
.
3.Exprimer
en fonction de
et
.
4.En déduire que
.
Solution
1.
est le projeté orthogonal de
sur la droite
. Donc
est un triangle rectangle en
.
2.
.
3.Le triangle
est rectangle en
.
Donc
soit
.
Donc
.
4.On a donc
.
D'où
.
☛ Loi des sinus
Énoncé
Soit
un triangle.
On note
et
.
On admet que l'aire
du triangle
est donnée par
.
1.Exprimer l'aire
à l'aide de
, puis à l'aide de
.
2. Démontrer que l'on a :
.
Solution
1.On a
et
.
2.
- D'une part : \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{AC}\times \sin (\alpha)=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{BC}\times \sin (\beta)\).
En divisant chaque membre de l'égalité par
(qui est non nul), on obtient :
.
D'où
(avec
et
).
- D'autre part :
.
En divisant chaque membre de l'égalité par
(qui est non nul), on obtient :
D'où
(avec
et
).
On a donc bien démontré que
.