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☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

\(\widehat{\text{ACB}}=\alpha\)

Sommaire

☛ Expression de l'aire d'un triangle☛ Loi des sinus

☛ Expression de l'aire d'un triangle

Énoncé
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle tel que 
AC=a\text{AC}=aAC=a
, 
BC=b\text{BC}=bBC=b
 et 
ACB^=α\widehat{\text{ACB}}=\alphaACB=α
.
Soit 
H\text{H}H
 le projeté orthogonal de 
A\text{A}A
 sur la droite 
(BC)(\text{BC})(BC)
.
1.Quelle est la nature du triangle 
ACH\text{ACH}ACH
 ?
2.Exprimer l'aire 
A\mathcal{A}A
 du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
3.Exprimer 
AH\text{AH}AH
 en fonction de 
aaa
 et 
sin⁡(α)\sin (\alpha)sin(α)
.
4.En déduire que 
A=12absin⁡(α)\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}ab\sin(\alpha)A=21​absin(α)
.
Solution
1. 
H\text{H}H
 est le projeté orthogonal de 
A\text{A}A
 sur la droite 
(BC)(\text{BC})(BC)
. Donc 
ACH\text{ACH}ACH
 est un triangle rectangle en 
H\text{H}H
.
2.
A=BC×AH2\mathcal{A}=\dfrac{\text{BC}\times \text{AH}}{2}A=2BC×AH​
.
3.Le triangle 
ACH\text{ACH}ACH
 est rectangle en 
H\text{H}H
.
Donc 
sin⁡(AHC^)=AHAC\sin\left(\widehat{\text{AHC}}\right)=\dfrac{\text{AH}}{\text{AC}}sin(AHC)=ACAH​
 soit 
sin⁡(α)=AHa\sin\left(\alpha\right)=\dfrac{\text{AH}}{a}sin(α)=aAH​
.
Donc 
AH=a×sin⁡(α)\text{AH}=a\times\sin\left(\alpha\right)AH=a×sin(α)
.
4.On a donc 
A=BC×AH2=b×a×sin⁡(α)2\mathcal{A}=\dfrac{\text{BC}\times \text{AH}}{2}= \dfrac{b\times a\times\sin\left(\alpha\right)}{2}A=2BC×AH​=2b×a×sin(α)​
.
D'où
A=12absin⁡(α)\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}ab\sin(\alpha)A=21​absin(α)
.

☛ Loi des sinus

Énoncé
Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle.
On note 
α=BAC^, β=ABC^,\alpha =\widehat{\text{BAC}}, \ \beta=\widehat{\text{ABC}},α=BAC, β=ABC,
 et 
γ=BCA^\gamma = \widehat{\text{BCA}}γ=BCA
.
On admet que l'aire
A\mathcal{A}A
 du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est donnée par 
A=12AB×AC×sin⁡(α)\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{AC}\times \sin (\alpha)A=21​AB×AC×sin(α)
.
1.Exprimer l'aire 
A\mathcal{A}A
 à l'aide de 
sin⁡(β)\sin (\beta)sin(β)
, puis à l'aide de
sin⁡(γ)\sin (\gamma)sin(γ)
.
2. Démontrer que l'on a : 
BCsin⁡(α)=ACsin⁡(β)=ABsin⁡(γ)\dfrac{\text{BC}}{\sin (\alpha)} = \dfrac{\text{AC}}{\sin (\beta)} = \dfrac{\text{AB}}{\sin (\gamma)}sin(α)BC​=sin(β)AC​=sin(γ)AB​
.
Solution
1.On a 
A=12AB×BC×sin⁡(β)\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{BC}\times \sin (\beta)A=21​AB×BC×sin(β)
 et 
A=12AC×BC×sin⁡(γ)\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AC}\times \text{BC}\times \sin (\gamma)A=21​AC×BC×sin(γ)
.
2.
  • D'une part :  \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{AC}\times \sin (\alpha)=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{BC}\times \sin (\beta)\).
En divisant chaque membre de l'égalité par 
12AB\dfrac{1}{2}\text{AB}21​AB
 (qui est non nul), on obtient :
AC×sin⁡(α)=BC×sin⁡(β)\text{AC}\times \sin (\alpha)= \text{BC}\times \sin (\beta)AC×sin(α)=BC×sin(β)
.
D'où 
ACsin⁡(β)=BCsin⁡(α)\dfrac{\text{AC}}{\sin (\beta)}= \dfrac{\text{BC}}{\sin (\alpha)}sin(β)AC​=sin(α)BC​
 (avec 
sin⁡(α)≠0\sin (\alpha) \neq0sin(α)=0
 et 
sin⁡(β)≠0\sin (\beta) \neq0sin(β)=0
).
  • D'autre part : 
A=12AC×BC×sin⁡(γ)=12AB×AC×sin⁡(α)\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AC}\times \text{BC}\times \sin (\gamma)=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{AC}\times \sin (\alpha)A=21​AC×BC×sin(γ)=21​AB×AC×sin(α)
.
En divisant chaque membre de l'égalité par 
12AC\dfrac{1}{2}\text{AC}21​AC
 (qui est non nul), on obtient :
AB×sin⁡(α)=BC×sin⁡(γ)\text{AB}\times \sin (\alpha)= \text{BC}\times \sin (\gamma)AB×sin(α)=BC×sin(γ)
D'où 
ABsin⁡(γ)=BCsin⁡(α)\dfrac{\text{AB}}{\sin (\gamma)}= \dfrac{\text{BC}}{\sin (\alpha)}sin(γ)AB​=sin(α)BC​
 (avec 
sin⁡(α)≠0\sin (\alpha) \neq0sin(α)=0
 et 
sin⁡(γ)≠0\sin (\gamma) \neq0sin(γ)=0
).
On a donc bien démontré que 
ACsin⁡(β)=BCsin⁡(α)=ABsin⁡(γ)\dfrac{\text{AC}}{\sin (\beta)}= \dfrac{\text{BC}}{\sin (\alpha)}=\dfrac{\text{AB}}{\sin (\gamma)}sin(β)AC​=sin(α)BC​=sin(γ)AB​
.