Soit
un triangle tel que
,
et
.
Soit
le projeté orthogonal de
sur la droite
.
1.Quelle est la nature du triangle
?
2.Exprimer l'aire
du triangle
.
3.Exprimer
en fonction de
et
.
4.En déduire que
.
☛ Loi des sinus
Soit
un triangle.
On note
et
.
On admet que l'aire
du triangle
est donnée par
.
1.Exprimer l'aire
à l'aide de
, puis à l'aide de
.
2. Démontrer que l'on a :
.
Formule d'Al-Kashi
Al-Kashi, ou Ghiyath al-Din Jamshid Kashani, est un mathématicien et astronome persan du XIVe siècle, né en 1380 à Kashan et mort en 1429 à Samarkand. Il est connu pour ses contributions majeures à l'astronomie et aux mathématiques, notamment son ouvrage Risala a-muhitiyya sur le cercle.
On considère un triangle
tel que le point
est le projeté orthogonal de
sur le segment
.
1.Dans le triangle rectangle
, exprimer
en fonction de
et de
.
2.Dans le triangle rectangle
, exprimer
en fonction de
et de
.
3.À l'aide d'une identité remarquable, montrer que :
.
4.En utilisant les questions1.et2., déduire l'expression de
en fonction des longueurs des côtés du triangle
.
5.Dans le triangle rectangle
, exprimer
en fonction de
et de
.
6.En déduire la formule suivante
.
Cette formule s'appelle la formule d'Al Kashi dans un triangle.
7. On considère ici que le triangle ABC est rectangle en
, en déduire la valeur de
.
Intersection des médiatrices d'un triangle
Le plan est muni d'un repère orthonormé
.
On considère les points
,
et
.
1. a.Soit
le milieu du segment
. Calculer les coordonnées de
.
b.Calculer les longueurs
et
.
c.Démontrer que
est un triangle rectangle en
.
d.Quelle est la médiatrice
du segment
?
2. Démontrer que le point
appartient à la droite
, médiatrice du segment
.
3.Soit
un point appartenant à la droite
, médiatrice du segment
.
a.Démontrer que
et que
.
b.En déduire que
est l'ensemble des points
tels que
.
c.Démontrer que le point
appartient à l'ensemble
.
4.Que représente le point
pour le triangle
?