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\(\widehat{\text{ACB}}=\alpha\)

Sommaire

☛ Expression de l'aire d'un triangle☛ Loi des sinusFormule d'Al-KashiIntersection des médiatrices d'un triangle

☛ Expression de l'aire d'un triangle

Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle tel que 
AC=a\text{AC}=aAC=a
, 
BC=b\text{BC}=bBC=b
 et 
ACB^=α\widehat{\text{ACB}}=\alphaACB=α
.
Soit 
H\text{H}H
 le projeté orthogonal de 
A\text{A}A
 sur la droite 
(BC)(\text{BC})(BC)
.
1.Quelle est la nature du triangle 
ACH\text{ACH}ACH
 ?
2.Exprimer l'aire 
A\mathcal{A}A
 du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
.
3.Exprimer 
AH\text{AH}AH
 en fonction de 
aaa
 et 
sin⁡(α)\sin (\alpha)sin(α)
.
4.En déduire que 
A=12absin⁡(α)\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}ab\sin(\alpha)A=21​absin(α)
.

☛ Loi des sinus

Soit 
ABC\text{ABC}ABC
 un triangle.
On note 
α=BAC^, β=ABC^,\alpha =\widehat{\text{BAC}}, \ \beta=\widehat{\text{ABC}},α=BAC, β=ABC,
 et 
γ=BCA^\gamma = \widehat{\text{BCA}}γ=BCA
.
On admet que l'aire
A\mathcal{A}A
 du triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 est donnée par 
A=12AB×AC×sin⁡(α)\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{AC}\times \sin (\alpha)A=21​AB×AC×sin(α)
.
1.Exprimer l'aire 
A\mathcal{A}A
 à l'aide de 
sin⁡(β)\sin (\beta)sin(β)
, puis à l'aide de
sin⁡(γ)\sin (\gamma)sin(γ)
.
2. Démontrer que l'on a : 
BCsin⁡(α)=ACsin⁡(β)=ABsin⁡(γ)\dfrac{\text{BC}}{\sin (\alpha)} = \dfrac{\text{AC}}{\sin (\beta)} = \dfrac{\text{AB}}{\sin (\gamma)}sin(α)BC​=sin(β)AC​=sin(γ)AB​
.

Formule d'Al-Kashi

Al-Kashi, ou Ghiyath al-Din Jamshid Kashani, est un mathématicien et astronome persan du XIVe siècle, né en 1380 à Kashan et mort en 1429 à Samarkand. Il est connu pour ses contributions majeures à l'astronomie et aux mathématiques, notamment son ouvrage Risala a-muhitiyya sur le cercle.
On considère un triangle
ABC\text{ABC}ABC
tel que le point
H\text{H}H
 est le projeté orthogonal de
A\text{A}A
 sur le segment
[BC][\text{BC}][BC]
.
1.Dans le triangle rectangle
ABH\text{ABH}ABH
, exprimer
BH2\text{BH}^2BH2
en fonction de
AB\text{AB}AB
et de
AH\text{AH}AH
.
2.Dans le triangle rectangle
ACH\text{ACH}ACH
, exprimer
CH2\text{CH}^2CH2
en fonction de
AC\text{AC}AC
et de
AH\text{AH}AH
.
3.À l'aide d'une identité remarquable, montrer que :
CH2=BH2+BC2−2×BH×BC\text{CH}^2 = \text{BH}^2 + \text{BC}^2 - {2}\times{\text{BH}}\times{\text{BC}}CH2=BH2+BC2−2×BH×BC
.
4.En utilisant les questions1.et2., déduire l'expression de
BH\text{BH}BH
en fonction des longueurs des côtés du triangle
ABC\text{ABC}ABC
.
5.Dans le triangle rectangle
BAH\text{BAH}BAH
, exprimer
cos⁡(HBA^)\cos(\widehat{\text{HBA}})cos(HBA)
en fonction de
BH\text{BH}BH
et de
AB\text{AB}AB
.
6.En déduire la formule suivante
cos⁡(ABC^)=AB2+BC2−AC22×BC×AB\cos(\widehat{\text{ABC}}) = \dfrac{\text{AB}^2+\text{BC}^2-\text{AC}^2}{{2}\times{\text{BC}}\times{\text{AB}}}cos(ABC)=2×BC×ABAB2+BC2−AC2​
.
Cette formule s'appelle la formule d'Al Kashi dans un triangle.
7. On considère ici que le triangle ABC est rectangle en
B\text{B}B
, en déduire la valeur de
cos⁡(ABC^)\cos(\widehat{\text{ABC}})cos(ABC)
.

Intersection des médiatrices d'un triangle

Le plan est muni d'un repère orthonormé 
(O ;I ,J)(\text{O}~ ; \text{I} ~, \text{J})(O ;I ,J)
.
On considère les points 
A(−2 ;4)\text{A}(-2~;4)A(−2 ;4)
, 
B(−4 ;0)\text{B}(-4~;0)B(−4 ;0)
 et 
C(5 ;3)\text{C}(5~;3)C(5 ;3)
.
1. a.Soit 
E\text{E}E
 le milieu du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
. Calculer les coordonnées de 
E\text{E}E
.
    b.Calculer les longueurs 
BE,EI\text{BE}, \text{EI}BE,EI
 et 
IB\text{IB}IB
.
    c.Démontrer que 
EIB\text{EIB}EIB
 est un triangle rectangle en 
E\text{E}E
.
    d.Quelle est la médiatrice 
D1\mathcal{D}_1D1​
 du segment 
[AB][\text{AB}][AB]
 ?
2. Démontrer que le point 
I\text{I}I
 appartient à la droite 
D2\mathcal{D}_2D2​
, médiatrice du segment 
[AC][\text{AC}][AC]
.
3.Soit 
M(x ;y)\text{M}(x~;y)M(x ;y)
 un point appartenant à la droite 
D3\mathcal{D}_3D3​
, médiatrice du segment 
[BC][\text{BC}][BC]
.
    a.Démontrer que 
BM2=x2+y2+8x+16\text{BM}^2 =x^2+y^2+8x+16BM2=x2+y2+8x+16
 et que 
CM2=x2+y2−10x−6y+34\text{CM}^2=x^2+y^2-10x-6y+34CM2=x2+y2−10x−6y+34
.
    b.En déduire que 
D3\mathcal{D}_3D3​
 est l'ensemble des points 
M(x ;y)\text{M}(x~;y)M(x ;y)
 tels que 
3x+y−3=03x+y-3=03x+y−3=0
.
    c.Démontrer que le point 
I\text{I}I
 appartient à l'ensemble 
D3\mathcal{D}_3D3​
.
4.Que représente le point 
I\text{I}I
 pour le triangle 
ABC\text{ABC}ABC
 ?