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Vecteur directeur et équation cartésienne d'une droite

Dans chacun des cas suivants, on considère une droite

Sommaire

Vecteur directeur (1)Vecteur directeur (2)Vecteur directeur (3)Équation cartésienneÉquation cartésienne et vecteur directeur

Vecteur directeur (1)

Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, on considère une droite
ddd
 et un vecteur directeur
u→\overrightarrow{u}u
 de cette droite.
Donner deux autres vecteurs directeurs de la droite
ddd
.
1.La droite
ddd
 a comme vecteur directeur le vecteur
u→(3−5)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 3\\ -5\\ \end{pmatrix}u(3−5​)
.
2.La droite
ddd
 a comme vecteur directeur le vecteur
u→(−71)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -7\\ 1\\ \end{pmatrix}u(−71​)
.
3.La droite
ddd
 est dirigée par le vecteur
u→(−14−32)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -14\\ -32\\ \end{pmatrix}u(−14−32​)
.
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, on donne une droite
ddd
 et un vecteur directeur
u→\overrightarrow{u}u
 de cette droite.
Déterminer si le vecteur
v→\overrightarrow{v}v
  est aussi un vecteur directeur de la droite
ddd
 .
1.La droite
ddd
 est dirigée par le vecteur
u→(74)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 7\\ 4\\ \end{pmatrix}u(74​)
. Soit le vecteur
v→(52)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 5\\ 2\\ \end{pmatrix}v(52​)
.
2.La droite
ddd
 est dirigée par le vecteur
u→(−68)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -6\\ 8\\ \end{pmatrix}u(−68​)
. Soit le vecteur
v→(3−4)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3\\ -4\\ \end{pmatrix}v(3−4​)
.
3.La droite
ddd
 est dirigée par le vecteur
u→(15−33)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 15\\ -33\\ \end{pmatrix}u(15−33​)
. Soit le vecteur
v→(−2555)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -25\\ 55\\ \end{pmatrix}v(−2555​)
.
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, on considère deux droites
ddd
 et
d′d'd′
. Déterminer si ces deux droites sont parallèles.
1.La droite
ddd
 est dirigée par le vecteur
u→(2−7)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ -7\\ \end{pmatrix}u(2−7​)
 et la droite
d′d'd′
 par le vecteur
v→(−172)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1\\ \dfrac{7}{2}\\ \end{pmatrix}v(−127​​)
.
2.La droite
ddd
 est dirigée par le vecteur
u→(−13−8)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -13\\ -8\\ \end{pmatrix}u(−13−8​)
 et la droite
d′d'd′
 par le vecteur
v→(−8−13)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -8\\ -13\\ \end{pmatrix}v(−8−13​)
.
3.La droite
ddd
 est dirigée par le vecteur
u→(273−147)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 273\\ -147\\ \end{pmatrix}u(273−147​)
 et la droite
d′d'd′
par le vecteur
v→(39−21)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 39\\ -21\\ \end{pmatrix}v(39−21​)
.

Vecteur directeur (2)

Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, on considère deux points 
A\text AA
et
B\text BB
.
Donner deux vecteurs directeurs de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
1.\(\text{A}(-3;5)\) et
B(1;3)\text{B}(1;3)B(1;3)
.
2.\(\text{A}(17;-8)\) et
B(17;12)\text{B}(17;12)B(17;12)
.
3. \(\text{A}(24;13)\) et
B(−16;37)\text{B}(-16;37)B(−16;37)
.
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, on considère deuxpoints 
A\text AA
et
B\text BB
.
Déterminer si le vecteur
v→\overrightarrow{v}v
 est un vecteur directeur de la droite
(AB)(\text{AB})(AB)
.
1.\(\text{A}(7;2)\),
B(12;−3)\text{B}(12;-3)B(12;−3)
 et
v→(1−1)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ \end{pmatrix}v(1−1​)
.
2. \(\text{A}(-9;8)\),
B(−5;7)\text{B}(-5;7)B(−5;7)
et
v→(−163)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -16\\ 3\\ \end{pmatrix}v(−163​)
.
3. \(\text{A}(317;-208)\),
B(866;224)\text{B}(866;224)B(866;224)
et
v→(6148)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 61\\ 48\\ \end{pmatrix}v(6148​)
.
Exercice 3
Dans chacun des cas suivants, on considère quatre points 
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
 et
D\text DD
.
Déterminer si les droites
(AB)(\text{AB})(AB)
 et
(CD)(\text{CD})(CD)
 sont parallèles.
1.\(\text{A}(5;-1)\),
B(9;−4)\text{B}(9;-4)B(9;−4)
, \(\text{C}(-7;7)\) et
D(−15;12)\text{D}(-15;12)D(−15;12)
.
2. \(\text{A}(-3;4)\),
B(3;2)\text{B}(3;2)B(3;2)
, \(\text{C}(11;-1)\) et
D(−1;3)\text{D}(-1;3)D(−1;3)
.
3. \(\text{A}(37;-45)\),
B(71;−96)\text{B}(71;-96)B(71;−96)
, \(\text{C}(713;-802)\) et
D(715;−805)\text{D}(715;-805)D(715;−805)
.

Vecteur directeur (3)

Pour chacune des équations suivantes, déterminer un vecteur directeur de la droite qu'elle représente.
1.
y = 2x + 3
2.
y = -3x - 4
3.
y = 1/(2)x - 1
4.
2x - y + 3 = 0
5.
3x + 4y - 5 = 0
6.
x - 2y + 1 = 0
7.
y = 3x - 2
8.
2x + 3y - 4 = 0
9.
x - 4y + 5 = 0

Équation cartésienne

Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, déterminer si l'équation donnée est une équation cartésienne de droite du plan.
1.\((\text{E}_1) : 3x=5y-8\)
2.
(E2):7x−y2−1=0(\text{E}_2) : 7x-y^2-1=0(E2​):7x−y2−1=0
3.\((\text{E}_3) : 5(3x-2) = 4(1-y)\)
4.
(E4):x=3(\text{E}_4) : x=3(E4​):x=3
5.
(E5):(3x−2)(1−y)=20(\text{E}_5) : (3x-2)(1-y) = 20(E5​):(3x−2)(1−y)=20
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, on considère une droite
ddd
 dont on donne une équation cartésienne et un point
A\text{A}A
. Déterminer si le point
A\text{A}A
 appartient à la droite
ddd
.
1.\(\text{A}(1;1)\) et
d:2x+3y−5=0d: 2x+3y-5=0d:2x+3y−5=0
2.\(\text{A}(2;-1)\) et
d:−x+4y+3=0d:-x+4y+3=0d:−x+4y+3=0
3.
A(−7;−10)\text{A}(-7;-10)A(−7;−10)
 et
d:5x−2y+15=0d:5x-2y+15=0d:5x−2y+15=0
4.
A(27;−51)\text{A}(27;-51)A(27;−51)
 et
d:y=27d:y=27d:y=27
5.
A(−4;2)\text{A}(-4;2)A(−4;2)
 et
d:−4x+5y+6=0d: -4x+5y+6=0d:−4x+5y+6=0

Équation cartésienne et vecteur directeur

Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, on considère une droite
ddd
 dont on donne une équation cartésienne et un vecteur
u→\overrightarrow{u}u
 . Déterminer si levecteur
u→\overrightarrow{u}u
 est un vecteur directeur de la droite
ddd
 .
1.
d:x−y+2=0d:x-y+2=0d:x−y+2=0
 et
u→(55)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 5\\ 5\\ \end{pmatrix}u(55​)
2.
d:−5x+3y+7=0d:-5x+3y+7=0d:−5x+3y+7=0
 et
u→(9−10)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 9\\ -10\\ \end{pmatrix}u(9−10​)
3.
d:2x+7y−11=0d:2x+7y-11=0d:2x+7y−11=0
 et
u→(3−1)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ \end{pmatrix}u(3−1​)
4.
d:−8x+13=0d:-8x+13=0d:−8x+13=0
 et
u→(160)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 16\\ 0\\ \end{pmatrix}u(160​)
5.
d:6x−14y+9=0d:6x-14y+9=0d:6x−14y+9=0
 et
u→(−3−7)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} -3\\ -7\\ \end{pmatrix}u(−3−7​)
Exercice 2
Déterminer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse.
1.La droite d'équation
−3y+7=0-3y+7=0−3y+7=0
 est parallèle à l'axe des ordonnées.
2.La droite d'équation
2y−x+3=02y-x+3=02y−x+3=0
 est dirigée par le vecteur
u→(12)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ \end{pmatrix}u(12​)
.
3.Les droites d'équations
−10x+5y−9=0-10x+5y-9=0−10x+5y−9=0
 et
6x−3y−5=06x-3y-5=06x−3y−5=0
 sont parallèles.