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Position relative de deux droites et système

Pour chacun des cas suivants, on considère deux droites 

Sommaire

Droites parallèlesDroites sécantesSystème et solutionsSystème et résolution

Droites parallèles

Exercice 1
Pour chacun des cas suivants, on considère deux droites 
ddd
 et
d′d'd′
.
Les deux droites sont-elles strictement parallèles ou confondues ?
1.
d:−3x+7y−4=0d:-3x+7y-4=0d:−3x+7y−4=0
 et
d′:9x−21y+1=0d':9x-21y+1=0d′:9x−21y+1=0
2.
d:14x−38y−1=0d: \dfrac{1}{4}x -\dfrac{3}{8}y -1 = 0d:41​x−83​y−1=0
 et
d′:2x−3y−8=0d': 2x -3y -8 = 0d′:2x−3y−8=0
3.
d:7x+y−1=0d: 7x +y -1 = 0d:7x+y−1=0
 et
d′:y=−7x+3d^{\prime}: y=-7x+3d′:y=−7x+3
4.
d:14(x−1)=12(x−3)d:14(x-1) = 12(x-3)d:14(x−1)=12(x−3)
 et
d′:x=−11d^{\prime} : x=-11d′:x=−11
Exercice 2
Pour chacun des cas suivants, on considère une droite
ddd
.
Déterminer une équation d'une droite
d′d'd′
 strictement parallèle à la droite
ddd
.
1.
d:3x−2y+5=0d: 3x-2y+5=0d:3x−2y+5=0
2.
d:−8x+4y−1=0d:-8x+4y-1=0d:−8x+4y−1=0
3.
d:y=−7x+9d: y=-7x+9d:y=−7x+9
4.
d:y=x+2d: y=x+2d:y=x+2
5.
d:y=3d: y=3d:y=3
6.
d:x=−8d:x=-8d:x=−8
7.La droite
ddd
 passe par les points
A(−2;5)\text{A}(-2;5)A(−2;5)
 et
B(4;−7)\text{B}(4;-7)B(4;−7)
.

Droites sécantes

Exercice 1
Pour chacun des cas suivants, on considère deux droites 
ddd
 et
d′d'd′
.
Justifier que les deux droites sont sécantes.
1.\(d: 8x-y-3=0\) et
d′:4x−2y+1=0d^{\prime} : 4x-2y+1 =0d′:4x−2y+1=0
2.
d:−x+4y+5=0d: -x+4y+5=0d:−x+4y+5=0
 et
d′:4x−y−5=0d^{\prime} : 4x-y-5=0d′:4x−y−5=0
3.
d:−6x+2y−16=0d: -6x+2y-16 = 0d:−6x+2y−16=0
 et
d′:y=−3x+6d^{\prime} : y=-3x+6d′:y=−3x+6
4.
d:x+3=0d: x+3=0d:x+3=0
 et
d′:y+3=0d^{\prime} : y+3 =0d′:y+3=0
5.
d:y=4x−8d: y = 4x-8d:y=4x−8
 et
d′d^{\prime}d′
 passe par les points
A(−23;−11)\text{A}(-23;-11)A(−23;−11)
 et
B(−7;−7)\text{B}(-7;-7)B(−7;−7)
.
Exercice 2
Soit
ddd
 une droite d'équation 
−8x+4y−4=0-8x+4y-4=0−8x+4y−4=0
et
d′d^{\prime}d′
 une droite d'équation
y=−3x+11y=-3x+11y=−3x+11
.
1.Justifier que les droites
ddd
 et
d′d^{\prime}d′
 sont sécantes.
2.Tester les deux équations pour
x=2x=2x=2
. En déduire les coordonnées du point d'intersection des droites
ddd
 et
d′d^{\prime}d′
.
3.Reprendre les questions1.et2.en considérant les droites
ddd
 et
d′d^{\prime}d′
 d'équations respectives
5x−y+2=05x-y+2=05x−y+2=0
 et
y=7x+8y=7x+8y=7x+8
 et en testant les deux équations pour
x=−3x=-3x=−3
.

Système et solutions

Exercice 1
Pour chacun des systèmes suivants, déterminer le nombre de couples solutions.
1.
(S1):{x−y=−3x=7(\text{S}_1) : \begin{cases} x-y=-3\\ x=7 \end{cases}(S1​):{x−y=−3x=7​
2.
(S2):{x−y=−33x+y=7(\text{S}_2) : \begin{cases} x-y=-3\\ 3x+y=7 \end{cases}(S2​):{x−y=−33x+y=7​
3.
(S3):{−4x+y=24x−y=5(\text{S}_3) : \begin{cases} -4x+y=2\\ 4x-y=5 \end{cases}(S3​):{−4x+y=24x−y=5​
4.
(S4):{6x−3y=−9y=5(\text{S}_4) : \begin{cases} 6x-3y=-9\\ y=5 \end{cases}(S4​):{6x−3y=−9y=5​
5.
(S5):{−4x+2y=512x−6y=−15(\text{S}_5) : \begin{cases} -4x+2y=5\\ 12x-6y=-15 \end{cases}(S5​):{−4x+2y=512x−6y=−15​
Exercice 2
Pour chacun des systèmes suivants, déterminer si le couple
(x;y)(x;y)(x;y)
 donné est solution du système.
1.
(S1):{x+y=52x−y=4(\text{S}_1) : \begin{cases} x+y=5\\ 2x-y=4 \end{cases}(S1​):{x+y=52x−y=4​
 avec le couple
(2;3)(2;3)(2;3)
2.
(S2):{3x−y=7x+4y=11(\text{S}_2) : \begin{cases} 3x-y=7\\ x+4y=11 \end{cases}(S2​):{3x−y=7x+4y=11​
 avec le couple
(3;2)(3;2)(3;2)
3.
(S3):{2x−3y=123x−y=4(\text{S}_3) : \begin{cases} 2x-3y=12\\ 3x-y=4 \end{cases}(S3​):{2x−3y=123x−y=4​
 avec le couple
(0;−4)(0;-4)(0;−4)
4.
(S4):{4x−6y=−8−2x+4y=−6(\text{S}_4) : \begin{cases} 4x-6y=-8\\ -2x+4y=-6 \end{cases}(S4​):{4x−6y=−8−2x+4y=−6​
 avec le couple
(−17;−10)(-17;-10)(−17;−10)

Système et résolution

Pour chacun des systèmes suivants, déterminer la méthode de résolution la plus adéquate, puis résoudre le système.
1.
(S1):{2x+y=11y=3x−4(\text{S}_1) : \begin{cases} 2x + y = 11 \\ y= 3x-4 \end{cases}(S1​):{2x+y=11y=3x−4​
2.
(S2):{3x−y=96x+2y=6(\text{S}_2) : \begin{cases} 3x - y = 9 \\ 6x+2y = 6 \end{cases}(S2​):{3x−y=96x+2y=6​
3.
(S3):{2x+y=7x−y=−19(\text{S}_3) : \begin{cases} 2x + y = 7 \\ x-y= -19 \end{cases}(S3​):{2x+y=7x−y=−19​
4.
(S4):{3x−5y=76x−2y=−2(\text{S}_4) : \begin{cases} 3x -5y = 7 \\ 6x-2y=-2 \end{cases}(S4​):{3x−5y=76x−2y=−2​
5.
(S5):{x−5y=43x−3y=−6(\text{S}_5) : \begin{cases} x -5y = 4 \\ 3x-3y=-6 \end{cases}(S5​):{x−5y=43x−3y=−6​
6.
(S6):{2x+7y=116x−5y=−6(\text{S}_6) : \begin{cases} 2x + 7y = 11 \\ 6x-5y=-6 \end{cases}(S6​):{2x+7y=116x−5y=−6​