Propriété
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit
et
deux droites du plan non parallèles à l'axe des ordonnées.
Les droites
et
sontperpendiculairessi et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à
.
Exercice
Dans un repère orthonormé
, on considère les points
,
et
.
Sans utiliser le théorème de Pythagore, démontrer que le triangle
est rectangle en
.
Alignement de trois points
On considère un carré
.
On construit le point
à l'intérieur du carré
de telle sorte que le triangle
soit équilatéral.
On construit le point
à l'extérieur du carré
de telle sorte que le triangle
soit également équilatéral.
On obtient ainsi la figure non codée ci-dessous.
Démontrer que les points
,
et
sont alignés.
Théorème de Pappus
Dans un repère orthonormé
, on considère les points
,
et
.
On considère également la droite
dont l'équation réduite est
.
1.Montrer que les points
,
et
sont alignés.
2.Déterminer les coordonnées des points
,
et
appartenant à la droite
et d'abscisses respectives
,
et
.
3.Calculer les coordonnées de
, point d'intersection des droites
et
.
4.Calculer les coordonnées de
, point d'intersection des droites
et
.
5.Calculer les coordonnées de
, point d'intersection des droites
et
.
6.En déduire la position des points
,
et
.
☛ Système à trois inconnues : substitution
Énoncé
Résoudre le système
en utilisant la méthode par substitution.
Solution
1.On commence par isoler une inconnue dans une équation.
Par exemple, l'équation 1 peut s'écrire
.
2.On remplace l'inconnue isolée par son expression dans les autres équations et on simplifie.
L'équation 2 s'écrit alors
soit
.
L'équation 3 s'écrit alors
soit
.
3.On isole une nouvelle inconnue dans une autre équation que celle de l'étape1.
Par exemple, l'équation 2 peut s'écrire
.
4.On remplace la deuxième inconnue isolée par son expression dans l'équation sans isolement.
L'équation 3 s'écrit alors
et il n'y a plus qu'une seule inconnue.
5.On résout l'équation de la ligne où il n'y a plus qu'une seule inconnue.
L'équation 3 s'écrit alors
et permet finalement de trouver
.
6.On remplace dans les autres équations l'inconnue par sa valeur.
L'équation 1 s'écrit alors
soit
.
L'équation 2 s'écrit alors
soit
.
7.On remplace dans la dernière équation non résolue la deuxième inconnue dont on a trouvé la valeur.
L'équation 1 s'écrit alors
soit
.
8. On vérifie que le triplet\((\color{green}{0};\color{red}{2};\color{blue}{3})\) est bien solution du système en remplaçant
,
et
respectivement par
,
et
dans les trois équations initiales et en constatant que les trois égalités sont vraies.
- La première équation donne\(\color{green}{0} + \color{red}{2} + \color{blue}{3} = 5\) : la première équation est vérifiée\(\checkmark\).
- La deuxième équation donne\(2 \times \color{green}{0}-\color{red}{2}+3 \times \color{blue}{3}=7\) : la deuxième équation est vérifiée\(\checkmark\).
- La troisième équation donne\(3 \times \color{green}{0}+2 \times \color{red}{2}-\color{blue}{3}= 1\) : la troisième équation est vérifiée\(\checkmark\).
9. Conclusion :l'ensemble des solutions du système
est
.
☛ Système à trois inconnues : combinaison
Énoncé
Résoudre le système
en utilisant la méthode par combinaison.
Solution
1.On choisit une équation que l'on va combiner avec les deux autres, pour supprimer une inconnue dans ces dernières.
Par exemple, on choisit l'équation 1. En ajoutant, membre à membre, l'équation 1 à l'équation 2, on obtient
.
De même, en ajoutant, membre à membre, deux fois l'équation 1 à l'équation 3, on obtient
.
2.On combine les deux équations que l'on n'avait pas choisies à la première étape pour supprimer une nouvelle inconnue.
Par exemple en multipliant par
l'équation 3 et en lui retirant
fois l'équation 2, on obtient :
soit
.
3.On résout l'équation où il n'y a plus qu'une seule inconnue.
L'équation 3 permet de trouver
.
4.On remplace dans les autres équations l'inconnue par sa valeur.
L'équation 1 s'écrit alors
soit
.
L'équation 2 s'écrit alors
soit
.
5.Dans la dernière équation non résolue, on remplace la deuxième inconnue dont on a trouvé la valeur. L'équation 1 s'écrit alors
soit
.
6.On vérifie que le triplet\((\color{green}{0};\color{red}{2};\color{blue}{3})\) est bien solution du système en remplaçant
,
et
respectivement par
,
et
dans les trois équations initiales et en constatant que les trois égalités sont vraies.
- La première équation donne\(\color{green}{0} + \color{red}{2} + \color{blue}{3} = 5\) : la première équation est vérifiée\(\checkmark\).
- La deuxième équation donne\(2 \times \color{green}{0}-\color{red}{2}+3 \times \color{blue}{3}=7\) : la deuxième équation est vérifiée\(\checkmark\).
- La troisième équation donne\(3 \times \color{green}{0}+2 \times \color{red}{2}-\color{blue}{3}= 1\) : la troisième équation est vérifiée\(\checkmark\).
7. Conclusion :l'ensemble des solutions du système
est
.
Système de 3 équations à 3 inconnues
Résoudre chacun des systèmes suivants en utilisant la méthode de votre choix.
1.\((\text{S}_1) : \begin{cases} 2x-y+z = 3 \\ x+2y-z = 5 \\ 3x-y+4z = -6\\ \end{cases}\)
2.\((\text{S}_2) : \begin{cases} x+2y-z = 3 \\ 2x-3y+4z = 7 \\ 3x+y+z = 5\\ \end{cases}\)
3.\((\text{S}_1) : \begin{cases} x+y-z = 1 \\ 3x+y+2z = -4 \\ -2x+4y-4z = 10\\ \end{cases}\)
Problème d'optimisation
Une entreprise fabrique et vend deux types d'enceintes (de types A et B) à l'aide de deux machines.
La machine 1 ne peut fonctionner que 10 heures par jour et la machine 2 que 8 heures par jour.
On dispose des informations suivantes.
Enceinte de type A
- Sa fabrication nécessite 30 minutes dans la machine 1 et 15 minutes dans la machine 2.
- Son prix de vente est de 12 €.
Enceinte de type B
- Sa fabrication nécessite 30 minutes dans la machine 1 et une heure dans la machine 2.
- Son prix de vente est de 18 €.
L'entreprise cherche à maximiser son gain de production.
On appelle
le nombre d'enceintes de type A et
le nombre d'enceintes de type B fabriquées par jour, où
et
sont des entiers naturels.
1.Montrer que les données de l'énoncé se traduisent par les inéquations suivantes.
- \(x+y \leqslant 20\)
- \(0,25x + y \leqslant 8\)
2.Sur GeoGebra, tracer les droites d'équations :
- \(x=0\)
- \(y=0\)
- \(x+y -40 = 0\)
- \(0,25x+y-8 = 0\)
3.Montrer que le chiffre d'affaires journalier
, en euros, vérifie
.
4.Créer un curseur
allant 0 à 15 avec un pas de 1, puis la droite d'équation
5.Donner deux productions permettant de réaliser un chiffre d'affaires journalier de 180 €.
6.Quelle production l'entreprise doit-elle réaliser pour que le chiffre d'affaires soit maximal ?
Quel est alors ce chiffre d'affaires ?