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Le plan est muni d'un repère orthonormé.

Sommaire

Droites perpendiculairesAlignement de trois pointsThéorème de Pappus☛ Système à trois inconnues : substitution☛ Système à trois inconnues : combinaisonSystème de 3 équations à 3 inconnuesProblème d'optimisation

Droites perpendiculaires

Propriété
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit
ddd
 et
d′d^{\prime}d′
 deux droites du plan non parallèles à l'axe des ordonnées.
Les droites
ddd
 et
d′d^{\prime}d′
 sontperpendiculairessi et seulement si le produit de leurs coefficients directeurs est égal à
−1-1−1
.
Exercice
Dans un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)(O;i;j​)
, on considère les points
A(2;3)\text A \left(2; 3\right)A(2;3)
,
B(3;1)\text B \left(3; 1\right)B(3;1)
 et
C(9;4)\text C \left(9; 4\right)C(9;4)
.
Sans utiliser le théorème de Pythagore, démontrer que le triangle
ABC\text{ABC}ABC
 est rectangle en
B\text BB
.

Alignement de trois points

On considère un carré
ABCD\text{ABCD}ABCD
.
On construit le point
E\text EE
 à l'intérieur du carré
ABCD\text{ABCD}ABCD
 de telle sorte que le triangle
ABE\text{ABE}ABE
 soit équilatéral.
On construit le point
F\text FF
 à l'extérieur du carré
ABCD\text{ABCD}ABCD
 de telle sorte que le triangle
BCF\text{BCF}BCF
 soit également équilatéral.
On obtient ainsi la figure non codée ci-dessous.
Démontrer que les points
D\text DD
,
E\text EE
 et
F\text FF
 sont alignés.

Théorème de Pappus

Dans un repère orthonormé
(O;i→;j→)\left(\text O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j} \right)(O;i;j​)
, on considère les points
A(0;4)\text A \left(0; 4\right)A(0;4)
,
B(−2;5)\text B \left(-2; 5\right)B(−2;5)
 et
C(−5;132)\text C \left(-5; \dfrac{13}{2}\right)C(−5;213​)
.
On considère également la droite
ddd
 dont l'équation réduite est
y=12x+2y = \dfrac{1}{2}x+2y=21​x+2
.
1.Montrer que les points
A\text AA
,
B\text BB
 et
C\text CC
 sont alignés.
2.Déterminer les coordonnées des points
D\text DD
,
E\text EE
 et
F\text FF
 appartenant à la droite
ddd
 et d'abscisses respectives
111
,
−1-1−1
 et
−4-4−4
.
3.Calculer les coordonnées de
G\text GG
, point d'intersection des droites
(AE)(\text{AE})(AE)
 et
(DB)(\text{DB})(DB)
.
4.Calculer les coordonnées de
H\text HH
, point d'intersection des droites
(AF)(\text{AF})(AF)
 et
(DC)(\text{DC})(DC)
.
5.Calculer les coordonnées de
K\text KK
, point d'intersection des droites
(BF)(\text{BF})(BF)
 et
(EC)(\text{EC})(EC)
.
6.En déduire la position des points
G\text GG
,
H\text HH
 et
K\text KK
.

☛ Système à trois inconnues : substitution

Énoncé
Résoudre le système
(S):{x+y+z=52x−y+3z=73x+2y−z=1(\text S) : \begin{cases} x+y+z=5\\ 2x-y+3z=7\\ 3x+2y-z= 1\end{cases}(S):⎩⎨⎧​x+y+z=52x−y+3z=73x+2y−z=1​
 en utilisant la méthode par substitution.
Solution
1.On commence par isoler une inconnue dans une équation.
Par exemple, l'équation 1 peut s'écrire
x=5−y−zx=5-y-zx=5−y−z
.
2.On remplace l'inconnue isolée par son expression dans les autres équations et on simplifie.
L'équation 2 s'écrit alors
2(5−y−z)−y+3z=72(5-y-z) - y + 3z = 72(5−y−z)−y+3z=7
 soit
−3y+z+10=7-3y+z+10=7−3y+z+10=7
.
L'équation 3 s'écrit alors
3(5−y−z)+2y−z=13(5-y-z) +2y-z = 13(5−y−z)+2y−z=1
 soit
−y−4z+15=1-y-4z+15 = 1−y−4z+15=1
.
3.On isole une nouvelle inconnue dans une autre équation que celle de l'étape1.
Par exemple, l'équation 2 peut s'écrire
z=3y−3z=3y-3z=3y−3
.
4.On remplace la deuxième inconnue isolée par son expression dans l'équation sans isolement.
L'équation 3 s'écrit alors
−y−4(3y−3)+15=1-y-4(3y-3)+15 = 1−y−4(3y−3)+15=1
 et il n'y a plus qu'une seule inconnue.
5.On résout l'équation de la ligne où il n'y a plus qu'une seule inconnue.
L'équation 3 s'écrit alors
−13y+27=1-13y+27 = 1−13y+27=1
 et permet finalement de trouver
y=2\color{red}{\boxed{y=2}}y=2​
.
6.On remplace dans les autres équations l'inconnue par sa valeur.
L'équation 1 s'écrit alors
x=5−2−zx=5-2-zx=5−2−z
 soit
x=3−zx=3-zx=3−z
.
L'équation 2 s'écrit alors
z=3×2−3z= 3 \times 2 - 3z=3×2−3
 soit
z=3\color{blue}{\boxed{z=3}}z=3​
.
7.On remplace dans la dernière équation non résolue la deuxième inconnue dont on a trouvé la valeur.
L'équation 1 s'écrit alors
x=3−3x=3-3x=3−3
 soit
x=0\color{green}{\boxed{x=0}}x=0​
.
8. On vérifie que le triplet\((\color{green}{0};\color{red}{2};\color{blue}{3})\) est bien solution du système en remplaçant
x\color{green}xx
,
y\color{red}yy
 et
z\color{blue}zz
 respectivement par 
0\color{green} 00
, 
2\color{red} 22
et
3\color{blue} 33
 dans les trois équations initiales et en constatant que les trois égalités sont vraies.
  • La première équation donne\(\color{green}{0} + \color{red}{2} + \color{blue}{3} = 5\) : la première équation est vérifiée\(\checkmark\).
  • La deuxième équation donne\(2 \times \color{green}{0}-\color{red}{2}+3 \times \color{blue}{3}=7\) : la deuxième équation est vérifiée\(\checkmark\).
  • La troisième équation donne\(3 \times \color{green}{0}+2 \times \color{red}{2}-\color{blue}{3}= 1\) : la troisième équation est vérifiée\(\checkmark\).
9. Conclusion :l'ensemble des solutions du système
(S)(\text S)(S)
 est
S={(0;2;3)}\mathscr{S} = \left\lbrace (\color{green}{0};\color{red}{2};\color{blue}{3}) \right\rbraceS={(0;2;3)}
.

☛ Système à trois inconnues : combinaison

Énoncé
Résoudre le système
(S):{2x−y+3z=7x+y+z=53x+2y−z=1(\text S) : \begin{cases} 2x-y+3z=7\\ x+y+z=5\\ 3x+2y-z= 1\\ \end{cases}(S):⎩⎨⎧​2x−y+3z=7x+y+z=53x+2y−z=1​
 en utilisant la méthode par combinaison.
Solution
1.On choisit une équation que l'on va combiner avec les deux autres, pour supprimer une inconnue dans ces dernières.
Par exemple, on choisit l'équation 1. En ajoutant, membre à membre, l'équation 1 à l'équation 2, on obtient
3x+4z=123x+4z=123x+4z=12
.
De même, en ajoutant, membre à membre, deux fois l'équation 1 à l'équation 3, on obtient
7x+5z=157x+5z=157x+5z=15
.
2.On combine les deux équations que l'on n'avait pas choisies à la première étape pour supprimer une nouvelle inconnue.
Par exemple en multipliant par
3\color{purple} 33
 l'équation 3 et en lui retirant
7\color{orange} 77
 fois l'équation 2, on obtient :
3×(7x+5z)−7×(3x+4z)=3×15−7×12\color{purple}{3} \times (7x+5z) - \color{orange}{7} \times (3x+4z) = \color{purple}{3} \times 15 - \color{orange}{7} \times 123×(7x+5z)−7×(3x+4z)=3×15−7×12
 soit
−13z=−39-13z = -39−13z=−39
.
3.On résout l'équation où il n'y a plus qu'une seule inconnue.
L'équation 3 permet de trouver
z=3\color{blue}{\boxed{z=3}}z=3​
.
4.On remplace dans les autres équations l'inconnue par sa valeur.
L'équation 1 s'écrit alors
2x−y+3×3=72x - y + 3 \times 3 = 72x−y+3×3=7
 soit
2x−y=−22x - y = -22x−y=−2
.
L'équation 2 s'écrit alors
3x+4×3=123x + 4 \times 3 = 123x+4×3=12
 soit
x=0\color{green}{\boxed{x=0}}x=0​
.
5.Dans la dernière équation non résolue, on remplace la deuxième inconnue dont on a trouvé la valeur. L'équation 1 s'écrit alors
2×0−y=−22 \times 0 - y=-22×0−y=−2
 soit
y=2\color{red}{\boxed{y=2}}y=2​
.
6.On vérifie que le triplet\((\color{green}{0};\color{red}{2};\color{blue}{3})\) est bien solution du système en remplaçant
x\color{green}xx
,
y\color{red}yy
 et
z\color{blue}zz
 respectivement par 
0\color{green} 00
, 
2\color{red} 22
et
3\color{blue} 33
 dans les trois équations initiales et en constatant que les trois égalités sont vraies.
  • La première équation donne\(\color{green}{0} + \color{red}{2} + \color{blue}{3} = 5\) : la première équation est vérifiée\(\checkmark\).
  • La deuxième équation donne\(2 \times \color{green}{0}-\color{red}{2}+3 \times \color{blue}{3}=7\) : la deuxième équation est vérifiée\(\checkmark\).
  • La troisième équation donne\(3 \times \color{green}{0}+2 \times \color{red}{2}-\color{blue}{3}= 1\) : la troisième équation est vérifiée\(\checkmark\).
7. Conclusion :l'ensemble des solutions du système
(S)(\text S)(S)
 est
S={(0;2;3)}\mathscr{S} = \left\lbrace (\color{green}{0};\color{red}{2};\color{blue}{3}) \right\rbraceS={(0;2;3)}
.

Système de 3 équations à 3 inconnues

Résoudre chacun des systèmes suivants en utilisant la méthode de votre choix.
1.\((\text{S}_1) : \begin{cases} 2x-y+z = 3 \\ x+2y-z = 5 \\ 3x-y+4z = -6\\ \end{cases}\)
2.\((\text{S}_2) : \begin{cases} x+2y-z = 3 \\ 2x-3y+4z = 7 \\ 3x+y+z = 5\\ \end{cases}\)
3.\((\text{S}_1) : \begin{cases} x+y-z = 1 \\ 3x+y+2z = -4 \\ -2x+4y-4z = 10\\ \end{cases}\)

Problème d'optimisation

Une entreprise fabrique et vend deux types d'enceintes (de types A et B) à l'aide de deux machines.
La machine 1 ne peut fonctionner que 10 heures par jour et la machine 2 que 8 heures par jour.
On dispose des informations suivantes.
Enceinte de type A
  • Sa fabrication nécessite 30 minutes dans la machine 1 et 15 minutes dans la machine 2.
  • Son prix de vente est de 12 €.
Enceinte de type B
  • Sa fabrication nécessite 30 minutes dans la machine 1 et une heure dans la machine 2.
  • Son prix de vente est de 18 €.
L'entreprise cherche à maximiser son gain de production.
On appelle
xxx
 le nombre d'enceintes de type A et
yyy
 le nombre d'enceintes de type B fabriquées par jour, où
xxx
 et
yyy
 sont des entiers naturels.
1.Montrer que les données de l'énoncé se traduisent par les inéquations suivantes.
  • \(x+y \leqslant 20\)
  • \(0,25x + y \leqslant 8\)
2.Sur GeoGebra, tracer les droites d'équations :
  • \(x=0\)
  • \(y=0\)
  • \(x+y -40 = 0\)
  • \(0,25x+y-8 = 0\)
3.Montrer que le chiffre d'affaires journalier
C\text CC
, en euros, vérifie
C=12x+18y\text C = 12x + 18yC=12x+18y
.
4.Créer un curseur
ccc
 allant 0 à 15 avec un pas de 1, puis la droite d'équation
5.Donner deux productions permettant de réaliser un chiffre d'affaires journalier de 180 €.
6.Quelle production l'entreprise doit-elle réaliser pour que le chiffre d'affaires soit maximal ? 
Quel est alors ce chiffre d'affaires ?