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Système d'équations à deux inconnues

Entre les véhicules à diesel et les véhicules à essence, il est parfois difficile de choisir.

Sommaire

Vie quotidienne et jeu mathématiqueÉvolution du prix du carburant *Message codé *En route pour Marseille **
EnvironnementDioxyde de carbone rejetée par les voitures *Réduction des déchets ménagers **
En lien avec la physiqueVitesse du son **Les deux bobines ***

En lien avec la physique

Vitesse du son **

La vitesse du son dépend de divers facteurs tels que la température, la pression et la densité du milieu. Le calcul de la vitesse du son est un domaine qui a connu un développement au fil des siècles, impliquant de nombreux scientifiques.
  • Galilée (1638) : poudre à canon éclatée à une certaine distance avec mesure du temps mis par l'écho pour parvenir aux oreilles.
  • Marin Mersenne (1630-1640) : transmission du son à travers des tuyaux et des solides (milieux différents) : évolution de la vitesse en fonction du milieu mais aussi de la densité et de l'élasticité du matériau.
  • Pierre Gassendi (1634) :rejoint la méthode de Galiléeen tirant un canon à une distance connue et en mesurant le temps écoulé avant d'entendre le bruit de la détonation.
  • Edmond Halley (1691) : étude sur la vitesse du son dans l'air avec observations sur la détermination de sa vitesse en fonction de la température.
  • Daniel Bernoulli (1738) :variations de la vitesse en fonction de la pression.
  • Laplace (1816) :élaboration d’une équation mathématique pour déterminer la vitesse du son en fonction de la température et de la densité du milieu.
Les élèves mettent en place une expérience permettant de mesurer la vitesse de propagation du son dans l'air (ou célérité
ccc
). Ils mesurent en amont la température de la pièce : 21 °C. Ils souhaitent connaître la valeur de la vitesse théorique afin de pouvoir effectuer, par la suite, un calcul lié à l'incertitude de la mesure réalisée.
Problématique  Quelle est la vitesse du son théorique pour une température de 21 °C ?
1.On note

Vie quotidienne et jeu mathématique

Évolution du prix du carburant *

Entre les véhicules à diesel et les véhicules à essence, il est parfois difficile de choisir.
  • Les véhicules diesel fonctionnant au gazole ont longtemps paru économiques car le prix du gazole était moins élevé.
  • Le moteur à essence est lui moins coûteux à l’achat ainsi qu'à l’entretien mais sa longévité est moins élevée. Il est également plus léger et plus silencieux.
Il est donc judicieux de s'intéresser à l'évolution du prix du carburant pour ces deux types de motorisation avant de faire son choix. On suit l'évolution entre 2017 et 2022. Pour cela, on associe chaque année à un rang (2017 : rang 1; 2018 : rang 2...).
On note 
x
, le numéro de l'année, 
y1y_1y1​
le prix du gazole (€/L) et 
y2y_2y2​
le prix de l'essence (€/L).
L'évolution du prix de l'essence est donnée par : 
y_1 = 0,0297x-58,443
.
L'évolution du prix du gazole est donnée par : 
y_2 = 0,0612x-122,26
.
Problématique  Sur quelle période le prix de l'essence a-t-il été supérieur à celui du gazole ?
1. Écrire le système d'équations permettant de déterminer la valeur de 
xxx
, notée 
xEx_\text{E}xE​
, pour laquelle les deux tarifs ont été égaux.
2.Résoudre  graphiquement ce système.
3. En déduire la valeur de 
x_\text{E}
 et l'année correspondante.
4.Sur quelle période le prix de l'essence a-t-il été supérieur à celui du gazole ? Répondre à la problématique.
5.En considérant l'équation de la droite relative à l'évolution du prix de l'essence, calculer son tarif prévisible en 2025. 
Aide  Penser à donner la valeur de 
x
 correspondant à l'année 2025.

Message codé *

Votre mission ? Coder un texte. Pour cela, il faut remplacer chaque lettre du message à transmettre par une autre lettre en suivant une procédure de calcul.
Chaque lettre est positionnée comme son rang dans l'alphabet.
ABCDEFGHIJKLMNOPQRST1234567891011121314151617181920\begin{array}{|c|c|} \hline \text{A}&\text{B} &\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&\text{G}&\text{H}&\text{I}&\text{J}&\text{K}&\text{L}&\text{M} &\text{N}&\text{O}&\text{P}&\text{Q}&\text{R}&\text{S}&\text{T}\\ \hline 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20 \\ \hline\end{array}A1​B2​C3​D4​E5​F6​G7​H8​I9​J10​K11​L12​M13​N14​O15​P16​Q17​R18​S19​T20​​
UVWXYZABCDEF......212223242526272829303132......\begin{array}{|c|c|} \hline \text{U}&\text{V} &\text{W}&\text{X}&\text{Y}&\text{Z}&\text{A}&\text{B}&\text{C}&\text{D}&\text{E}&\text{F}&...&...\\ \hline 21&22&23&24&25&26&27&28&29&30&31&32&...&... \\ \hline\end{array}U21​V22​W23​X24​Y25​Z26​A27​B28​C29​D30​E31​F32​......​......​​
On note 
x
 le rang ou la position dans l'alphabet de la lettre du message d'origine.
On note 
y
 le rang ou la position dans l'alphabet de la lettre dans le message codé.
Pour déterminer le rang dans le message codé, on utilise la relation 
y=ax+b
.
Problématique  Comment coder le message suivant : « Bienvenue dans le monde de Pearltress » ?
La règle suivante permet de retrouver les valeurs de 
a
 et de 
b
 et ainsi écrire la relation 
y=ax+b
. Utiliser ces données pour établir un système à deux équations à deux inconnues.
Règle pour le codage
Message de deˊpartACRang de la lettre dans le message de deˊpart x13Rang de la lettre dans le message codeˊ y913Message codeˊIM\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Message de départ}&\text{A} &\text{C}\\ \hline \text{Rang de la lettre dans le message de départ }x&1&3 \\ \hline \text{Rang de la lettre dans le message codé }y&9&13\\ \hline \text{Message codé}&\text{I}&\text{M} \\\hline\end{array}Message de deˊpartRang de la lettre dans le message de deˊpart xRang de la lettre dans le message codeˊ yMessage codeˊ​A19I​C313M​​

En route pour Marseille **

Un groupe de sept amis partent faire une croisière d'une semaine au départ de Marseille. Ils s'interrogent sur le mode de transport : prendre leurs deux voitures citadines ou louer une seule voiture familiale. 
Voilà les informations qu'ils trouvent sur Internet selon l'itinéraire choisi :
  • location d'une familiale 7 places : 228,65 € kilométrage illimité pour la semaine ;
  • autoroute : 68,10 € par véhicule (citadine ou familiale) ;
  • carburant : 0,10 € par kilomètre parcouru (citadine ou familiale) et par véhicule ;
  • parking par voiture : 90 € par véhicule pour la semaine.
Problématique  Ont-ils intérêt financièrement à louer une familiale ou à effectuer le transfert aller-retour  avec les deux citadines ?
1.  Traduire l'énoncé sous la forme de deux équations avec : 
    • C: le coût total avec les deux citadines ;
    • F: le coût avec la familiale ;
x
 : le nombre de kilomètres.
2.Tracer les représentations graphiques correspondant à  chaque proposition avec la calculatrice ou GeoGebra.
3.  Résoudre l'inéquation suivante après avoir effectué  le lien avec les données de l'exercice :
316,2+0,20x<386,75+0,10x316{,}2+0{,}20x<386{,}75+0{,}10 x316,2+0,20x<386,75+0,10x
.
4.  Porter un regard critique sur cette valeur de 
x
 sachant que la distance Paris-Marseille est de 776 km (avec l'itinéraire choisi).
5.Répondre à la problématique.

Environnement

Dioxyde de carbone rejetée par les voitures *

Pour limiter le changement climatique, on privilégie de plus en plus l’utilisation des transports en commun, le covoiturage mais aussi des voitures consommant moins qu’auparavant.
On s’intéresse ici au lien entre la consommation d'essence des voitures (en L pour 100 km) et la quantité de CO2émis (en g/km).
Consommation (L/100 km)5,66,7Eˊmission de CO2 (g/km)129157\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Consommation (L/100 km)}&5{,}6&6{,}7 \\ \hline \text{Émission de CO}_2 \text{ (g/km)} &129&157 \\ \hline \end{array}Consommation (L/100 km)Eˊmission de CO2​ (g/km)​5,6129​6,7157​​
Problématique  Si une voiture consomme 7,3 L/ 100 km quelle sera la quantité de CO2émis ?
Pour cela, on note :
xxx
 la consommation en L/100 km ;
yyy
 la quantité de  CO2émis (en g/km).
La relation entre les deux grandeurs est : 
y=ax+by=ax+by=ax+b
.
1.Écrire le système de deux équations à deux inconnues répondant à cette situation.
2.Résoudre le système avec une méthode graphique.
3.  Vérifier la solution graphiquement en explicitant la méthode utilisée. 
4.Répondre à la problématique.

Réduction des déchets ménagers **

La loi AGEC (anti-gaspillage pour l’économie circulaire) impose la réduction des déchets et leur valorisation accrue. L’obligation au 1erjanvier 2023 du tri de tous les emballages et papiers, puis celle du tri des biodéchets ont pour objectif de réduire drastiquement la part des ordures ménagères à enfouir.
 Les biodéchets sont les épluchures de fruits et légumes, les résidus du jardin, le marc et les filtres à café usagés, les coquilles d’œufs, etc. Certains peuvent être évités comme les denrées alimentaires qui auraient pu être consommées.
La répartition par catégorie dans une région est donnée ci-dessous.
Nature des deˊchetsQuantiteˊ (en kg/habitant)Densiteˊ des deˊchets (en kg/m3)Biodeˊchets alimentaires84400Emballages et papiers125300Ordures meˊnageˋres240450\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Nature des déchets}&\text{Quantité (en kg/habitant)}&\text{Densité des déchets (en kg/m}^3) \\ \hline \text{Biodéchets alimentaires}&84&400 \\\hline \text{Emballages et papiers}&125&300\\ \hline \text{Ordures ménagères}&240&450 \\ \hline \end{array}Nature des deˊchetsBiodeˊchets alimentairesEmballages et papiersOrdures meˊnageˋres​Quantiteˊ (en kg/habitant)84125240​Densiteˊ des deˊchets (en kg/m3)400300450​​
Problématique  Quelle doit être la quantité d'ordures ménagères et d'emballages et déchets qu'elle ne doit pas dépasser ?
1. Calculer le volume, en m3puis en L, des emballages et papiers, puis celui des ordures ménagères. 
2.Voici les tarifs appliqués dans cette région.
Type de deˊchetsBiodeˊchetsEmballages et papiersAutres ordures meˊnageˋresPrix (en €/L)0,0350,0250,050\begin{array}{|c|c|} \hline\text{Type de déchets}&\text{Biodéchets}&\text{Emballages et papiers}&\text{Autres ordures ménagères} \\ \hline \text{Prix (en €/L)}&0{,}035&0{,}025&0{,}050 \\\hline \end{array}Type de deˊchetsPrix (en €/L)​Biodeˊchets0,035​Emballages et papiers0,025​Autres ordures meˊnageˋres0,050​​
En déduire, pour chaque catégorie, le coût annuel en euros des déchets pour chaque habitant avec ces valeurs indicatives.
3.Une personne célibataire prend conscience qu'elle doit faire des efforts au niveau de la gestion des déchets. En plus du composteur et des différents déchets qu'elle donne notamment à ses poules, elle  ne souhaite pas dépenser plus de 70 euros par an.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;On note 
x
 la quantité des autres ordures ménagères et 
y
, la quantité d'emballages et papiers.
&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;La quantité totale de ces  déchets doit être de 500 kg.
Quelle doit être la valeur maximale de chaque catégorie de déchets afin que la famille reste dans son budget ? Une résolution graphique est attendue.
4.Répondre à la problématique.

xxx
 la température en °C et 
y
 la vitesse en m/s.
Écrire le système correspondant aux deux valeurs données à partir d'équations écrites sous la forme : 
y=ax+b
.
Données
\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Température }\theta \text{ (^\circC)} &10&30 \\ \hline \text{Vitesse du son } c \text{ (m/s)} &338&349 \\ \hline \end{array}
2.Résoudre ce système en explicitant votre méthode.
3.En déduire l'expression de la vitesse
c
 (en m/s) en fonction de la température
θ\thetaθ
 (en °C).
4.Calculer la vitesse théorique pour une température de 21 °C.
5.Répondre à la problématique.

Les deux bobines ***

On cherche à déterminer le nombre d'enroulements (ou nombre de spires) d'une bobine retrouvée dans le laboratoire de physique. Cette inscription a disparu avec le temps.
Partie A  Combien de spires possède cette bobine ?
Afin de répondre à cette problématique, on réalise l'expérience suivante : on alimente la bobine avec un générateur et on modifie l'intensité du courant qui la traverse à l'aide d'un rhéostat. Pour chaque valeur de l'intensité électrique du courant qui la traverse notée 
III
 (relevée avec un ampèremètre), on relève la valeur du champ magnétique noté 
BBB
 qu'elle produit (avec un teslamètre).
On obtient, après exploitation des résultats, la relation : 
B1=62,271×IB_1=62{,}271\times IB1​=62,271×I
B1B_1B1​
 : champ magnétique exprimé (en mT) ;
I:I :I:
 intensité du courant électrique (en A).
1.Déterminer la valeur de 
nnn
 (nombre de spires par unité de longueur) correspondant à cette bobine.
Donnée  La relation générale entre le champ magnétique 
B
 et l'intensité du courant électrique 
I
  est : 
B=4π10−7×n×IB=4\pi10^{-7}\times n\times IB=4π10−7×n×I
.
2. Le nombre de spires par unité de longueur 
nnn
 est tel que 
n=NLn=\dfrac{N}{L}n=LN​
NNN
 : nombre de spires de la bobine ;
LLL
 : longueur de la bobine (en m).
Calculer le nombre de spires pour cette bobine de 200 mm de long.
3. Répondre à la question titre de la partie A.
Partie B Deuxième bobine
On étudie une deuximème bobine dont le champ magnétique peut s'écrire : 
B2=41,7×I+1,4035B_2=41{,}7\times I+1{,}4035B2​=41,7×I+1,4035
.
1.Calculer la valeur de l'intensité du courant électrique 
III
 pour que les champs magnétiques des deux bobines soient égaux.
2.En déduire la valeur du champ magnétique
B
 qu'elles génèrent. Une résolution graphique est attendue.