Énoncé 1Sans répétition de lettre
«Niche» et «chien» sont des anagrammes. De même que «écrit» et «récit».
Combien d'anagrammes possibles existe-t-il du mot «niche» ?
Énoncé 2Avec répétition d'une lettre
Si on ne compte pas les accents, les mots «trêve» et «verte» sont des anagrammes.
On souhaite dénombrer les anagrammes du mot «verte».
1.Dénombrer le nombre d'emplacements des deux lettres E dans le mot.
2. En déduire le nombre de manières de placer les trois lettres restantes dans le mot.
3.En déduire le nombre d'anagrammes du mot «verte».
Solution
1.Pour former une anagramme (à
lettres) de ces mots qui contiennent un V, un R, un T et deux E, on peut commencer par choisir les emplacements, dans le mot, des
lettres E.
.
On a donc
manières différentes de choisir les emplacements des
lettres E.
2.Une fois que les emplacements des
lettres E sont fixés, il reste à positionner les
lettres restantes dans les
emplacements restants.
.
Il y a donc
manières de positionner les
lettres restantes dans les
emplacements restants.
3.Enfin, par le principe multiplicatif, on a
.
Il y a donc
anagrammes différentes (que les mots obtenus aient un sens ou non).
Remarque
En calculant avec les factorielles le nombre d'anagrammes de l'exemple précédent, on a :
.
PropriétéPermutations avec répétition d'un élément
Soit
un entier naturel non nul. Soit
un entier naturel tel que
.
S'il existe
répétitions d'un même élément parmi les
éléments, le nombre de permutations possibles des
éléments est alors
.
Énoncé 3Avec répétition d'une lettre
Sans tenir compte des accents ni de l'espace entre les mots, « plein été» et «épile net» sont des anagrammes.
Dénombrer les anagrammes de l'expression « plein été» (sans tenir compte des accents ni de l'espace entre les mots).
Énoncé 4Avec répétitions de plusieurs lettres
«Pablo Picasso» et «Pascal Obispo» sont des anagrammes. En utilisant la démarche de l'exercice 2 ci-dessus, dénombrer les anagrammes de «Pascal Obispo» (sans tenir compte de l'espace entre les mots).
Remarque
En calculant avec les factorielles le nombre d'anagrammes de l'exercice précédent, on a :
\begin{array}[t]{rcl}\displaystyle \binom{12}{2}\times \binom{10}{2}\times \binom{8}{2} \times \binom{6}{2} \times 4! & = & \dfrac{12!}{10! \times 2!}\times \dfrac{10!}{8! \times 2!}\times \dfrac{8!}{6! \times 2!}\times \dfrac{6!}{4! \times 2!}\times 4!\\& = & \dfrac{12!}{2!\times 2! \times 2! \times 2!} \\ \end{array}
PropriétéPermutations avec plusieurs répétitions
Soit
un entier naturel non nul.
Une permutation de
éléments de
comprenant\(n_1\),
, ...,
répétitions est une liste de
éléments de
dans laquelle chacun des éléments
,
, ...,
de
apparaît respectivement
,
, ...,
fois.
Le nombre de permutations de
éléments avec
,
, ...,
répétitions est égal à
.
Énoncé 5
Combien d'anagrammes du mot «anagramme» existe-t-il, qu'elles aient un sens ou non ?
Réponses à un QCM au BAC
Un candidat au baccalauréat se présente à l'épreuve de spécialité mathématiques. L'exercice 1 du sujet de mathématiques est un questionnaire à choix multiples (QCM), composé de
questions comportant chacune quatre propositions de réponses,
,
,
ou
.
Pour chacune des questions, une seule des réponses est correcte. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
On considère les « mots » qu'il est possible de former avec les cinq réponses, données dans l'ordre à chacune des questions. Par exemple, si le candidat répond «1.
. 2.
. 3.
. 4.
. 5.
. », on peut noter cette liste de réponses «
».
1.a.Combien y a-t-il de « mots » réponses possibles ?b.Combien de « mots » réponses commencent par la réponse
?c.Combien de « mots » réponses contiennent deux fois la réponse
?d.Combien de « mots » réponses contiennent deux
, deux
et un
?
2. On suppose que le candidat répond au hasard à toutes les questions de l'exercice et que chaque question de l'exercice est indépendante des autres. On note
la variable aléatoire correspondant au nombre de bonnes réponses à l'issue des cinq réponses.
On donnera les valeurs exactes des probabilités.a. Quelle est la loi suivie par
? Justifier.b. Quelle est la probabilité que le candidat n'ait aucune bonne réponse ?c. Quelle est la probabilité que le candidat ait exactement deux bonnes réponses ?
3.Question avec prise d'initiative. Toute trace de recherche, même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation. On suppose que, pour cet exercice, qui est au total sur
points, le candidat reçoit :
point par bonne réponse ;
point s'il ne répond pas à la question ;
point par mauvaise réponse ou s'il donne plusieurs réponses.
On suppose que le candidat décide de répondre au hasard à chacune des questions et qu'il donne forcément une réponse à chacune d'entre elles.
On note
la variable aléatoire correspondant à son total de points, éventuellement négatif, à cet exercice.
Calculer l'espérance de la variable
et indiquer si la stratégie de réponse au hasard est payante pour le candidat.
Formule de Vandermonde
Soit
.
1.Démontrer que, pour tout entier naturel
,
.
2.a.Combien y a-t-il de façons de choisir
éléments dans un ensemble
qui en compte
?
b.En considérant
comme deux ensembles à
éléments, reprendre la question précédente et démontrer la formule de Vandermonde :
.
Formule du et des capitaines
1.En comptant de
façons différentes le nombre de façons de former une équipe de
joueurs dont un capitaine parmi
joueurs disponibles, démontrer que :
.
Remarque : cette formule est appelée formule du capitaine.
2.En s'inspirant de la question précédente, démontrer la formule des capitaines :
.
En binaire
On peut coder l'ensemble des nombres entiers de
à
par un nombre binaire d'un octet, c'est-à-dire de
bits. Par exemple :
car
13=1\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0
.
car
210=1\times2^7+1\times2^6+0\times2^5+1\times2^4+0\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+0\times2^0
Combien de fois va-t-on utiliser le chiffre
pour écrire tous les entiers de
à
?
Suite strictement croissante
On considère l'ensemble
. Combien y a-t-il de suites de
entiers de
strictement croissantes ?
☆ Le jeu du tarot « africain »
Le jeu du « tarot africain » (https://shorturl.at/vapqm) est un jeu de cartes qui se joue, dans sa version initiale, avec les atouts (cartes numérotées de
à
) du jeu de tarot classique, ainsi que l'« excuse » qui est une carte qui peut prendre la valeur
ou
selon le choix du joueur.
Le jeu se joue à
joueurs,
entier naturel entre
inclus et
inclus.
Le jeu se déroule selon les étapes suivantes :
- on distribue les cartes équitablement entre les joueurs ;
- les joueurs annoncent, à tour de rôle, le nombre de plis qu'ils comptent faire ;
- à tour de rôle, les joueurs posent une carte ;
- la carte avec le numéro le plus élevé remporte le pli ;
- le joueur qui a remporté le pli pose une carte de sa main et le tour continue ;
- un tour se termine lorsque les joueurs n’ont plus de cartes en main ;
- on distribue une carte de moins à chacun au tour suivant et l'on répète les étapes précédentes.
Pendant la phase du tour à une carte, les joueurs ne peuvent pas voir leur propre carte, mais voient celles des adversaires.
On appelle « main » l’ensemble des cartes distribuées à un joueur à un tour donné.
On appelle « pli » l’ensemble des cartes posées lors d’un tour.
Partie I - Explicitation de quelques règles du jeu (tour à une carte)
1.Dans cette question, on suppose que
. On considère la phase du tour à
carte et l’on admet qu’un joueur A voit les quatre cartes suivantes : «
», «
», «
» et «
».a.Déterminer la probabilité que le joueur A ait en main une carte plus forte que les autres.b.On admet pour cette question que le joueur A est le premier à devoir faire son annonce.
Que doit-il annoncer pour avoir le plus de chances de gagner ?c.On admet pour cette question que le joueur A est le deuxième à devoir faire son annonce, et que le joueur précédent (qui a le «
») a annoncé qu'il ne remporterait pas le pli. Justifier que le joueur A a intérêt à annoncer qu'il fera le pli.
2.On reprend le cas général (
non fixé) et l’on note
la valeur de la carte la plus élevée vue par le joueur A lors du tour à
carte. Exprimer la probabilité que le joueur A remporte le pli en fonction de
.
Partie II - Calculs avec le jeu complet
On considère à présent le jeu complet, composé des
cartes précédemment citées et de
cartes supplémentaires :
sont des trèfles (de
à
) ;
sont des cartes spéciales.
On admet ainsi que le jeu est constitué de
atouts,
trèfles et
cartes spéciales, parmi lesquelles
sont appelées « retourneurs ».
Dans cette partie, on s'intéresse au cas
et au tour à
cartes.
On arrondira les probabilités au millième près.
1.Démontrer que
, le nombre de mains possibles lors d'un tel tour pour un joueur donné, vaut
.
2.Déterminer le nombre de mains ne contenant aucun retourneur. En déduire la probabilité qu'un joueur donné n'ait aucun retourneur en main.
3.Déterminer le nombre de mains contenant exactement deux retourneurs. En déduire la probabilité qu'un joueur donné ait exactement deux retourneurs en main.
4.Calculer le nombre moyen de cartes spéciales que peut espérer avoir en main un joueur lors de ce tour à
cartes.
5.Question avec prise d’initiative. Toute trace de recherche sera valorisée. Le candidat estinvitéà porter sur sa copie toute tentative de résolution, même infructueuse.
Déterminer le nombre de répartitions possibles des
cartes parmi les
joueurs lors du tour à
cartes. On pourra présenter le résultat en écriture scientifique avec deux chiffres significatifs.
Liens utiles
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