Quizéo

Énoncé 1Sans répétition de lettre

«Niche» et «chien» sont des anagrammes. De même que «écrit» et «récit».
Combien d'anagrammes possibles existe-t-il du mot «niche» ?

Énoncé 2Avec répétition d'une lettre

Si on ne compte pas les accents, les mots «trêve» et «verte» sont des anagrammes.
On souhaite dénombrer les anagrammes du mot «verte».

Dénombrer le nombre d'emplacements des deux lettres E dans le mot.
 En déduire le nombre de manières de placer les trois lettres restantes dans le mot.
En déduire le nombre d'anagrammes du mot «verte».

Solution

1.Pour former une anagramme (à

5

lettres) de ces mots qui contiennent un V, un R, un T et deux E, on peut commencer par choisir les emplacements, dans le mot, des 

2

lettres E.

\displaystyle \binom 52 = 10

.
On a donc 

10

manières différentes de choisir les emplacements des 

2

lettres E.

2.Une fois que les emplacements des 

2

lettres E sont fixés, il reste à positionner les

3

lettres restantes dans les

3

emplacements restants.

3! = 6

. 
Il y a donc

6

manières de positionner les

3

lettres restantes dans les

3

emplacements restants.

3.Enfin, par le principe multiplicatif, on a

10 \times 6 = 60

.
Il y a donc

60

anagrammes différentes (que les mots obtenus aient un sens ou non).

Remarque

En calculant avec les factorielles le nombre d'anagrammes de l'exemple précédent, on a : 

\displaystyle \binom 52\times 3! = \dfrac{5!}{2!\times 3!}\times 3! = \dfrac{5!}{2!}

.

PropriétéPermutations avec répétition d'un élément

Soit 

n

un entier naturel non nul. Soit

k

un entier naturel tel que

2⩽ k ⩽ n

.
S'il existe

k

répétitions d'un même élément parmi les

n

éléments, le nombre de permutations possibles des

n

éléments est alors 

\dfrac{n!}{k!}

.

Énoncé 3Avec répétition d'une lettre

Sans tenir compte des accents ni de l'espace entre les mots, « plein été» et «épile net» sont des anagrammes.
Dénombrer les anagrammes de l'expression « plein été» (sans tenir compte des accents ni de l'espace entre les mots).

Énoncé 4Avec répétitions de plusieurs lettres

«Pablo Picasso» et «Pascal Obispo» sont des anagrammes. En utilisant la démarche de l'exercice 2 ci-dessus, dénombrer les anagrammes de «Pascal Obispo» (sans tenir compte de l'espace entre les mots).

Remarque

En calculant avec les factorielles le nombre d'anagrammes de l'exercice précédent, on a : 

\begin{array}[t]{rcl}\displaystyle \binom{12}{2}\times \binom{10}{2}\times \binom{8}{2} \times \binom{6}{2} \times 4! & = & \dfrac{12!}{10! \times 2!}\times \dfrac{10!}{8! \times 2!}\times \dfrac{8!}{6! \times 2!}\times \dfrac{6!}{4! \times 2!}\times 4!\\& = & \dfrac{12!}{2!\times 2! \times 2! \times 2!} \\ \end{array}

PropriétéPermutations avec plusieurs répétitions

Soit 

n

un entier naturel non nul.
Une permutation de

n

éléments de

E

 comprenant\(n_1\),

n_2

, ...,

n_k

répétitions est une liste de

n

éléments de

E

dans laquelle chacun des éléments

x_1

,

x_2

, ...,

x_k

de

E

apparaît respectivement  

n_1

,

n_2

, ...,

n_k

 fois.
Le nombre de permutations de 

n

éléments avec

n_1

,

n_2

, ...,

n_k

répétitions est égal à

\dfrac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}

.

Énoncé 5

Combien d'anagrammes du mot «anagramme» existe-t-il, qu'elles aient un sens ou non ?

Réponses à un QCM au BAC

Un candidat au baccalauréat se présente à l'épreuve de spécialité mathématiques. L'exercice 1 du sujet de mathématiques est un questionnaire à choix multiples (QCM), composé de

5

questions comportant chacune quatre propositions de réponses,

A

,

B

,

C

ou

D

.

Pour chacune des questions, une seule des réponses est correcte. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

On considère les « mots » qu'il est possible de former avec les cinq réponses, données dans l'ordre à chacune des questions. Par exemple, si le candidat répond «1.

B

. 2.

A

. 3.

B

. 4.

A

. 5.

C

. », on peut noter cette liste de réponses «

BABAC

».

1.a.Combien y a-t-il de « mots » réponses possibles ?b.Combien de « mots » réponses commencent par la réponse

B

 ?c.Combien de « mots » réponses contiennent deux fois la réponse

A

?d.Combien de « mots » réponses contiennent deux

A

, deux

D

et un

B

?

2. On suppose que le candidat répond au hasard à toutes les questions de l'exercice et que chaque question de l'exercice est indépendante des autres. On note

X

la variable aléatoire correspondant au nombre de bonnes réponses à l'issue des cinq réponses.
On donnera les valeurs exactes des probabilités.a. Quelle est la loi suivie par

X

? Justifier.b. Quelle est la probabilité que le candidat n'ait aucune bonne réponse ?c. Quelle est la probabilité que le candidat ait exactement deux bonnes réponses ?

3.Question avec prise d'initiative. Toute trace de recherche, même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation. On suppose que, pour cet exercice, qui est au total sur

5

points, le candidat reçoit :

1

point par bonne réponse ;

0

point s'il ne répond pas à la question ;

- 0,\!5

point par mauvaise réponse ou s'il donne plusieurs réponses.

On suppose que le candidat décide de répondre au hasard à chacune des questions et qu'il donne forcément une réponse à chacune d'entre elles.
On note

T

la variable aléatoire correspondant à son total de points, éventuellement négatif, à cet exercice.

Calculer l'espérance de la variable

T

et indiquer si la stratégie de réponse au hasard est payante pour le candidat.

Formule de Vandermonde

Soit

n\in \mathbb N

.

1.Démontrer que, pour tout entier naturel

k\leqslant n

,

\displaystyle\binom{n}{n-k}=\binom{n}{k}

.

2.a.Combien y a-t-il de façons de choisir 

n

 éléments dans un ensemble

E

 qui en compte 

2n

?

b.En considérant

E

 comme deux ensembles à

n

 éléments, reprendre la question précédente et démontrer la formule de Vandermonde : 

\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}

.

Formule du et des capitaines

1.En comptant de

2

façons différentes le nombre de façons de former une équipe de

k

 joueurs dont un capitaine parmi

n

 joueurs disponibles, démontrer que :

\displaystyle k\times \binom{n}{k}=n\times \binom{n-1}{k-1}

.

Remarque : cette formule est appelée formule du capitaine.

2.En s'inspirant de la question précédente, démontrer la formule des capitaines :

\displaystyle \binom {k}{i}\times \binom{n}{k}=\binom {n}{i}\times \binom{n-i}{k-i}

.

En binaire

On peut coder l'ensemble des nombres entiers de

0

à

255

par un nombre binaire d'un octet, c'est-à-dire de

8

bits. Par exemple :

13 = \textit{00001101}

car

13=1\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0

.

210 = \textit{11010010}

car

210=1\times2^7+1\times2^6+0\times2^5+1\times2^4+0\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+0\times2^0

Combien de fois va-t-on utiliser le chiffre

1

pour écrire tous les entiers de

0

à

255

?

Suite strictement croissante

On considère l'ensemble

E=\{1~;~2~;~...~;~10\}

. Combien y a-t-il de suites de

4

entiers de

E

strictement croissantes ?

☆ Le jeu du tarot « africain »

Le jeu du « tarot africain » (https://shorturl.at/vapqm) est un jeu de cartes qui se joue, dans sa version initiale, avec les atouts (cartes numérotées de

1

à

21

) du jeu de tarot classique, ainsi que l'« excuse » qui est une carte qui peut prendre la valeur

0

ou

22

selon le choix du joueur.

Le jeu se joue à

n

joueurs,

n

entier naturel entre

3

inclus et

11

inclus.

Le jeu se déroule selon les étapes suivantes :

on distribue les cartes équitablement entre les joueurs ;
les joueurs annoncent, à tour de rôle, le nombre de plis qu'ils comptent faire ;
à tour de rôle, les joueurs posent une carte ;
la carte avec le numéro le plus élevé remporte le pli ;
le joueur qui a remporté le pli pose une carte de sa main et le tour continue ;
un tour se termine lorsque les joueurs n’ont plus de cartes en main ;
on distribue une carte de moins à chacun au tour suivant et l'on répète les étapes précédentes.

Pendant la phase du tour à une carte, les joueurs ne peuvent pas voir leur propre carte, mais voient celles des adversaires.
On appelle « main » l’ensemble des cartes distribuées à un joueur à un tour donné.
On appelle « pli » l’ensemble des cartes posées lors d’un tour.

Partie I - Explicitation de quelques règles du jeu (tour à une carte)

1.Dans cette question, on suppose que

n=5

. On considère la phase du tour à

1

carte et l’on admet qu’un joueur A voit les quatre cartes suivantes : «

15

 », « 

10

 », « 

9

 » et « 

2

 ».a.Déterminer la probabilité que le joueur A ait en main une carte plus forte que les autres.b.On admet pour cette question que le joueur A est le premier à devoir faire son annonce.
Que doit-il annoncer pour avoir le plus de chances de gagner ?c.On admet pour cette question que le joueur A est le deuxième à devoir faire son annonce, et que le joueur précédent (qui a le « 

15

 ») a annoncé qu'il ne remporterait pas le pli. Justifier que le joueur A a intérêt à annoncer qu'il fera le pli.

2.On reprend le cas général (

n

 non fixé) et l’on note

p

la valeur de la carte la plus élevée vue par le joueur A lors du tour à

1

carte. Exprimer la probabilité que le joueur A remporte le pli en fonction de

p

.

Partie II - Calculs avec le jeu complet

On considère à présent le jeu complet, composé des

22

cartes précédemment citées et de

18

cartes supplémentaires :

10

sont des trèfles (de

1

à

10

) ;

8

sont des cartes spéciales.

On admet ainsi que le jeu est constitué de

21

atouts,

10

trèfles et

9

cartes spéciales, parmi lesquelles

3

sont appelées « retourneurs ».

Dans cette partie, on s'intéresse au cas

n=4

et au tour à

10

cartes.
On arrondira les probabilités au millième près.

1.Démontrer que

N

, le nombre de mains possibles lors d'un tel tour pour un joueur donné, vaut 

N = 847\ 660\ 528

.

2.Déterminer le nombre de mains ne contenant aucun retourneur. En déduire la probabilité qu'un joueur donné n'ait aucun retourneur en main.

3.Déterminer le nombre de mains contenant exactement deux retourneurs. En déduire la probabilité qu'un joueur donné ait exactement deux retourneurs en main.

4.Calculer le nombre moyen de cartes spéciales que peut espérer avoir en main un joueur lors de ce tour à

10

cartes.

5.Question avec prise d’initiative. Toute trace de recherche sera valorisée. Le candidat estinvitéà porter sur sa copie toute tentative de résolution, même infructueuse.
Déterminer le nombre de répartitions possibles des

40

cartes parmi les

4

joueurs lors du tour à

10

cartes. On pourra présenter le résultat en écriture scientifique avec deux chiffres significatifs.

Exercices vers le supérieur

☛ Dénombrer des anagrammes

Réponses à un QCM au BAC

Formule de Vandermonde

Formule du et des capitaines

En binaire

Suite strictement croissante

☆ Le jeu du tarot « africain »

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