Définition et propriété
Soit
une droite du plan et
un point du plan.
1.Si
, alors le projeté orthogonal de
sur
est
lui-même.
2.Si
, alors le projeté orthogonal de
sur
est le point
de
tel que
.
Le projeté orthogonal
de
sur
est le point de
qui réalise ladistance minimaleentre
et l’ensemble des points de la droite
. Cette distance minimale est appeléedistanceentre
et
.
Démonstration
Soit
et
le projeté orthogonal de
sur
. Le triangle
est rectangle en
.
Alors, d'après le théorème de Pythagore, on a :
.
Or
, donc
, soit
.
Remarque
Soit un triangle
. Soit
le pied de la hauteur du sommet
sur le côté opposé
.
Alors, le point
est le projeté orthogonal de
sur la droite
.
Produit scalaire dans le plan
Exercice 1
Soit
un triangle équilatéral de côté de longueur
.
Exprimer de deux manières différentes le produit scalaire
.
Exercice 2
On donne trois points
,
et
du plan tels que
,
et
.
Déterminer une mesure, au degré près, de l'angle
.
Exercice 3
Soit
un losange dont les diagonales sont telles que
cm et
cm.
Le produit scalaire
vaut :
a.
b.
c.
d.
Exercice 4
Soit
un trapèze rectangle tel que :
,
,
,
et
.
Le produit scalaire
vaut :
a.
b.
c.
d.
Exercice 5
Soit
un triangle tel que
,
et
.
a.Calculer le produit scalaire
.
b.En déduire une mesure, au dixième de degré, de l'angle
.
c.Calculer les mesures, au dixième de degré, des deux autres angles du triangle
.
Exercice 6
Soit
un carré de côté
. Soit
le point du segment
tel que
.
a.Justifier que
.
b.En déduire une mesure, au degré près, de l'angle
.
Utiliser l'orthogonalité de deux vecteurs du plan
1.Dans un repère orthonormé du plan, on se donne trois points
,
et
.
Les droites
et
sont-elles perpendiculaires ?
2. Dans un repère orthonormé du plan, on se donne trois points
,
et
.
Les droites
et
sont-elles perpendiculaires ?
Équation d'un cercle dans le plan
Propriété
Le plan est muni d'un repère orthonormé. Soit
un point du plan et soit
un réel.
On considère le cercle
de centre
et de rayon
. Alors on a :
si et seulement si
.
Cette égalité s'appelle une « équation du cercle \(\mathscr C\)de centre \(\Omega\) et de rayon\(r\) ».
Propriété
Soit
et
deux points distincts du plan.
Un point
appartient au cercle de diamètre
si et seulement si le triangle
est rectangle en
, c'est-à-dire si et seulement si
.
On peut ainsi déterminer une équation d'un cercle sans connaître son centre ni son rayon.
Distance dans le plan
Dans un repère orthonormé
, on considère les points
et
.
Calculer les distances suivantes :
.