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Produit scalaire et distances dans le plan

, alors le projeté orthogonal de

Sommaire

Projeté orthogonal d'un point sur une droite du planProduit scalaire dans le planUtiliser l'orthogonalité de deux vecteurs du planÉquation d'un cercle dans le planDistance dans le plan

Projeté orthogonal d'un point sur une droite du plan

Définition et propriété
Soit
ddd
une droite du plan et
A\text AA
un point du plan.
1.Si
A∈d\text A \in dA∈d
, alors le projeté orthogonal de
A\text AA
sur
ddd
est 
A\text AA
lui-même.
2.Si
A∉d\text A \notin dA∈/d
, alors le projeté orthogonal de
A\text AA
sur
ddd
est le point
H\text HH
de
ddd
tel que
(AH)⊥d(\text A\text H) ⊥ d(AH)⊥d
.
Le projeté orthogonal
H\text HH
de
A\text AA
sur
ddd
est le point de
ddd
qui réalise ladistance minimaleentre
A\text AA
et l’ensemble des points de la droite
ddd
. Cette distance minimale est appeléedistanceentre
A\text AA
et
ddd
.
Démonstration
Soit
M∈d\text M \in dM∈d
et
H\text HH
le projeté orthogonal de
A\text AA
sur
ddd
. Le triangle
AHM\text A\text H\text MAHM
est rectangle en
H\text HH
.
Alors, d'après le théorème de Pythagore, on a : 
AH2+HM2=AM2\text A\text H^2+\text H\text M^2=\text A\text M^2AH2+HM2=AM2
.
Or 
HM2⩾0\text H\text M^2\geqslant0HM2⩾0
, donc 
AH2+HM2⩾AH2\text A\text H^2+\text H\text M^2\geqslant \text A\text H^2AH2+HM2⩾AH2
, soit 
AM2⩾AH2\text A\text M^2 \geqslant \text A\text H^2AM2⩾AH2
.
Remarque
Soit un triangle
ABC\text A\text B\text CABC
. Soit
H\text HH
le pied de la hauteur du sommet
A\text AA
sur le côté opposé
(BC)(\text B\text C)(BC)
.
Alors, le point
H\text HH
est le projeté orthogonal de
A\text AA
sur la droite
(BC)(\text B\text C)(BC)
.

Produit scalaire dans le plan

Exercice 1
Soit
ABC\text A\text B\text CABC
un triangle équilatéral de côté de longueur
aaa
.
Exprimer de deux manières différentes le produit scalaire
AB→⋅AC→\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C}AB⋅AC
.
Exercice 2
On donne trois points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
du plan tels que
AB=5\text A\text B=5AB=5
,
AC=6\text A\text C=6AC=6
et 
AB→⋅AC→=15\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C} = 15AB⋅AC=15
.
Déterminer une mesure, au degré près, de l'angle
BAC^\widehat{\text B\text A\text C}BAC
.
Exercice 3
Soit
ABCD\text A\text B\text C\text DABCD
un losange dont les diagonales sont telles que 
AC=8\text A\text C = 8AC=8
cm et
BD=6\text B\text D = 6BD=6
cm.
Le produit scalaire
AB→⋅BD→\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text B\text D}AB⋅BD
vaut :
a.
303030
b.
−2-2−2
                     c.
−18-18−18
d.
777
Exercice 4
Soit
ABCD\text A\text B\text C\text DABCD
un trapèze rectangle tel que :
AB=6\text A\text B = 6AB=6
,
AD=5\text A\text D = 5AD=5
, 
DC=9\text D\text C = 9DC=9
, 
BAD^=90∘\widehat{\text B\text A\text D}=90^\circBAD=90∘
et 
ADC^=90∘\widehat{\text A\text D\text C}=90^\circADC=90∘
.
Le produit scalaire
AB→⋅BC→\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text B\text C}AB⋅BC
vaut :
a.
181818
b.
−30-30−30
c.
303030
d.
−18-18−18
Exercice 5
Soit
ABC\text A\text B\text CABC
un triangle tel que
AB=3\text A\text B = 3AB=3
,
BC=6\text B\text C= 6BC=6
 et
AC=4\text A\text C=4AC=4
. 
    a.Calculer le produit scalaire 
AB→⋅AC→\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C}AB⋅AC
.
    b.En déduire une mesure, au dixième de degré, de l'angle
BAC^\widehat{\text B\text A\text C}BAC
.
    c.Calculer les mesures, au dixième de degré, des deux autres angles du triangle
ABC\text A\text B\text CABC
.
Exercice 6
Soit 
ABCD\text A\text B\text C\text DABCD
un carré de côté
444
. Soit
I\text II
le point du segment
[AB][\text A\text B][AB]
tel que
AI→=34AB→\overrightarrow{\text A\text I}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{\text A\text B}AI=43​AB
.
    a.Justifier que 
ID→⋅IC→=13\overrightarrow{\text I\text D}\cdot\overrightarrow{\text I\text C}=13ID⋅IC=13
.
    b.En déduire une mesure, au degré près, de l'angle
CID^\widehat{\text C\text I\text D}CID
.

Utiliser l'orthogonalité de deux vecteurs du plan

1.Dans un repère orthonormé du plan, on se donne trois points
A(−1 ; 1)\text A(-1~;~1)A(−1 ; 1)
,
B(0 ;−2)\text B(0 ~; -2)B(0 ;−2)
et
C(3 ; 2)\text C(3~;~2)C(3 ; 2)
.
Les droites
(AB)(\text A\text B)(AB)
et
(AC)(\text A\text C)(AC)
sont-elles perpendiculaires ?
2. Dans un repère orthonormé du plan, on se donne trois points
A(−1 ;−1)\text A(-1~; -1)A(−1 ;−1)
,
B(0 ;−2)\text B(0~; -2)B(0 ;−2)
et
C(1 ; 1)\text C(1~;~1)C(1 ; 1)
.
Les droites
(AB)(\text A\text B)(AB)
et
(AC)(\text A\text C)(AC)
sont-elles perpendiculaires ?

Équation d'un cercle dans le plan

Propriété
Le plan est muni d'un repère orthonormé. Soit
Ω(a;b)\Omega(a;b)Ω(a;b)
un point du plan et soit 
rrr
un réel.
On considère le cercle
C\mathscr CC
de centre 
Ω\OmegaΩ
 et de rayon
rrr
. Alors on a :
M(x ; y)∈C\text M(x~;~y)\in\mathscr CM(x ; y)∈C
 si et seulement si 
(x−a)2+(y−b)2=r2\boxed{(x-a)^2+(y-b)^2 =r^2}(x−a)2+(y−b)2=r2​
.
Cette égalité s'appelle une « équation du cercle \(\mathscr C\)de centre \(\Omega\) et de rayon\(r\) ».
Propriété
Soit
A\text AA
et
B\text BB
deux points distincts du plan.
Un point
M\text MM
appartient au cercle de diamètre
[AB][\text A\text B][AB]
si et seulement si le triangle
MAB\text M\text A\text BMAB
est rectangle en
M\text MM
, c'est-à-dire si et seulement si 
MA→⋅MB→=0\boxed{\overrightarrow{\text M\text A}\cdot \overrightarrow{\text M\text B}=0}MA⋅MB=0​
.
On peut ainsi déterminer une équation d'un cercle sans connaître son centre ni son rayon.

Distance dans le plan

Dans un repère orthonormé 
(O ;i→,j→)\left(\mathrm O~; \overrightarrow i, \overrightarrow j\right)(O ;i,j​)
, on considère les points 
A(5 ; 3),B(−4 ; 3),C(7 ;−5),D(−9 ;−4),E(0 ; 5)\mathrm{A(5~;~3), B(-4~;~3), C(7~;-5), D(-9~;-4), E(0~;~5)}A(5 ; 3),B(−4 ; 3),C(7 ;−5),D(−9 ;−4),E(0 ; 5)
 et 
F(0 ;−3)\text F(0~;-3)F(0 ;−3)
.
Calculer les distances suivantes : 
AB,CD,BC,AE,BF,OF,AD,CA\mathrm{AB, CD, BC, AE, BF, OF, AD, CA}AB,CD,BC,AE,BF,OF,AD,CA
.