Appliquer

Décomposition d'un vecteur de l'espace

Dans un cube

Exercice 1

On considère un cube

\mathrm{ABCDEFGH}

.

Exprimer les vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{FD}}

,

\mathrm{\overrightarrow{BH}}

et

\mathrm{\overrightarrow{GA}}

 en fonction des vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{AB}}

,

\mathrm{\overrightarrow{AD}}

et

\mathrm{\overrightarrow{AE}}

.

Exercice 2

On considère un cube

\mathrm{ABCDEFGH}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\mathrm{I}

  le milieu du segment 

\mathrm{[AE]}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\mathrm{J}

le milieu du segment

\mathrm{[BC]}

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Soit

\mathrm{K}

le milieu du segment

\mathrm{[HF]}

.

Exprimer les vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{IK}}

,

\mathrm{\overrightarrow{IJ}}

et

\mathrm{\overrightarrow{KJ}}

en fonction des vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{AB}}

,

\mathrm{\overrightarrow{AD}}

et

\mathrm{\overrightarrow{AE}}

.

Exercice 3

On considère un cube

\mathrm{ABCDEFGH}

.
Soit

\mathrm{M}

le milieu du segment

\mathrm{[EH]}

,

\mathrm{N}

le milieu du segment

\mathrm{[FC]}

et

\mathrm{P}

le point tel que

\mathrm{\overrightarrow{HP}=\dfrac14\overrightarrow{HG}}

.

Exprimer les vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{MP}}

,

\mathrm{\overrightarrow{PN}}

et

\mathrm{\overrightarrow{MN}}

en fonction des vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{AB}}

,

\mathrm{\overrightarrow{AD}}

et

\mathrm{\overrightarrow{AE}}

.

Dans un parallélépipède rectangle

Exercice 1

Soit

\mathrm{ABCDEFGH}

un parallélépipède rectangle.
On appelle

\mathrm{I}

,

\mathrm{J}

et

\mathrm{P}

les milieux respectifs des segments

\mathrm{[CD]}

,

\mathrm{[EF]}

et

\mathrm{[AB]}

.
Soit

\mathrm{Q}

le point défini par

\mathrm{\overrightarrow{AQ}=\dfrac13\overrightarrow{AD}}

.

Exprimer les vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{AG}}

,

\mathrm{\overrightarrow{IJ}}

et

\mathrm{\overrightarrow{PH}}

en fonction des vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{AP}}

,

\mathrm{\overrightarrow{AQ}}

et

\mathrm{\overrightarrow{AE}}

.

Exercice 2

On considère le pavé droit

\mathrm{ABCDEFGH}

ci-dessous.

Soit 

\mathrm{I}

,

\mathrm{J}

et

\mathrm{K}

les points tels que

\mathrm{\overrightarrow{AI} = \dfrac16\overrightarrow{AB}}

, \(\mathrm{\overrightarrow{AJ}= \dfrac14\overrightarrow{AD}}\) et 

\mathrm{\overrightarrow{AK}=\dfrac12\overrightarrow{AE}}

.

Exprimer les vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{GE}}

,

\mathrm{\overrightarrow{FD}}

et

\mathrm{\overrightarrow{BF}}

en fonction des vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{AI}}

,

\mathrm{\overrightarrow{AJ}}

et

\mathrm{\overrightarrow{AK}}

.

Dans un tétraèdre

Exercice 1

On considère une pyramide \(\mathrm{SABCE}\)à base carrée

\mathrm{ABCE}

de centre

\mathrm{O}

.
Le point

\text D

\text D

appartient au segment

\mathrm{[OS]}

et vérifie : 

\mathrm{OA = OB = OD}

.

Le point \(\text S\)est tel que 

\mathrm{\overrightarrow{OS}=3\overrightarrow{OD}}

(proportion non respectée sur le schéma ci-dessous). 

Exprimer les vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{AS}}

et

\mathrm{\overrightarrow{SE}}

en fonction des vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{OA}}

,

\mathrm{\overrightarrow{OB}}

et

\mathrm{\overrightarrow{OD}}

.

Exercice 2

On considère unepyramide régulière 

\mathrm{SABCD}

de sommet

\mathrm{S}

dont la base est le carré

\mathrm{ABCD}

et dont les faces sont des triangles équilatéraux.  
On note

\mathrm{O}

le centre du carré

\mathrm{ABCD}

avec

\mathrm{OB=1}

.

1.Justifier que

\mathrm{OS = 1}

.

2.Soit

\mathrm{K}

le point défini par

\mathrm{\overrightarrow{SK}=\dfrac13\overrightarrow{SA}}

. On note

\mathrm{I}

le milieu du segment

\mathrm{[SO]}

.
Exprimer le vecteur 

\mathrm{\overrightarrow{KI}}

en fonction des vecteurs

\mathrm{\overrightarrow{OC}}

,

\mathrm{\overrightarrow{OD}}

et

\mathrm{\overrightarrow{OS}}

.

Repérage dans l'espace

Calculs des coordonnées d'un vecteur

L'espace est rapporté à un repère

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

.
Dans chaque cas, calculer les coordonnées du vecteur 

\overrightarrow{\text A\text B}

.

1.

\text A(-1~;~ 4~; -4)

et

\text B(5~; -3~;~ 1)

2.

\text A(-5~;~ 3~; -3)

et

\text B(2~;~ 3~; -1)

3.

\text A(0~; -2~;~ 1)

et

\text B(2~;~ 3~; -2)

4.

\text A(3~;~ 5~;~ 5)

et

\text B(-2~;~ 5~;~ 5)

5.

\text A(-1~; -1~;~ 3)

et

\text B(5~;~ 2~;~ 5)

6.

\text A(1~; -1~;~ 1)

et

\text B(-4~; -2~; -5)

7.

\text A(5~; -2~; -1)

et

\text B(2~; -4~; -4)

8.

\text A(3~;~ 3~;~ 4)

et

\text B(0~; -2~; -4)

9.

\text A(-5~; -3~;~ 3)

et

\text B(-4~; -3~; ~4)

10.

\text A(-2~; -3~; -3)

et

\text B(3~;~ 0~; -1)

Vecteurs coplanaires, points coplanaires

Exercice 1

Soit une base

\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

 de l'espace. Soit les vecteurs 

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\3\\2\\ \end{pmatrix}

,

\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1\\3\\2\\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 1\\4\\3\\ \end{pmatrix}

.
Ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ?

Exercice 2
Soit une base

\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

 de l'espace. Soit les vecteurs 

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3\\-5\\2\\ \end{pmatrix}

,

\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0\\2\\-2\\ \end{pmatrix}

et

\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 1\\3\\-2\\ \end{pmatrix}

. Ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ?

Exercice 3
Soit un repère 

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

de l'espace. Soit les points

\text A(1~;~2~;~3)

,

\text B(--3~;~5~;~2)

,

\text C(3~;~1~;~1)

et

\text D(9~;~0~;--15)

. Ces quatre points sont-ils coplanaires ?

Exercice 4
Soit un repère 

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

de l'espace. Soit les points

\text A(1~;~2~;~3)

,

\text B(--1~;~5~;~4)

,

\text C(0~;~5~;~1)

et

\text D(2~;-4~;~2)

. Ces quatre points sont-ils coplanaires ?

Colinéarité de vecteurs et alignement de points

L'espace est rapporté à un repère

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

. Dans chaque cas, déterminer si les points

\text A

,

\text B

et

\text C

définissent un plan.

1.

\text A(-1~;~ 4~; -4)

,

\text B(5~; -3~;~ 1)

et

\text C(-5~;~ 3~; -3)

.

2.

\text A(2~;~ 3~; -1)

,

\text B(0~; -2~;~ 1)

et

\text C(8~; ~18~; -7)

.

3.

\text A(2~;~ 3~; -2)

,

\text B(3~;~ 5~;~ 5)

et

\text C(-2~;~ 5~;~ 5)

.

4.

\text A(-1~; -1~;~ 3)

,

\text B(5~;~ 2~;~ 5)

et

\text C(-7~; -4~;~ 1)

.

5.

\text A(1~; -1~; -1)

,

\text B(-4~; -2~; -5)

et

\text C(5~; -2~; -1)

.

6.

\text A(2~; -4~; -4)

,

\text B(3~; ~3~;~ 4)

et

\text C(3{,}5~;~ 6{,}5~;~ 8)

.

7.

\text A\left(\dfrac13~;~ \dfrac15~;~ \dfrac17\right)

,

\text B\left(\dfrac15~;~ \dfrac17~;~ \dfrac13\right)

et

\text C\left(\dfrac17~;~ \dfrac13~;~ \dfrac15\right)

.

Calculs des coordonnées du milieu d'un segment

L'espace est rapporté à un repère 

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

. Dans chaque cas, calculer les coordonnées du point

\text I

, milieu du segment

[\text A\text B]

.

1.

\text A(-1~;~ 4~; -4)

et

\text B(5~; -3~;~ 1)

2.

\text A(-5~;~ 3~; -3)

et

\text B(2~;~ 3~; -1)

3.

\text A(0~; -2~;~ 1)

et

\text B(2~;~ 3~; -2)

4.

\text A(3~;~ 5~;~ 5)

et

\text B(-2~;~ 5~;~ 5)

5.

\text A(-1~; -1~;~ 3)

et

\text B(5~;~ 2~;~ 5)

6.

\text A(1~; -1~;~ 1)

et

\text B(-4~; -2~; -5)

7.

\text A(5~; -2~; -1)

et

\text B(2~; -4~; -4)

8.

\text A(3~;~ 3~;~ 4)

et

\text B(0~; -2~; -4)

9.

\text A(-5~; -3~;~ 3)

et

\text B(-4~; -3~;~ 4)

10.

\text A(-2~; -3~; -3)

et

\text B(3~;~ 0~; -1)

Produit scalaire dans l'espace

Calcul d'angle (1)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé 

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

.

Soit

\mathrm{ABCDEFGH}

un cube d'arête

1

.

1.Calculer le produit scalaire 

\mathrm{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{DF}}

.

2.En déduire une mesure, au dixième de degré près, de l'angle \(\widehat {\text {HDF}}\).

Calcul d'angle (2)

Soit

\mathrm{ABCDEFGH}

un parallélépipède rectangle avec \(\mathrm{AB=8}\), 

\mathrm{AD=3}

et

\mathrm{AE=5}

.

On se place dans le repère orthonormé 

\left(\text A~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

 avec 

\overrightarrow{i}=\dfrac18\mathrm{\overrightarrow{AB}}

,

\overrightarrow{j}=\dfrac13\mathrm{\overrightarrow{AD}}

et

\overrightarrow{k}=\dfrac15\mathrm{\overrightarrow{AE}}

 (non représentés ci-dessus).

1.Calculer 

\mathrm{\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{ID}}

.

2.En déduire une mesure en degrés de l'angle 

\mathrm{\widehat{AID}}

, arrondie au dixième.

Produit scalaire dans un tétraèdre régulier

Soit

\mathrm{ABCD}

un tétraèdre régulier d'arête de longueur

a

 : chaque face est un triangle équilatéral de côté de longueur

a

.

1.Calculer

\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}

et

\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}

.

2.En déduire

\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}}

.

3.Que peut-on dire des droites 

\mathrm{(AB)}

et

\mathrm{(CD)}

?

Dans un repère orthonormé

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

. On donne les points

\text A(1~;~0~;~0)

,

\text B(0~;~1~;~0)

,

\text C(0~;~0~;~1)

,

\text D(0~;~2~;~0)

et

\text E(1~;~1~;~1)

.

1.Soit

\text M

le milieu du segment

[\text A\text B]

. Justifier que

\text M\left(\dfrac12~;~\dfrac12~;~0\right)

.

2. Calculer les produits scalaires suivants.
    a.

\overrightarrow{\text A\text B} \cdot \overrightarrow{\text A\text C}

b.

\overrightarrow{\text A\text E}\cdot \overrightarrow{\text A\text D}

c.

\overrightarrow{\text O\text E}\cdot \overrightarrow{\text C\text M}

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé 

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

. On donne les points

\text A(4~;~1~;-2)

,

\text B(-1~;~2~;~4)

,

\text C(0~;~2~;-5)

et

\text D\left(1~;-2~;-\dfrac72\right)

.
Soit

\text M

le milieu du segment

[\text A\text B]

.
Calculer les produits scalaires suivants.

1.

\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C}

2.

\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text C\text D}

3.

\overrightarrow{\text D\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C}

4.

\overrightarrow{\text M\text B}\cdot \overrightarrow{\text C\text D}

Orthogonalité, vecteur normal à un plan

☛ Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace, soit 

\text A(5~;~4~;~0)

,

\text B(4~;~0~;-6)

et

\text C(1~;~2~;~2)

. Justifier que le triangle 

\text A\text B\text C

 est rectangle en 

\text A

.

Solution

On calcule les coordonnées des vecteurs 

\overrightarrow{\text A\text B}

et

\overrightarrow{\text A\text C}

 puis on vérifie que leur produit scalaire vaut

0

.
D'une part, 

\overrightarrow{\text A\text B} \begin{pmatrix}-1\\-4\\-6\end{pmatrix}

et

\overrightarrow{\text A\text C} \begin{pmatrix}-4\\-2\\2\end{pmatrix}

.
D'autre part, 

\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C} = (-1)\times (-4)+(-4)\times (-2)+(-6)\times 2=4+8-12=0

.
Conclusion: les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle

\text A\text B\text C

 est rectangle en 

\text A

.

Position relative d'une droite et d'un plan

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

.
Le plan

P

 passe par

\text A(1~;~2~;~1)

et est dirigé par 

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}

et

\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}

.
La droite

d

passe par

\text B(-1~;~0~;~1)

et

\text C(3~;~2~;~4)

.
Quelle est la position relative de

d

par rapport à

P

?

Exercice 2

L'espace est rapporté à un repère orthonormé 

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

.
Soit

d

une droite passant par un point

\text A(-1~;~2~;~3)

et de vecteur directeur

\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}

.
Soit

P

un plan de vecteur normal

\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}

.
Étudier la position relative de

d

et de

P

.

Déterminer un vecteur normal à un plan

L'espace est rapporté à un repère orthonormé 

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

. On donne

\text A(1~;~2~;-2)

,

\text B(-1~;~3~;~1)

et

\text C(2~;~0~;-2)

. Déterminer un vecteur normal au plan

\mathrm{(ABC)}

.

Distances dans l'espace

Calculs de distances

L'espace est rapporté à un repère orthonormé 

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

.
Dans chaque cas, calculer la longueur

\text A \text B

.

1.

\text A(-1~;~ 4~; -4)

et

\text B(5~; -3~;~ 1)

2.

\text A(-5~; ~3; -3)

et

\text B(2~;~ 3~; -1)

3.

\text A(0~; -2~;~ 1)

et

\text B(2~;~ 3~; -2)

4.

\text A(3~; ~5~;~ 5)

et

\text B(-2~;~ 5~;~ 5)

5.

\text A(-1~; -1~;~ 3)

et

\text B(5~;~ 2~;~ 5)

6.

\text A(1~; -1~;~ 1)

et

\text B(-4~; -2~; -5)

7.

\text A(5~; -2~; -1)

et

\text B(2~; -4~; -4)

8.

\text A(3~;~ 3~;~ 4)

et

\text B(0~; -2~; -4)

9.

\text A(-5~; -3~; 3)

et

\text B(-4~; -3~;~ 4)

10.

\text A(-2~; -3~; -3)

et

\text B(3~;~ 0~; -1)

Nature d'un triangle

Exercice 1

Soit 

\mathrm{ABCDEFGH}

un cube de côté

1

.

Le point

\text I

est le milieu du segment

\mathrm{[BF]}

.
Le point

\text J

est le milieu du segment

\mathrm{[BC]}

.
Le point

\text K

est le milieu du segment

\mathrm{[CD]}

.
L'espace est muni du repère

\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}

.

1.Donner les coordonnées de

\text A

,

\text G

,

\text I

,

\text J

et

\text K

dans ce repère.

2.Déterminer les coordonnées des vecteurs

\overrightarrow{\text I\text J}

,

\overrightarrow{\text J\text K}

et

\overrightarrow{\text I\text K}

.

3.Calculer les distances

\text I\text J

,

\text J\text K

et

\text I\text K

. En déduire la nature du triangle

\mathrm{IJK}

.

Exercice 2

L'espace est muni d'un repère orthonormé

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

.

On donne les points

\text A(5~;~1~;~3)

,

\text B(5~;-3~;-1)

,

\text C(1~;~1~;-1)

et

\text D(1~;-3~;~3)

.
Un tétraèdre est dit régulier lorsque toutes ses faces sont des triangles équilatéraux.
Démontrer que le tétraèdre

\text A\text B\text C\text D

est régulier.

Nature d'un quadrilatère

Exercice 1
L'espace est muni d'un repèreorthonormé

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

. On donne les points

\text A(0~;~5~;~5)

,

\text B(-1~;~3~;0)

,

\text C(-3~;~2~;~4)

et

\text D(4~;~7~;-3)

.

1.Démontrer que les droites

(\text A\text B)

et

(\text C\text D)

sont coplanaires.
2. Quelle est la nature du quadrilatère

\text A\text D\text B\text C

?

Exercice 2

L'espace est muni d'un repèreorthonormé

\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)

. On donne les points

\text A(3~;~0~;~4)

,

\text B(2~;~3~;~1)

,

\text C(-1~;~2~;~3)

et

\text D(0~;-1~;~6)

.

1.Justifier que ces quatre points sont coplanaires.
2.Quelle est la nature du quadrilatère

\text A\text B\text C\text D

?