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\(\mathrm{\overrightarrow{FD}}\)

Sommaire

Décomposition d'un vecteur de l'espaceDans un cubeDans un parallélépipède rectangleDans un tétraèdre
Repérage dans l'espaceCalculs des coordonnées d'un vecteurVecteurs coplanaires, points coplanairesColinéarité de vecteurs et alignement de pointsCalculs des coordonnées du milieu d'un segment
Produit scalaire dans l'espaceCalcul d'angle (1)Calcul d'angle (2)Produit scalaire dans un tétraèdre régulier
Dans un repère orthonormé
Orthogonalité, vecteur normal à un plan☛ Montrer que deux droites sont perpendiculairesPosition relative d'une droite et d'un planDéterminer un vecteur normal à un plan
Distances dans l'espaceCalculs de distancesNature d'un triangleNature d'un quadrilatère

Décomposition d'un vecteur de l'espace

Dans un cube

Exercice 1
On considère un cube
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
.
Exprimer les vecteurs
FD→\mathrm{\overrightarrow{FD}}FD
,
BH→\mathrm{\overrightarrow{BH}}BH
et
GA→\mathrm{\overrightarrow{GA}}GA
 en fonction des vecteurs
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
,
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
et
AE→\mathrm{\overrightarrow{AE}}AE
.
Exercice 2
On considère un cube
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
.
    • Soit
I\mathrm{I}I
  le milieu du segment 
[AE]\mathrm{[AE]}[AE]
.
    • Soit
J\mathrm{J}J
le milieu du segment
[BC]\mathrm{[BC]}[BC]
.
    • Soit
K\mathrm{K}K
le milieu du segment
[HF]\mathrm{[HF]}[HF]
.
Exprimer les vecteurs
IK→\mathrm{\overrightarrow{IK}}IK
,
IJ→\mathrm{\overrightarrow{IJ}}IJ
et
KJ→\mathrm{\overrightarrow{KJ}}KJ
en fonction des vecteurs
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
,
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
et
AE→\mathrm{\overrightarrow{AE}}AE
.
Exercice 3
On considère un cube
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
.
Soit
M\mathrm{M}M
le milieu du segment
[EH]\mathrm{[EH]}[EH]
,
N\mathrm{N}N
le milieu du segment
[FC]\mathrm{[FC]}[FC]
et
P\mathrm{P}P
le point tel que
HP→=14HG→\mathrm{\overrightarrow{HP}=\dfrac14\overrightarrow{HG}}HP=41​HG
.
Exprimer les vecteurs
MP→\mathrm{\overrightarrow{MP}}MP
,
PN→\mathrm{\overrightarrow{PN}}PN
et
MN→\mathrm{\overrightarrow{MN}}MN
en fonction des vecteurs
AB→\mathrm{\overrightarrow{AB}}AB
,
AD→\mathrm{\overrightarrow{AD}}AD
et
AE→\mathrm{\overrightarrow{AE}}AE
.

Dans un parallélépipède rectangle

Exercice 1
Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un parallélépipède rectangle.
On appelle
I\mathrm{I}I
,
J\mathrm{J}J
et
P\mathrm{P}P
les milieux respectifs des segments
[CD]\mathrm{[CD]}[CD]
, 
[EF]\mathrm{[EF]}[EF]
et
[AB]\mathrm{[AB]}[AB]
.
Soit
Q\mathrm{Q}Q
le point défini par
AQ→=13AD→\mathrm{\overrightarrow{AQ}=\dfrac13\overrightarrow{AD}}AQ​=31​AD
.
Exprimer les vecteurs
AG→\mathrm{\overrightarrow{AG}}AG
,
IJ→\mathrm{\overrightarrow{IJ}}IJ
et
PH→\mathrm{\overrightarrow{PH}}PH
en fonction des vecteurs
AP→\mathrm{\overrightarrow{AP}}AP
,
AQ→\mathrm{\overrightarrow{AQ}}AQ​
et
AE→\mathrm{\overrightarrow{AE}}AE
.
Exercice 2
On considère le pavé droit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
ci-dessous.
Soit 
I\mathrm{I}I
, 
J\mathrm{J}J
 et
K\mathrm{K}K
les points tels que
AI→=16AB→\mathrm{\overrightarrow{AI} = \dfrac16\overrightarrow{AB}}AI=61​AB
, \(\mathrm{\overrightarrow{AJ}= \dfrac14\overrightarrow{AD}}\) et 
AK→=12AE→\mathrm{\overrightarrow{AK}=\dfrac12\overrightarrow{AE}}AK=21​AE
.
Exprimer les vecteurs
GE→\mathrm{\overrightarrow{GE}}GE
,
FD→\mathrm{\overrightarrow{FD}}FD
et
BF→\mathrm{\overrightarrow{BF}}BF
en fonction des vecteurs
AI→\mathrm{\overrightarrow{AI}}AI
,
AJ→\mathrm{\overrightarrow{AJ}}AJ
et
AK→\mathrm{\overrightarrow{AK}}AK
.

Dans un tétraèdre

Exercice 1
On considère une pyramide \(\mathrm{SABCE}\)à base carrée
ABCE\mathrm{ABCE}ABCE
de centre
O\mathrm{O}O
.
Le point
\text D
D\text DD
appartient au segment
[OS]\mathrm{[OS]}[OS]
et vérifie : 
OA=OB=OD\mathrm{OA = OB = OD}OA=OB=OD
.
Le point \(\text S\)est tel que 
OS→=3OD→\mathrm{\overrightarrow{OS}=3\overrightarrow{OD}}OS=3OD
(proportion non respectée sur le schéma ci-dessous). 
Exprimer les vecteurs
AS→\mathrm{\overrightarrow{AS}}AS
et
SE→\mathrm{\overrightarrow{SE}}SE
en fonction des vecteurs
OA→\mathrm{\overrightarrow{OA}}OA
,
OB→\mathrm{\overrightarrow{OB}}OB
et
OD→\mathrm{\overrightarrow{OD}}OD
.
Exercice 2
On considère unepyramide régulière 
SABCD\mathrm{SABCD}SABCD
de sommet
S\mathrm{S}S
dont la base est le carré
ABCD\mathrm{ABCD}ABCD
et dont les faces sont des triangles équilatéraux.  
On note
O\mathrm{O}O
le centre du carré
ABCD\mathrm{ABCD}ABCD
avec
OB=1\mathrm{OB=1}OB=1
.
1.Justifier que
OS=1\mathrm{OS = 1}OS=1
.
2.Soit
K\mathrm{K}K
le point défini par
SK→=13SA→\mathrm{\overrightarrow{SK}=\dfrac13\overrightarrow{SA}}SK=31​SA
. On note
I\mathrm{I}I
le milieu du segment
[SO]\mathrm{[SO]}[SO]
.
Exprimer le vecteur 
KI→\mathrm{\overrightarrow{KI}}KI
en fonction des vecteurs
OC→\mathrm{\overrightarrow{OC}}OC
,
OD→\mathrm{\overrightarrow{OD}}OD
et
OS→\mathrm{\overrightarrow{OS}}OS
.

Repérage dans l'espace

Calculs des coordonnées d'un vecteur

L'espace est rapporté à un repère
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Dans chaque cas, calculer les coordonnées du vecteur 
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
.
1.
A(−1 ; 4 ;−4)\text A(-1~;~ 4~; -4)A(−1 ; 4 ;−4)
 et
B(5 ;−3 ; 1)\text B(5~; -3~;~ 1)B(5 ;−3 ; 1)
2.
A(−5 ; 3 ;−3)\text A(-5~;~ 3~; -3)A(−5 ; 3 ;−3)
 et
B(2 ; 3 ;−1)\text B(2~;~ 3~; -1)B(2 ; 3 ;−1)
3.
A(0 ;−2 ; 1)\text A(0~; -2~;~ 1)A(0 ;−2 ; 1)
 et
B(2 ; 3 ;−2)\text B(2~;~ 3~; -2)B(2 ; 3 ;−2)
4.
A(3 ; 5 ; 5)\text A(3~;~ 5~;~ 5)A(3 ; 5 ; 5)
 et
B(−2 ; 5 ; 5)\text B(-2~;~ 5~;~ 5)B(−2 ; 5 ; 5)
5.
A(−1 ;−1 ; 3)\text A(-1~; -1~;~ 3)A(−1 ;−1 ; 3)
et
B(5 ; 2 ; 5)\text B(5~;~ 2~;~ 5)B(5 ; 2 ; 5)
6.
A(1 ;−1 ; 1)\text A(1~; -1~;~ 1)A(1 ;−1 ; 1)
et
B(−4 ;−2 ;−5)\text B(-4~; -2~; -5)B(−4 ;−2 ;−5)
7.
A(5 ;−2 ;−1)\text A(5~; -2~; -1)A(5 ;−2 ;−1)
et
B(2 ;−4 ;−4)\text B(2~; -4~; -4)B(2 ;−4 ;−4)
8.
A(3 ; 3 ; 4)\text A(3~;~ 3~;~ 4)A(3 ; 3 ; 4)
et
B(0 ;−2 ;−4)\text B(0~; -2~; -4)B(0 ;−2 ;−4)
9.
A(−5 ;−3 ; 3)\text A(-5~; -3~;~ 3)A(−5 ;−3 ; 3)
et
B(−4 ;−3 ; 4)\text B(-4~; -3~; ~4)B(−4 ;−3 ; 4)
10.
A(−2 ;−3 ;−3)\text A(-2~; -3~; -3)A(−2 ;−3 ;−3)
 et
B(3 ; 0 ;−1)\text B(3~;~ 0~; -1)B(3 ; 0 ;−1)

Vecteurs coplanaires, points coplanaires

Exercice 1
Soit une base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
 de l'espace. Soit les vecteurs 
u→(232)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\3\\2\\ \end{pmatrix}u​232​​
, 
v→(−132)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} -1\\3\\2\\ \end{pmatrix}v​−132​​
 et 
w→(143)\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 1\\4\\3\\ \end{pmatrix}w​143​​
.
Ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ?
Exercice 2
Soit une base
(i→,j→,k→)\left(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(i,j​,k)
 de l'espace. Soit les vecteurs 
u→(−3−52)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -3\\-5\\2\\ \end{pmatrix}u​−3−52​​
, 
v→(02−2)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 0\\2\\-2\\ \end{pmatrix}v​02−2​​
et 
w→(13−2)\overrightarrow{w}\begin{pmatrix} 1\\3\\-2\\ \end{pmatrix}w​13−2​​
. Ces trois vecteurs sont-ils coplanaires ?
Exercice 3
Soit un repère 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
de l'espace. Soit les points
A(1 ; 2 ; 3)\text A(1~;~2~;~3)A(1 ; 2 ; 3)
,
B(−−3 ; 5 ; 2)\text B(--3~;~5~;~2)B(−−3 ; 5 ; 2)
,
C(3 ; 1 ; 1)\text C(3~;~1~;~1)C(3 ; 1 ; 1)
et
D(9 ; 0 ;−−15)\text D(9~;~0~;--15)D(9 ; 0 ;−−15)
. Ces quatre points sont-ils coplanaires ?
Exercice 4
Soit un repère 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
de l'espace. Soit les points
A(1 ; 2 ; 3)\text A(1~;~2~;~3)A(1 ; 2 ; 3)
,
B(−−1 ; 5 ; 4)\text B(--1~;~5~;~4)B(−−1 ; 5 ; 4)
,
C(0 ; 5 ; 1)\text C(0~;~5~;~1)C(0 ; 5 ; 1)
et
D(2 ;−4 ; 2)\text D(2~;-4~;~2)D(2 ;−4 ; 2)
. Ces quatre points sont-ils coplanaires ?

Colinéarité de vecteurs et alignement de points

L'espace est rapporté à un repère
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. Dans chaque cas, déterminer si les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
définissent un plan.
1.
A(−1 ; 4 ;−4)\text A(-1~;~ 4~; -4)A(−1 ; 4 ;−4)
,
B(5 ;−3 ; 1)\text B(5~; -3~;~ 1)B(5 ;−3 ; 1)
et
C(−5 ; 3 ;−3)\text C(-5~;~ 3~; -3)C(−5 ; 3 ;−3)
.
2.
A(2 ; 3 ;−1)\text A(2~;~ 3~; -1)A(2 ; 3 ;−1)
,
B(0 ;−2 ; 1)\text B(0~; -2~;~ 1)B(0 ;−2 ; 1)
 et
C(8 ; 18 ;−7)\text C(8~; ~18~; -7)C(8 ; 18 ;−7)
.
3.
A(2 ; 3 ;−2)\text A(2~;~ 3~; -2)A(2 ; 3 ;−2)
, 
B(3 ; 5 ; 5)\text B(3~;~ 5~;~ 5)B(3 ; 5 ; 5)
et
C(−2 ; 5 ; 5)\text C(-2~;~ 5~;~ 5)C(−2 ; 5 ; 5)
.
4.
A(−1 ;−1 ; 3)\text A(-1~; -1~;~ 3)A(−1 ;−1 ; 3)
,
B(5 ; 2 ; 5)\text B(5~;~ 2~;~ 5)B(5 ; 2 ; 5)
et
C(−7 ;−4 ; 1)\text C(-7~; -4~;~ 1)C(−7 ;−4 ; 1)
.
5.
A(1 ;−1 ;−1)\text A(1~; -1~; -1)A(1 ;−1 ;−1)
,
B(−4 ;−2 ;−5)\text B(-4~; -2~; -5)B(−4 ;−2 ;−5)
et
C(5 ;−2 ;−1)\text C(5~; -2~; -1)C(5 ;−2 ;−1)
.
6.
A(2 ;−4 ;−4)\text A(2~; -4~; -4)A(2 ;−4 ;−4)
,
B(3 ; 3 ; 4)\text B(3~; ~3~;~ 4)B(3 ; 3 ; 4)
et
C(3,5 ; 6,5 ; 8)\text C(3{,}5~;~ 6{,}5~;~ 8)C(3,5 ; 6,5 ; 8)
.
7.
A(13 ; 15 ; 17)\text A\left(\dfrac13~;~ \dfrac15~;~ \dfrac17\right)A(31​ ; 51​ ; 71​)
,
B(15 ; 17 ; 13)\text B\left(\dfrac15~;~ \dfrac17~;~ \dfrac13\right)B(51​ ; 71​ ; 31​)
et
C(17 ; 13 ; 15)\text C\left(\dfrac17~;~ \dfrac13~;~ \dfrac15\right)C(71​ ; 31​ ; 51​)
.

Calculs des coordonnées du milieu d'un segment

L'espace est rapporté à un repère 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. Dans chaque cas, calculer les coordonnées du point
I\text II
, milieu du segment
[AB][\text A\text B][AB]
.
1.
A(−1 ; 4 ;−4)\text A(-1~;~ 4~; -4)A(−1 ; 4 ;−4)
et
B(5 ;−3 ; 1)\text B(5~; -3~;~ 1)B(5 ;−3 ; 1)
2.
A(−5 ; 3 ;−3)\text A(-5~;~ 3~; -3)A(−5 ; 3 ;−3)
et
B(2 ; 3 ;−1)\text B(2~;~ 3~; -1)B(2 ; 3 ;−1)
3.
A(0 ;−2 ; 1)\text A(0~; -2~;~ 1)A(0 ;−2 ; 1)
et
B(2 ; 3 ;−2)\text B(2~;~ 3~; -2)B(2 ; 3 ;−2)
4.
A(3 ; 5 ; 5)\text A(3~;~ 5~;~ 5)A(3 ; 5 ; 5)
 et
B(−2 ; 5 ; 5)\text B(-2~;~ 5~;~ 5)B(−2 ; 5 ; 5)
5.
A(−1 ;−1 ; 3)\text A(-1~; -1~;~ 3)A(−1 ;−1 ; 3)
et
B(5 ; 2 ; 5)\text B(5~;~ 2~;~ 5)B(5 ; 2 ; 5)
6.
A(1 ;−1 ; 1)\text A(1~; -1~;~ 1)A(1 ;−1 ; 1)
et
B(−4 ;−2 ;−5)\text B(-4~; -2~; -5)B(−4 ;−2 ;−5)
7.
A(5 ;−2 ;−1)\text A(5~; -2~; -1)A(5 ;−2 ;−1)
et
B(2 ;−4 ;−4)\text B(2~; -4~; -4)B(2 ;−4 ;−4)
8.
A(3 ; 3 ; 4)\text A(3~;~ 3~;~ 4)A(3 ; 3 ; 4)
et
B(0 ;−2 ;−4)\text B(0~; -2~; -4)B(0 ;−2 ;−4)
9.
A(−5 ;−3 ; 3)\text A(-5~; -3~;~ 3)A(−5 ;−3 ; 3)
et
B(−4 ;−3 ; 4)\text B(-4~; -3~;~ 4)B(−4 ;−3 ; 4)
10.
A(−2 ;−3 ;−3)\text A(-2~; -3~; -3)A(−2 ;−3 ;−3)
 et
B(3 ; 0 ;−1)\text B(3~;~ 0~; -1)B(3 ; 0 ;−1)

Produit scalaire dans l'espace

Calcul d'angle (1)

L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube d'arête
111
.
1.Calculer le produit scalaire 
AE→⋅DF→\mathrm{\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{DF}}AE⋅DF
.
2.En déduire une mesure, au dixième de degré près, de l'angle \(\widehat {\text {HDF}}\).

Calcul d'angle (2)

Soit
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un parallélépipède rectangle avec \(\mathrm{AB=8}\), 
AD=3\mathrm{AD=3}AD=3
 et 
AE=5\mathrm{AE=5}AE=5
.
On se place dans le repère orthonormé 
(A ;i→,j→,k→)\left(\text A~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(A ;i,j​,k)
 avec 
i→=18AB→\overrightarrow{i}=\dfrac18\mathrm{\overrightarrow{AB}}i=81​AB
, 
j→=13AD→\overrightarrow{j}=\dfrac13\mathrm{\overrightarrow{AD}}j​=31​AD
 et 
k→=15AE→\overrightarrow{k}=\dfrac15\mathrm{\overrightarrow{AE}}k=51​AE
 (non représentés ci-dessus).
1.Calculer 
IA→⋅ID→\mathrm{\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{ID}}IA⋅ID
.
2.En déduire une mesure en degrés de l'angle 
AID^\mathrm{\widehat{AID}}AID
, arrondie au dixième.

Produit scalaire dans un tétraèdre régulier

Soit
ABCD\mathrm{ABCD}ABCD
un tétraèdre régulier d'arête de longueur
aaa
 : chaque face est un triangle équilatéral de côté de longueur
aaa
. 
1.Calculer
AB→⋅AC→\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}AB⋅AC
 et 
AB→⋅AD→\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}}AB⋅AD
.
2.En déduire
AB→⋅CD→\mathrm{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{CD}}AB⋅CD
. 
3.Que peut-on dire des droites 
(AB)\mathrm{(AB)}(AB)
 et 
(CD)\mathrm{(CD)}(CD)
 ?

Dans un repère orthonormé

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. On donne les points
A(1 ; 0 ; 0)\text A(1~;~0~;~0)A(1 ; 0 ; 0)
,
B(0 ; 1 ; 0)\text B(0~;~1~;~0)B(0 ; 1 ; 0)
,
C(0 ; 0 ; 1)\text C(0~;~0~;~1)C(0 ; 0 ; 1)
,
D(0 ; 2 ; 0)\text D(0~;~2~;~0)D(0 ; 2 ; 0)
et
E(1 ; 1 ; 1)\text E(1~;~1~;~1)E(1 ; 1 ; 1)
.
1.Soit
M\text MM
le milieu du segment
[AB][\text A\text B][AB]
. Justifier que
M(12 ; 12 ; 0)\text M\left(\dfrac12~;~\dfrac12~;~0\right)M(21​ ; 21​ ; 0)
.
2. Calculer les produits scalaires suivants.
    a.
AB→⋅AC→\overrightarrow{\text A\text B} \cdot \overrightarrow{\text A\text C}AB⋅AC
    b.
AE→⋅AD→\overrightarrow{\text A\text E}\cdot \overrightarrow{\text A\text D}AE⋅AD
    c.
OE→⋅CM→\overrightarrow{\text O\text E}\cdot \overrightarrow{\text C\text M}OE⋅CM
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. On donne les points
A(4 ; 1 ;−2)\text A(4~;~1~;-2)A(4 ; 1 ;−2)
,
B(−1 ; 2 ; 4)\text B(-1~;~2~;~4)B(−1 ; 2 ; 4)
,
C(0 ; 2 ;−5)\text C(0~;~2~;-5)C(0 ; 2 ;−5)
et
D(1 ;−2 ;−72)\text D\left(1~;-2~;-\dfrac72\right)D(1 ;−2 ;−27​)
.
Soit
M\text MM
le milieu du segment
[AB][\text A\text B][AB]
.
Calculer les produits scalaires suivants.
1.
AB→⋅AC→\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C}AB⋅AC
2.
AB→⋅CD→\overrightarrow{\text A\text B}\cdot \overrightarrow{\text C\text D}AB⋅CD
3.
DB→⋅AC→\overrightarrow{\text D\text B}\cdot \overrightarrow{\text A\text C}DB⋅AC
4.
MB→⋅CD→\overrightarrow{\text M\text B}\cdot \overrightarrow{\text C\text D}MB⋅CD

Orthogonalité, vecteur normal à un plan

☛ Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Énoncé
Dans un repère orthonormé de l'espace, soit 
A(5 ; 4 ; 0)\text A(5~;~4~;~0)A(5 ; 4 ; 0)
, 
B(4 ; 0 ;−6)\text B(4~;~0~;-6)B(4 ; 0 ;−6)
 et 
C(1 ; 2 ; 2)\text C(1~;~2~;~2)C(1 ; 2 ; 2)
. Justifier que le triangle 
ABC\text A\text B\text CABC
 est rectangle en 
A\text AA
.
Solution
On calcule les coordonnées des vecteurs 
AB→\overrightarrow{\text A\text B}AB
 et 
AC→\overrightarrow{\text A\text C}AC
 puis on vérifie que leur produit scalaire vaut
000
.
D'une part, 
AB→(−1−4−6)\overrightarrow{\text A\text B} \begin{pmatrix}-1\\-4\\-6\end{pmatrix}AB​−1−4−6​​
 et 
AC→(−4−22)\overrightarrow{\text A\text C} \begin{pmatrix}-4\\-2\\2\end{pmatrix}AC​−4−22​​
.
D'autre part, 
AB→⋅AC→=(−1)×(−4)+(−4)×(−2)+(−6)×2=4+8−12=0\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C} = (-1)\times (-4)+(-4)\times (-2)+(-6)\times 2=4+8-12=0AB⋅AC=(−1)×(−4)+(−4)×(−2)+(−6)×2=4+8−12=0
.
Conclusion: les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle
ABC\text A\text B\text CABC
 est rectangle en 
A\text AA
.

Position relative d'une droite et d'un plan

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Le plan
PPP
 passe par
A(1 ; 2 ; 1)\text A(1~;~2~;~1)A(1 ; 2 ; 1)
et est dirigé par 
u→(021)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}u​021​​
et
v→(11−1)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}v​11−1​​
.
La droite
ddd
passe par
B(−1 ; 0 ; 1)\text B(-1~;~0~;~1)B(−1 ; 0 ; 1)
et
C(3 ; 2 ; 4)\text C(3~;~2~;~4)C(3 ; 2 ; 4)
.
Quelle est la position relative de
ddd
par rapport à
PPP
?
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
ddd
une droite passant par un point
A(−1 ; 2 ; 3)\text A(-1~;~2~;~3)A(−1 ; 2 ; 3)
et de vecteur directeur
u→(10−2)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}u​10−2​​
.
Soit
PPP
un plan de vecteur normal
n→(111)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}n​111​​
.
Étudier la position relative de
ddd
et de
PPP
.

Déterminer un vecteur normal à un plan

L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. On donne
A(1 ; 2 ;−2)\text A(1~;~2~;-2)A(1 ; 2 ;−2)
,
B(−1 ; 3 ; 1)\text B(-1~;~3~;~1)B(−1 ; 3 ; 1)
et
C(2 ; 0 ;−2)\text C(2~;~0~;-2)C(2 ; 0 ;−2)
. Déterminer un vecteur normal au plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
.

Distances dans l'espace

Calculs de distances

L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Dans chaque cas, calculer la longueur
AB\text A \text BAB
.
1.
A(−1 ; 4 ;−4)\text A(-1~;~ 4~; -4)A(−1 ; 4 ;−4)
et
B(5 ;−3 ; 1)\text B(5~; -3~;~ 1)B(5 ;−3 ; 1)
2.
A(−5 ; 3;−3)\text A(-5~; ~3; -3)A(−5 ; 3;−3)
et
B(2 ; 3 ;−1)\text B(2~;~ 3~; -1)B(2 ; 3 ;−1)
3.
A(0 ;−2 ; 1)\text A(0~; -2~;~ 1)A(0 ;−2 ; 1)
et
B(2 ; 3 ;−2)\text B(2~;~ 3~; -2)B(2 ; 3 ;−2)
4.
A(3 ; 5 ; 5)\text A(3~; ~5~;~ 5)A(3 ; 5 ; 5)
 et
B(−2 ; 5 ; 5)\text B(-2~;~ 5~;~ 5)B(−2 ; 5 ; 5)
5.
A(−1 ;−1 ; 3)\text A(-1~; -1~;~ 3)A(−1 ;−1 ; 3)
et
B(5 ; 2 ; 5)\text B(5~;~ 2~;~ 5)B(5 ; 2 ; 5)
6.
A(1 ;−1 ; 1)\text A(1~; -1~;~ 1)A(1 ;−1 ; 1)
et
B(−4 ;−2 ;−5)\text B(-4~; -2~; -5)B(−4 ;−2 ;−5)
7.
A(5 ;−2 ;−1)\text A(5~; -2~; -1)A(5 ;−2 ;−1)
et
B(2 ;−4 ;−4)\text B(2~; -4~; -4)B(2 ;−4 ;−4)
8.
A(3 ; 3 ; 4)\text A(3~;~ 3~;~ 4)A(3 ; 3 ; 4)
et
B(0 ;−2 ;−4)\text B(0~; -2~; -4)B(0 ;−2 ;−4)
9.
A(−5 ;−3 ;3)\text A(-5~; -3~; 3)A(−5 ;−3 ;3)
et
B(−4 ;−3 ; 4)\text B(-4~; -3~;~ 4)B(−4 ;−3 ; 4)
10.
A(−2 ;−3 ;−3)\text A(-2~; -3~; -3)A(−2 ;−3 ;−3)
 et
B(3 ; 0 ;−1)\text B(3~;~ 0~; -1)B(3 ; 0 ;−1)

Nature d'un triangle

Exercice 1
Soit 
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube de côté
111
.
Le point
I\text II
est le milieu du segment
[BF]\mathrm{[BF]}[BF]
.
Le point
J\text JJ
est le milieu du segment
[BC]\mathrm{[BC]}[BC]
.
Le point
K\text KK
est le milieu du segment
[CD]\mathrm{[CD]}[CD]
.
L'espace est muni du repère
(A ;AB→,AD→,AE→)\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}(A ;AB,AD,AE)
.
1.Donner les coordonnées de
A\text AA
,
G\text GG
,
I\text II
,
J\text JJ
et
K\text KK
dans ce repère.
2.Déterminer les coordonnées des vecteurs
IJ→\overrightarrow{\text I\text J}IJ
,
JK→\overrightarrow{\text J\text K}JK
et
IK→\overrightarrow{\text I\text K}IK
.
3.Calculer les distances
IJ\text I\text JIJ
,
JK\text J\text KJK
et
IK\text I\text KIK
. En déduire la nature du triangle
IJK\mathrm{IJK}IJK
.
Exercice 2
L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On donne les points
A(5 ; 1 ; 3)\text A(5~;~1~;~3)A(5 ; 1 ; 3)
,
B(5 ;−3 ;−1)\text B(5~;-3~;-1)B(5 ;−3 ;−1)
, 
C(1 ; 1 ;−1)\text C(1~;~1~;-1)C(1 ; 1 ;−1)
et
D(1 ;−3 ; 3)\text D(1~;-3~;~3)D(1 ;−3 ; 3)
.
Un tétraèdre est dit régulier lorsque toutes ses faces sont des triangles équilatéraux.
Démontrer que le tétraèdre
ABCD\text A\text B\text C\text DABCD
est régulier.

Nature d'un quadrilatère

Exercice 1
L'espace est muni d'un repèreorthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. On donne les points
A(0 ; 5 ; 5)\text A(0~;~5~;~5)A(0 ; 5 ; 5)
,
B(−1 ; 3 ;0)\text B(-1~;~3~;0)B(−1 ; 3 ;0)
,
C(−3 ; 2 ; 4)\text C(-3~;~2~;~4)C(−3 ; 2 ; 4)
et
D(4 ; 7 ;−3)\text D(4~;~7~;-3)D(4 ; 7 ;−3)
.
1.Démontrer que les droites
(AB)(\text A\text B)(AB)
et
(CD)(\text C\text D)(CD)
sont coplanaires.
2. Quelle est la nature du quadrilatère
ADBC\text A\text D\text B\text CADBC
?
Exercice 2
L'espace est muni d'un repèreorthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. On donne les points
A(3 ; 0 ; 4)\text A(3~;~0~;~4)A(3 ; 0 ; 4)
,
B(2 ; 3 ; 1)\text B(2~;~3~;~1)B(2 ; 3 ; 1)
, 
C(−1 ; 2 ; 3)\text C(-1~;~2~;~3)C(−1 ; 2 ; 3)
et
D(0 ;−1 ; 6)\text D(0~;-1~;~6)D(0 ;−1 ; 6)
.
1.Justifier que ces quatre points sont coplanaires.
2.Quelle est la nature du quadrilatère
ABCD\text A\text B\text C\text DABCD
 ?