On considère le prisme droit
, de base
, trapèze rectangle en
.
On associe à ce prisme le repère orthonormé
tel que :
.
De plus, on a
. On note
le milieu du segment
et
le milieu du segment
.
1. Donner les coordonnées des points
,
et
.
2. Soit
le vecteur de coordonnées
. Montrer que le vecteur
est normal au plan
.
On note
le projeté orthogonal du point
sur le plan
. On admet que les coordonnées de
sont
.
3. Calculer la distance du point
au plan
.
4. Montrer que le triangle
est rectangle en
.
5. En déduire le volume du tétraèdre
.
Centres étrangers, mars 2023, sujet 2 (adapté)
La figure ci-dessous correspond à la maquette d'un projet architectural.
Il s'agit d'une maison de forme cubique
accolée à un garage de forme cubique
où
est le milieu du segment
et
est le milieu du segment
.
Le garage est surmonté d'un toit de forme pyramidale
de base carrée
et de sommet
positionné sur la façade de la maison.
On munit l'espace du repère orthonormé
, avec
et
.
1.Par lecture graphique, donner les coordonnées des points
,
et
.
L'architecte place le point
à l’intersection de la droite
et du plan
. On admet que les coordonnées de
sont
.
2.a. Calculer le produit scalaire
.b. Calculer la distance
.
On admet que la distance
est égale à
.c. Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l'angle
ne dépasse pas
. Le toit pourra-t-il être construit ?
Asie, mars 2023, sujet 2 (adapté)
On considère deux cubes
et
positionnés comme sur la figure suivante.
Le point
est le milieu de
.
Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé
.
Ainsi, par exemple, les points
,
et
ont pour coordonnées
,
et
.
1. Montrer que le volume du tétraèdre
est égal à
d'unité de volume.
On rappelle que le volume
d'un tétraèdre est donné par la formule :
.
2. Déterminer les coordonnées du point
.
3. Montrer que le vecteur
un vecteur normal au plan
.
On considère la droite
, orthogonale à
et passant par
. Elle coupe le plan
au point
de coordonnées
.
4.a. Calculer la longueur
.b. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle
.
Amérique du Nord, mars 2023, sujet 1 (adapté) QCM
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Les trois questions sont indépendantes.
L'espace est muni d'un repère orthonormé
.
On considère les points
,
,
et
.
On admet que les points
,
et
ne sont pas alignés.
1.
est un triangle :a.isocèle rectangle en
b.isocèle rectangle en
c.isocèle rectangle en
d.équilatéral
2. Un vecteur normal
au plan
a pour coordonnées :a.
b.
c.
d.
3. On appelle
le projeté orthogonal du point
sur le plan
. On peut affirmer que :a.
b.
c.
d.