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Les perles du BAC

On considère le prisme droit

Sommaire

Centres étrangers, mars 2023, sujet 1 (adapté)Centres étrangers, mars 2023, sujet 2 (adapté)Asie, mars 2023, sujet 2 (adapté)Amérique du Nord, mars 2023, sujet 1 (adapté) QCM

Centres étrangers, mars 2023, sujet 1 (adapté)

On considère le prisme droit
ABFEDCGH\mathrm{ABFEDCGH}ABFEDCGH
, de base
ABFE\mathrm{ABFE}ABFE
, trapèze rectangle en
A\text AA
.
On associe à ce prisme le repère orthonormé
(A ;ı→,ȷ→,k→)\left(\text{A}~;\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right)(A ;,​,k)
tel que :
ı→=14AB→,ȷ→=14AD→,k→=18AE→\overrightarrow{\imath} = \dfrac14\overrightarrow{\text{AB}}, \quad \overrightarrow{\jmath} = \dfrac14\overrightarrow{\text{AD}}, \quad \overrightarrow{k} = \dfrac18\overrightarrow{\text{AE}}=41​AB,​=41​AD,k=81​AE
.
De plus, on a
BF→=12AE→\overrightarrow{\text{BF}} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AE}}BF=21​AE
. On note
I\text II
le milieu du segment
[EF]\mathrm{[EF]}[EF]
et 
J\text JJ
le milieu du segment
[AE]\mathrm{[AE]}[AE]
.
1. Donner les coordonnées des points 
H\text HH
, 
I\text II
et
J\text JJ
.
2. Soit
n→\overrightarrow{n}n
le vecteur de coordonnées
(−111)\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}​−111​​
. Montrer que le vecteur 
n→\overrightarrow{n}n
est normal au plan
(IGJ)\mathrm{(IGJ)}(IGJ)
.
On note
L\text LL
le projeté orthogonal du point
H\text HH
sur le plan
(IGJ)\mathrm{(IGJ)}(IGJ)
. On admet que les coordonnées de
L\text LL
sont
(83 ; 43 ; 163)\left(\dfrac83~;~ \dfrac43~;~\dfrac{16}{3}\right)(38​ ; 34​ ; 316​)
.
3. Calculer la distance du point
H\text HH
au plan
(IGJ)\mathrm{(IGJ)}(IGJ)
.
4. Montrer que le triangle
IGJ\mathrm{IGJ}IGJ
est rectangle en
I\text II
.
5. En déduire le volume du tétraèdre
IGJH\mathrm{IGJH}IGJH
.

Centres étrangers, mars 2023, sujet 2 (adapté)

La figure ci-dessous correspond à la maquette d'un projet architectural. 
Il s'agit d'une maison de forme cubique
(ABCDEFGH)\mathrm{(ABCDEFGH)}(ABCDEFGH)
accolée à un garage de forme cubique
(BIJKLMNO)\mathrm{(BIJKLMNO)}(BIJKLMNO)
où 
L\text LL
 est le milieu du segment
[BF]\mathrm{[BF]}[BF]
et
K\text KK
est le milieu du segment
[BC]\mathrm{[BC]}[BC]
.
Le garage est surmonté d'un toit de forme pyramidale 
(LMNOP)\mathrm{(LMNOP)}(LMNOP)
 de base carrée
LMNO\mathrm{LMNO}LMNO
et de sommet
P\text PP
positionné sur la façade de la maison.
On munit l'espace du repère orthonormé
(A ; ı→, ȷ→, k→)\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~\overrightarrow{k}\right)(A ; , ​, k)
, avec
ı→=12AB→, ȷ→=12AD→\overrightarrow{\imath} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\jmath} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AD}}=21​AB, ​=21​AD
et
k→=12AE→\overrightarrow{k} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AE}}k=21​AE
.
1.Par lecture graphique, donner les coordonnées des points
H\text HH
,
M\text MM
et
N\text NN
.
L'architecte place le point
P\text PP
à l’intersection de la droite
(HM)\mathrm{(HM)}(HM)
et du plan
(BCF)\mathrm{(BCF)}(BCF)
. On admet que les coordonnées de 
P\text PP
 sont
(2 ; 23 ; 43)\left(2~;~\dfrac23~;~\dfrac43\right)(2 ; 32​ ; 34​)
.
2.a. Calculer le produit scalaire
PM→⋅PN→\overrightarrow{\text{PM}} \cdot \overrightarrow{\text{PN}}PM⋅PN
.b. Calculer la distance
PM\mathrm{PM}PM
.
On admet que la distance
PN\mathrm{PN}PN
est égale à
113\dfrac{\sqrt{11}}{3}311​​
.c. Pour satisfaire à des contraintes techniques, le toit ne peut être construit que si l'angle
MPN^\widehat{\text{MPN}}MPN
ne dépasse pas
55∘55^\circ55∘
. Le toit pourra-t-il être construit ?

Asie, mars 2023, sujet 2 (adapté)

On considère deux cubes
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
 et
BKLCFJMG\mathrm{BKLCFJMG}BKLCFJMG
positionnés comme sur la figure suivante.
Le point
I\text II
est le milieu de
[EF]\mathrm{[EF]}[EF]
.
Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé
(A ; AB→ ; AD→ ; AE→)\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}~;~\overrightarrow{\text{AE}}\right)(A ; AB ; AD ; AE)
.
Ainsi, par exemple, les points
F\text FF
,
G\text GG
et
J\text JJ
ont pour coordonnées 
F(1 ; 0 ; 1)\text F(1~;~0~;~1)F(1 ; 0 ; 1)
, 
G(1 ; 1 ; 1)\text G(1~;~1~;~1)G(1 ; 1 ; 1)
 et 
J(2 ; 0 ; 1)\text J(2~;~0~;~1)J(2 ; 0 ; 1)
.
1. Montrer que le volume du tétraèdre
FIGB\mathrm{FIGB}FIGB
est égal à
112\dfrac{1}{12}121​
 d'unité de volume.
On rappelle que le volume
VVV
d'un tétraèdre est donné par la formule :
V=13×aire d’une base×hauteur correspondanteV = \dfrac13 \times \text{aire d'une base} \times \text{hauteur correspondante}V=31​×aire d’une base×hauteur correspondante
.
2. Déterminer les coordonnées du point
I\text II
.
3. Montrer que le vecteur
DJ→\overrightarrow{\text{DJ}}DJ
un vecteur normal au plan
(BIG)\mathrm{(BIG)}(BIG)
.
On considère la droite
ddd
, orthogonale à
(BIG)\mathrm{(BIG)}(BIG)
et passant par 
F\text FF
. Elle coupe le plan
(BIG)\mathrm{(BIG)}(BIG)
au point
L\text LL
 de coordonnées
(23 ; 16 ; 56)\left(\dfrac23~;~\dfrac16~;~\dfrac56\right)(32​ ; 61​ ; 65​)
.
4.a. Calculer la longueur
FL\mathrm{FL}FL
.b. Déduire des questions précédentes l'aire du triangle
BIG\mathrm{BIG}BIG
.

Amérique du Nord, mars 2023, sujet 1 (adapté) QCM

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Les trois questions sont indépendantes.
L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On considère les points
A(−1 ; 2 ; 5)\text A(-1~;~2~;~5)A(−1 ; 2 ; 5)
,
B(3 ; 6 ; 3)\text B(3~;~6~;~3)B(3 ; 6 ; 3)
,
C(3 ; 0 ; 9)\text C(3~;~0~;~9)C(3 ; 0 ; 9)
 et
D(8 ;−3 ;−8)\text D(8~;-3~;-8)D(8 ;−3 ;−8)
. 
On admet que les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
ne sont pas alignés.
1.
ABC\mathrm{ABC}ABC
 est un triangle :a.isocèle rectangle en
A\text AA
b.isocèle rectangle en
B\text BB
c.isocèle rectangle en
C\text CC
d.équilatéral
2. Un vecteur normal
n→\overrightarrow nn
au plan 
(BCD)\mathrm{(BCD)}(BCD)
a pour coordonnées :a.
(2 ; 1 ; 1)(2~;~1~;~1)(2 ; 1 ; 1)
b.
(9 ;−5 ; 3)(9~;-5~;~3)(9 ;−5 ; 3)
c.
(4 ; 1 ; 1)(4~;~1~;~1)(4 ; 1 ; 1)
d.
(11 ; 0 ; 5)(11~;~0~;~5)(11 ; 0 ; 5)
3. On appelle
H\text{H}H
le projeté orthogonal du point
D\text{D}D
sur le plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
. On peut affirmer que :a.
H(−2 ; 17 ; 12)\text H(-2~;~17~;~12)H(−2 ; 17 ; 12)
b.
H(3 ; 7 ; 2)\text H(3~;~7~;~2)H(3 ; 7 ; 2)
c.
H(3 ; 2 ; 7)\text H(3~;~2~;~7)H(3 ; 2 ; 7)
d.
H(−15 ; 1 ;−1)\text H(-15~;~1~;-1)H(−15 ; 1 ;−1)