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L'espace est rapporté à un repère orthonormé 

Sommaire

Représentation paramétrique d'une droiteLire une représentation paramétrique de droiteDeterminer si un point appartient à une droiteDéterminer une représentation paramétrique de droiteÉtudier la position relative de deux droitesDans un cubePosition relative de deux droites
Équation cartésienne d'un planVérifier qu'un point appartient à un planDéterminer une équation cartésienne d'un plan 1Déterminer une équation cartésienne d'un plan 2Droites et plans (1)
Droites et plans (2)
Position relative de deux plans

Représentation paramétrique d'une droite

Lire une représentation paramétrique de droite

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
ddd
la droite de représentation paramétrique 
{x=4−3ty=−4−3tz=2+4t,t∈R\begin{cases} x = 4-3t \\ y = -4-3t \\ z = 2+4t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=4−3ty=−4−3tz=2+4t​,t∈R
.
Déterminer les coordonnées d'un point
A\text AA
et d'un vecteur directeur 
u→\overrightarrow{u}u
de
ddd
.
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
ddd
la droite de représentation paramétrique 
{x=2+3ty=−5z=−6+6t,t∈R\begin{cases} x = 2+3t \\ y = -5 \\ z = -6+6t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=2+3ty=−5z=−6+6t​,t∈R
.
Déterminer les coordonnées d'un point
A\text AA
et d'un vecteur directeur 
u→\overrightarrow{u}u
de
ddd
.
Exercice 3
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
ddd
la droite de représentation paramétrique 
{x=2+2ty=−2−4tz=5−5t,t∈R\begin{cases} x = 2+2t \\ y = -2-4t \\ z = 5-5t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=2+2ty=−2−4tz=5−5t​,t∈R
.
Déterminer les coordonnées :
    • du point
A\text AA
de 
ddd
, de paramètre
t=−5t=-5t=−5
,
    • du point
B\text BB
de 
ddd
, de paramètre
t=47t=\dfrac47t=74​
.
Exercice 4
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
ddd
la droite de représentation paramétrique 
{x=1−6ty=−2tz=−1+5t,t∈R\begin{cases} x = 1-6t \\ y = -2t \\ z = -1+5t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=1−6ty=−2tz=−1+5t​,t∈R
.
Déterminer les coordonnées :
    • du point
A\text AA
de 
ddd
, de paramètre
t=2t=2t=2
,
    • du point
B\text BB
 de 
ddd
, de paramètre
t=−35t=-\dfrac35t=−53​
.

Determiner si un point appartient à une droite

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
ddd
la droite de représentation paramétrique 
{x=−5−2ty=−6+3tz=−3t,t∈R\begin{cases} x = -5-2t \\ y = -6+3t \\ z = -3t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=−5−2ty=−6+3tz=−3t​,t∈R
.
1.Le point
A(−133 ;−7 ; 1)\text A\left(-\dfrac{13}{3}~;-7~;~1\right)A(−313​ ;−7 ; 1)
 appartient-il à
ddd
 ?
2.Le point
B(−9 ; 0 ; 6)\text B(-9~;~0~;~6)B(−9 ; 0 ; 6)
 appartient-il à
ddd
 ?
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
ddd
la droite de représentation paramétrique 
{x=4+2ty=5−tz=1+5t,t∈R\begin{cases} x = 4+2t \\ y = 5-t \\ z = 1+5t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=4+2ty=5−tz=1+5t​,t∈R
.
1.Le point
A(−2 ; 8 ; 14)\text A\left(-2~;~8~;~14\right)A(−2 ; 8 ; 14)
 appartient-il à
ddd
 ?
2.Le point
B(185 ; 265 ; 0)\text B\left(\dfrac{18}{5} ~;~ \dfrac{26}{5} ~;~ 0\right)B(518​ ; 526​ ; 0)
 appartient-il à
ddd
 ?

Déterminer une représentation paramétrique de droite

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On donne
A(5 ; 0 ;−1)\text A(5~;~0~;-1)A(5 ; 0 ;−1)
et\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 5\\4\\-2\\ \end{pmatrix}\).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite
ddd
passant par
A\text AA
et dirigée par
u→\overrightarrow{u}u
.
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On donne
A(−2 ; 6 ; 0)\text A(-2~;~6~;~0)A(−2 ; 6 ; 0)
et\(\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -4\\-2\\3\\ \end{pmatrix}\).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite
ddd
passant par
A\text AA
et dirigée par
u→\overrightarrow{u}u
.
Exercice 3
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On donne
A(6 ; 3 ;−5)\text A(6~;~3~;-5)A(6 ; 3 ;−5)
et
B(−2 ; 6 ; 4)\text B(-2~;~6~;~4)B(−2 ; 6 ; 4)
.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
.
Exercice 4
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On donne
A(3 ; 1 ; 6)\text A(3~;~1~;~6)A(3 ; 1 ; 6)
et
B(−1 ;−6 ;−6)\text B(-1~;-6~;-6)B(−1 ;−6 ;−6)
.
Déterminer une représentation paramétrique de la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
.

Étudier la position relative de deux droites

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
d1d_1d1​
 la droite de représentation paramétrique 
{x=1+ty=2−3tz=3−3t,t∈R\begin{cases} x = 1+t \\ y = 2-3t \\ z = 3-3t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=1+ty=2−3tz=3−3t​,t∈R
.
Soit
d2d_2d2​
la droite de représentation paramétrique 
{x=sy=−3−3sz=1−s,s∈R\begin{cases} x = s \\ y = -3-3s \\ z = 1-s \\ \end{cases}, s\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=sy=−3−3sz=1−s​,s∈R
.
Étudier la position relative des droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
. 
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
d1d_1d1​
 la droite de représentation paramétrique 
{x=−6−6ty=5+2tz=3t,t∈R\begin{cases} x = -6-6t \\ y = 5+2t \\ z = 3t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=−6−6ty=5+2tz=3t​,t∈R
.
Soit 
d2d_2d2​
la droite de représentation paramétrique 
{x=8−sy=13−6sz=s−4,s∈R\begin{cases} x = 8-s \\ y = 13-6s \\ z = s-4 \\ \end{cases}, s\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=8−sy=13−6sz=s−4​,s∈R
.
Étudier la position relative des droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
. 
Exercice 3
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
d1d_1d1​
 la droite de représentation paramétrique 
{x=1−3ty=1+tz=−3+2t,t∈R\begin{cases} x = 1-3t \\ y = 1+t \\ z = -3+2t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=1−3ty=1+tz=−3+2t​,t∈R
.
Soit
d2d_2d2​
la droite de représentation paramétrique 
{x=12sy=3−4sz=1−8s,s∈R\begin{cases} x = 12s \\ y = 3-4s \\ z = 1-8s \\ \end{cases}, s\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=12sy=3−4sz=1−8s​,s∈R
.
Étudier la position relative des droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
. 
Exercice 4
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
d1d_1d1​
 la droite de représentation paramétrique 
{x=2−4ty=4+2tz=1−6t,t∈R\begin{cases} x = 2-4t \\ y = 4+2t \\ z = 1-6t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=2−4ty=4+2tz=1−6t​,t∈R
.
Soit
d2d_2d2​
la droite de représentation paramétrique 
{x=2sy=5−sz=−2+3s,s∈R\begin{cases} x = 2s \\ y = 5-s \\ z = -2+3s \\ \end{cases}, s\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=2sy=5−sz=−2+3s​,s∈R
.
Étudier la position relative des droites
d1d_1d1​
et
d2d_2d2​
. 

Dans un cube

Soit un cube\(\mathrm{ABCDEFGH}\) d'arête
111
. Le point
I\text II
est le milieu de l'arête
[AE]\mathrm{[AE]}[AE]
.
On choisit le repère
(A ;AB→,AD→,AE→)\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}(A ;AB,AD,AE)
.
1. Donner une représentation paramétrique de la droite
(IG)\mathrm{(IG)}(IG)
.
2.Quelles sont les coordonnées du point
K\text KK
d'intersection de
(IG)\mathrm{(IG)}(IG)
avec le plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
 ?

Position relative de deux droites

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
La droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
est définie par
A(1 ;−1 ; 2)\text A(1~;-1~;~2)A(1 ;−1 ; 2)
et
B(2 ;−5 ; 9)\text B(2~;-5~;~9)B(2 ;−5 ; 9)
.
La droite 
ddd
a pour représentation paramétrique : 
{x=−ty=t−3z=−3t+3,t∈R\begin{cases} x = -t \\ y = t-3 \\ z = -3t+3 \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=−ty=t−3z=−3t+3​,t∈R
.
Étudier la position relative de
(AB)(\text A\text B)(AB)
et
ddd
.
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
La droite
d1d_1d1​
 passe par le point
A(2 ;−3 ; 5)\text A(2~;-3~;~5)A(2 ;−3 ; 5)
et a pour vecteur directeur
u→(121)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\2\\1\\ \end{pmatrix}u​121​​
.
La droite
d2d_2d2​
passe par le point
B(7 ; 2 ; 4)\text B(7~;~2~;~4)B(7 ; 2 ; 4)
et a pour vecteur directeur
v→(31−1)\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} 3\\1\\-1\\ \end{pmatrix}v​31−1​​
.
Étudier la position relative de ces deux droites.

Équation cartésienne d'un plan

Vérifier qu'un point appartient à un plan

L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
PPP
le plan d'équation
2x−y+3z−1=02x-y+3z-1=02x−y+3z−1=0
.
Vérifier que le plan 
PPP
 passe par les points
A(1 ; 7 ; 2)\text A(1~;~7~;~2)A(1 ; 7 ; 2)
,
B(3 ;−1 ;−2)\text B(3~;-1~;-2)B(3 ;−1 ;−2)
et
C(5 ; 0 ;−3)\text C(5~;~0~;-3)C(5 ; 0 ;−3)
.

Déterminer une équation cartésienne d'un plan 1

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Le point 
A\text AA
a pour coordonnées
A(2 ; 0 ; 1)\text A(2~;~0~;~1)A(2 ; 0 ; 1)
.
Déterminer une équation cartésienne du plan 
PPP
passant par
A\text AA
et de vecteur normal
OA→\overrightarrow{\text O\text A}OA
.
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On considère les points
A(1 ;−2 ; 3)\text A(1~;-2~;~3)A(1 ;−2 ; 3)
et
B(−1 ; 1 ; 0)\text B(-1~;~1~;~0)B(−1 ; 1 ; 0)
.
Trouver une équation cartésienne du plan
PPP
passant par
O\text OO
et perpendiculaire à la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
.
Exercice 3
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
. Dans chacun des cas, déterminer une équation cartésienne du plan
PPP
.
1.Le plan
PPP
est défini par
A(1 ; 0 ; 3)\text A(1~;~0~;~3)A(1 ; 0 ; 3)
et a pour vecteur normal\(\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1\\2\\-2\\ \end{pmatrix}\).
2.Le plan
PPP
est le planpassant par
B(1 ;−2 ; 3)\text B(1~;-2~;~3)B(1 ;−2 ; 3)
et parallèle au plan
P1P_1P1​
d'équation
2x−y+3z−1=02x-y+3z-1=02x−y+3z−1=0
.

Déterminer une équation cartésienne d'un plan 2

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On donne les points
A(−1 ; 0 ; 2)\text A(-1~;~0~;~2)A(−1 ; 0 ; 2)
,
B(1 ; 4 ; 0)\text B(1~;~4~;~0)B(1 ; 4 ; 0)
et
C(3 ;−4 ;−2)\text C(3~;-4~;-2)C(3 ;−4 ;−2)
.
1.Démontrer que
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
 définissent un plan
PPP
.
2. a. Démontrer que le vecteur
n→(10−1)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ -1\end{pmatrix}n​10−1​​
est normal au plan
PPP
.
    b.En déduire une équation cartésienne de
PPP
.
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
ont pour coordonnées
A(1 ;−2 ; 4)\text A(1~;-2~;~4)A(1 ;−2 ; 4)
,
B(−2 ;−6 ; 5)\text B(-2~;-6~;~5)B(−2 ;−6 ; 5)
et
C(−4 ; 0 ;−3)\text C(-4~;~0~;-3)C(−4 ; 0 ;−3)
.
1.Démontrer que les points
A\text AA
,
B\text BB
et
C\text CC
ne sont pas alignés.
2.On note alors
PPP
le plan
(ABC)\mathrm{(ABC)}(ABC)
.
    a.Déterminer un vecteur normal au plan
PPP
.
    b.En déduire une équation cartésienne de
PPP
.

Droites et plans (1)

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On donne les points
A(3 ;−2 ; 2)\text A(3~;-2~;~2)A(3 ;−2 ; 2)
et
B(6 ; 1 ; 5)\text B(6~;~1~;~5)B(6 ; 1 ; 5)
.
Démontrer que le plan
PPP
d'équation
x+y+z−3=0x+y+z-3=0x+y+z−3=0
passe par le point
A\text AA
et est perpendiculaire à la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
.
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
On considère la droite
ddd
dont une représentation paramétrique est 
{x=−1+ty=2z=3−2t,t∈R\begin{cases} x=-1+t\\ y=2\\ z=3-2t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=−1+ty=2z=3−2t​,t∈R
.
Soit
PPP
un plan qui a pour équation cartésienne
x+y+z−1=0x + y + z - 1=0x+y+z−1=0
.
Démontrer que
ddd
coupe
PPP
en un point
I\text II
dont on déterminera les coordonnées.

Droites et plans (2)

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Étudier la position relative de la droite
ddd
de représentation paramétrique 
{x=−8+2ty=7−tz=6+t,t∈R\begin{cases} x=-8+2t \\ y=7-t \\ z=6+t\\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=−8+2ty=7−tz=6+t​,t∈R
, et du plan
PPP
d’équation
2x+3y−z+4=02x +3y -z +4 = 02x+3y−z+4=0
.
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Le plan
PPP
a pour équation
2x−y+3z−2=02x-y+3z-2=02x−y+3z−2=0
. Soit
A(1 ; 2 ;−3)\text A(1~;~2~;-3)A(1 ; 2 ;−3)
et
B(−1 ; 2 ; 0)\text B(-1~;~2~;~0)B(−1 ; 2 ; 0)
 deux points.
1.Démontrer que la droite
(AB)(\text A\text B)(AB)
 et le plan
PPP
sont sécants.
2.Déterminer leur point d'intersection.
Exercice 3
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
ddd
la droite passant par
A(−1 ; 0 ; 1)\text A(-1~;~0~;~1)A(−1 ; 0 ; 1)
et
B(−5 ;−2 ; 7)\text B(-5~;-2~;~7)B(−5 ;−2 ; 7)
.
1.  Déterminer une représentation paramétrique de
ddd
.
2.On rappelle que le plan
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
est l'ensemble des points de coordonnées
(x ; y ; 0)(x~;~y~;~0)(x ; y ; 0)
avec
xxx
et
yyy
des nombres réels (c'est-à-dire l'ensemble des points de coordonnées
(x ; y ; z)(x~;~y~;~z)(x ; y ; z)
tels que
z=0z=0z=0
).
Quelle est l'intersection de la droite
ddd
avec le plan
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
 ?
Exercice 4
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
ddd
est la droite passant par
A(−1 ; 2 ; 0)\text A(-1~;~2~;~0)A(−1 ; 2 ; 0)
 et de vecteur directeur
u→(0−11)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 0\\-1\\1\\ \end{pmatrix}u​0−11​​
.
1.Donner une représentation paramétrique de
ddd
. 
2. Calculer les coordonnées des points d'intersection de 
ddd
avec les plans
(O ;i→,j→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)(O ;i,j​)
, 
(O ;i→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,k)
et
(O ;j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;j​,k)
.
Exercice 5
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
1.Démontrer que le plan
PPP
d’équation
2x−y+z−8=02x - y +z -8 = 02x−y+z−8=0
et la droite
ddd
passant par
A(3 ;−1 ; 0)\text A(3~;-1~;~0)A(3 ;−1 ; 0)
et
B(1 ; 1 ;−1)\text B(1~;~1~;-1)B(1 ; 1 ;−1)
se coupent en un point
I\text II
dont on déterminera les coordonnées.
2.Soit
PPP
le plan d’équation
3x+2y−z−6=03x +2y -z -6 = 03x+2y−z−6=0
. Quelles sont les coordonnées des points d’intersection de
PPP
avec les axes du repère?
Exercice 6
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
1. Démontrer que les points 
A(2 ; 1 ; 3)\text A(2~;~1~;~3)A(2 ; 1 ; 3)
,
B(−3 ;−1 ; 7)\text B(-3~;-1~;~7)B(−3 ;−1 ; 7)
et
C(3 ; 2 ; 4)\text C(3~;~2~;~4)C(3 ; 2 ; 4)
définissent un plan
PPP
.
2.
ddd
est la droite de représentation paramétrique 
{x=−7+2ty=−3tz=4+t,t∈R.\begin{cases} x=-7+2t \\ y=-3t \\ z=4+t\\ \end{cases}, t\in\mathbb R.⎩⎨⎧​x=−7+2ty=−3tz=4+t​,t∈R.
    a. Démontrer que
ddd
est orthogonale à
PPP
.b. Quelles sont les coordonnées du point
H\text HH
, intersection de 
ddd
et
PPP
?

Position relative de deux plans

Exercice 1
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit les plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
d'équations cartésiennes respectives
2x+4y+4z−3=02x+4y+4z-3=02x+4y+4z−3=0
et
2x−5y+4z−1=02x-5y+4z-1=02x−5y+4z−1=0
.
1.Démontrer que les plans 
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
 sont perpendiculaires.
2. Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection.
Exercice 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
1.Démontrer que les plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
d’équations cartésiennes respectives
x+y−z+2=0x + y - z +2 = 0x+y−z+2=0
et
3x+y+z+4=03x + y + z +4 = 03x+y+z+4=0
sont sécants.
2.Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection
∆∆∆
.
Exercice 3
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
1.Démontrer que les plans 
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
d’équations cartésiennes respectives 
x+2y−z+1=0x +2y - z +1 = 0x+2y−z+1=0
et
2x+3y−z+2=02x +3y - z +2 = 02x+3y−z+2=0
sont sécants.
2.Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection
Δ\DeltaΔ
.
Exercice 4
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
1.Démontrer que les plans 
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
d’équations cartésiennes respectives \(x-y-z=0\)et \(2x − y +2z = 0\)sont sécants.
2.Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection
Δ\DeltaΔ
.
Exercice 5
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifier la réponse.
« Les plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
d'équations cartésiennes respectives
x+2y−z+1=0x +2y - z +1 = 0x+2y−z+1=0
et 
2x+3y−z+2=02x +3y - z +2 = 02x+3y−z+2=0
sont sécants suivant la droite
∆∆∆
passant par 
A(−3 ; 2 ; 2)\text A(-3~;~2~;~2)A(−3 ; 2 ; 2)
et de vecteur directeur 
u→(−135)\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} -1\\3\\5\\ \end{pmatrix}u​−135​​
. »
Exercice 6
L'espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Les plans
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
ont pour équations cartésiennes respectives 
x+y−3z+3=0x + y -3z +3 = 0x+y−3z+3=0
et
x−2y+6z=0x -2y +6z = 0x−2y+6z=0
.
1.Démontrer que
P1P_1P1​
et
P2P_2P2​
sont sécants suivant une droite
ddd
de représentation paramétrique 
{x=−2y=−1+3tz=t,t∈R\begin{cases}x=-2\\ y=-1+3t\\ z=t\\ \end{cases}, t\in\mathbb R⎩⎨⎧​x=−2y=−1+3tz=t​,t∈R
.
2.Démontrer que la droite
ddd
et le plan
ΠΠΠ
d’équation
2x−y+2z+2=02x - y +2z +2 = 02x−y+2z+2=0
sont sécants et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.