On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire au segment et passant par son milieu.
1.Soit
le milieu du segment
et
le plan médiateur de
. Soit
un point quelconque de
. Démontrer que les triangles
et
sont rectangles.
2.En déduire que
. On a donc démontré que tout point d'un plan médiateur est équidistant des extrémités du segment.
La figure ci-dessous représente un cube
d’arête
. On désigne par
et
les milieux respectifs des arêtes
et
. Soit
un point quelconque du segment
.
Dans tout l’exercice, on se place dans le repère orthonormal
.
3. a.Donner, sans justification, les coordonnées des points
,
,
et
.b.Justifier l’existence d’un réel
appartenant à l’intervalle
, tel que les coordonnées du point
soient
.
4. a.Démontrer que les points
et
appartiennent au plan médiateur du segment
.b.En déduire que le triangle
est un triangle isocèle en
.c.Exprimer
en fonction de
.
5.Le but de cette question est de déterminer la position du point
sur le segment
pour laquelle la mesure de l’angle
est maximale. On désigne par
la mesure en radian de l’angle
.a.En admettant que la mesure appartient à l’intervalle
, démontrer que la mesure
est maximale lorsque
est maximal.b.En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur
est minimale.c.Étudier les variations de la fonction
définie sur l’intervalle
par :
.d.En déduire qu’il existe une unique position
du point
sur le segment
telle que la mesure de l’angle
soit maximale.e.Démontrer que le point
est le projeté orthogonal du point
sur le segment
.
Distance entre deux droites
L'espace est rapporté à un repère orthonormé
.
On considère la droite
passant par le point
de coordonnées
et dont un vecteur directeur est
.
On considère la droite
dont une représentation paramétrique est :
On admet qu’il existe une unique droite
perpendiculaire aux droites
et
. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite
et de calculer la distance entre les droites
et
, distance qui sera définie à la question 5.
On note
le point d’intersection des droites
et
,
le point d’intersection des droites
et
. On appelle
le plan contenant la droite
et la droite
. On admet que le plan
et la droite
sont sécants en
. Une figure est donnée ci-dessous.
1.On considère le vecteur
. Démontrer que
est un vecteur directeur de la droite
.
2.Soit
.a.Démontrer que le vecteur
est normal au plan
.b.Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est
.
3. a.Démontrer que
a pour coordonnées
.b.En déduire une représentation paramétrique de la droite
.
4. a.Déterminer les coordonnées de
.b.Calculer la longueur
.
5.L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point
appartenant à
et tout point
appartenant à
,
.a.Montrer que
peut s'écrire comme la somme de
et d'un vecteur
, orthogonal à
.b.En déduire que
et conclure.
est appelée distance entre les droites \(D\)et\(D'\).
Tétraèdre orthocentrique
Dans un tétraèdre, on appelle hauteur une droite passant par l’un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. On dit qu'un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes.
1.On considère un tétraèdre
et on note
le projeté orthogonal du point
sur le plan
et
le projeté orthogonal de
sur
. Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre
issues des points
et
sont sécantes, alors la droite
est une hauteur du triangle
.
2.Dans l’espace muni d’un repère orthonormal
, on donne les points
,
,
et
.a.Vérifier qu’une équation cartésienne du plan
est :
.b.Déterminer les coordonnées du point
, projeté orthogonal du point
sur le plan
.c.Calculer le produit scalaire
.d.Le tétraèdre
est-il orthocentrique ?
3.On définit les points
,
et
. Le tétraèdre
est-il orthocentrique ?
☆ Sphère circonscrite à un tétraèdre
L'espace est muni d'un repère orthonormé
.
Soit
,
,
et
quatre points.
1. Justifier que les quatre points ne sont pas coplanaires. Les quatre points forment donc un tétraèdre
.
2. Déterminerdes équations cartésiennes des plans médiateurs des segments
,
et
.
3. Justifier que les trois plans médiateurs ont un seul point en commun qu'on notera
et dont les coordonnées sont
.
4. Calculer les longueurs
,
,
et
. Que déduit-on pour les quatre points
,
,
et
?
Concours GEIPI-Polytech 2023
Une question à choix multiples est signalée par la mentionQCM. Plusieurs réponses sont proposées et il n’y a qu’une seule bonne réponse. Vous entourerez la réponse choisie sur la feuille de réponses. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse sera pénalisée par des points négatifs.
Le total des points obtenu à cet exercice ne peut être strictement négatif.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse.
1. Résoudre dans
l’équation
.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé
. On donne les coordonnées suivantes :
,
,
,
,
,
,
,
.
Soit
un point de coordonnées
où
est un nombre réel de l'intervalle
.
2.Déterminer les coordonnées des points
et
, milieux respectifs des segments
et
.
3. a. Déterminer le réel
tel que
. On exprimera
en fonction de
.b.QCM- Quel est l’ensemble décrit par le point
lorsque
décrit l’intervalle
?
4. Exprimer
et
en fonction de
. On ne demande pas de développer l’expression. On observera, sans la justifier, l'égalité des longueurs
et
.
5. a. Déterminer les nombres réels
,
, et
tels que
. Justifier la réponse.b. En déduire les valeurs de
pour lesquelles les vecteurs
et
sont orthogonaux.
Dans les questions qui suivent, on prend
.
6. a. Justifier que les points
,
et
définissent un plan.b. Justifier que le vecteur
est normal au plan
.c. En déduire une équation cartésienne du plan
. Justifier la réponse.
7. Donner une représentation paramétrique de la droite
.
8. Déterminer les coordonnées de
, point d’intersection de la droite
et du plan
. Justifier la réponse.
9. Préciser la nature du quadrilatère
. Aucune justification n’est attendue.