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Exercices vers le supérieur

On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire au segment et passant par son milieu...

Sommaire

Plan médiateur et optimisationDistance entre deux droitesTétraèdre orthocentrique☆ Sphère circonscrite à un tétraèdreConcours GEIPI-Polytech 2023
Concours Avenir 2023Exercices issus du Concours généralLiens utiles

Plan médiateur et optimisation

On appelle plan médiateur d'un segment le plan perpendiculaire au segment et passant par son milieu.
1.Soit
I\text II
 le milieu du segment
[AB]\text {[AB]}[AB]
 et 
PPP
le plan médiateur de
[AB]\text {[AB]}[AB]
. Soit 
M\text MM
un point quelconque de
PPP
. Démontrer que les triangles 
MIA\text {MIA}MIA
et
MIB\text {MIB}MIB
 sont rectangles.
2.En déduire que
MA=MB\text {MA}=\text {MB}MA=MB
. On a donc démontré que tout point d'un plan médiateur est équidistant des extrémités du segment.
La figure ci-dessous représente un cube
ABCDEFGH\text {ABCDEFGH}ABCDEFGH
 d’arête
111
. On désigne par 
I\text {I}I
et 
J\text {J}J
les milieux respectifs des arêtes 
[BC]\text {[BC]}[BC]
et
[CD]\text {[CD]}[CD]
. Soit 
M\text {M}M
un point quelconque du segment
[CE]\text {[CE]}[CE]
.
Dans tout l’exercice, on se place dans le repère orthonormal
(A;AB→,AD→,AE→)\left(\text A;\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}}\right)(A;AB,AD,AE)
.
3. a.Donner, sans justification, les coordonnées des points
C\text {C}C
,
E\text {E}E
,
I\text {I}I
 et
J\text {J}J
.b.Justifier l’existence d’un réel 
ttt
appartenant à l’intervalle
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
, tel que les coordonnées du point 
M\text {M}M
soient 
(1−t ; 1−t ; t)\left(1-t~;~1-t~;~t\right)(1−t ; 1−t ; t)
.
4. a.Démontrer que les points 
C\text {C}C
et 
E\text {E}E
appartiennent au plan médiateur du segment
[IJ]\text {[IJ]}[IJ]
.b.En déduire que le triangle 
MIJ\text {MIJ}MIJ
est un triangle isocèle en
M\text {M}M
.c.Exprimer
IM2\text {IM}^2IM2
 en fonction de 
ttt
.
5.Le but de cette question est de déterminer la position du point
M\text {M}M
 sur le segment
[CE]\text {[CE]}[CE]
 pour laquelle la mesure de l’angle 
IMJ^\widehat{\text{IMJ}}IMJ
est maximale. On désigne par 
θ\thetaθ
la mesure en radian de l’angle
IMJ^\widehat{\text{IMJ}}IMJ
.a.En admettant que la mesure appartient à l’intervalle 
[0 ; π][0~;~\pi][0 ; π]
, démontrer que la mesure 
θ\thetaθ
est maximale lorsque 
sin⁡θ\sin\thetasinθ
est maximal.b.En déduire que la mesure est maximale lorsque la longueur 
IM\text{IM}IM
est minimale.c.Étudier les variations de la fonction 
fff
définie sur l’intervalle 
[0 ; 1][0~;~1][0 ; 1]
par :
f(t)=3t2−t+14f(t)=3t^{2}-t+\dfrac{1}{4}f(t)=3t2−t+41​
.d.En déduire qu’il existe une unique position
M0\text M_0M0​
 du point 
M\text MM
sur le segment 
[CE]\text {[CE]}[CE]
 telle que la mesure de l’angle
IMJ^\widehat{\text{IMJ}}IMJ
soit maximale.e.Démontrer que le point
M0\text M_0M0​
 est le projeté orthogonal du point 
I\text II
sur le segment 
[CE]\text {[CE]}[CE]
.

Distance entre deux droites

L'espace est rapporté à un repère orthonormé
(O;i→,j→,k→)\left(\text O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O;i,j​,k)
.
On considère la droite
DDD
 passant par le point 
A\text AA
de coordonnées
(−4 ; 3 ; 1)(-4~;~3~;~1)(−4 ; 3 ; 1)
 et dont un vecteur directeur est
u→(3−1−1)\overrightarrow{u} \begin{pmatrix}3\\-1\\-1\end{pmatrix}u​3−1−1​​
.
On considère la droite
D′D'D′
 dont une représentation paramétrique est :
{x=3−ty=−2+t, t∈Rz=t\begin{cases}x=3-t\\y=-2+t & ,\,t\in\mathbb{R}\\z=t\end{cases}⎩⎨⎧​x=3−ty=−2+tz=t​,t∈R​
On admet qu’il existe une unique droite 
Δ\DeltaΔ
perpendiculaire aux droites 
DDD
et
D′D'D′
. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite 
Δ\DeltaΔ
et de calculer la distance entre les droites
DDD
 et
D′D'D′
, distance qui sera définie à la question 5.
On note 
H\text HH
le point d’intersection des droites 
DDD
et 
Δ\DeltaΔ
, 
H′\text H'H′
le point d’intersection des droites 
D′D'D′
et
Δ\DeltaΔ
. On appelle 
PPP
le plan contenant la droite 
DDD
et la droite 
Δ\DeltaΔ
. On admet que le plan 
PPP
et la droite 
D′D'D′
sont sécants en
H′H'H′
. Une figure est donnée ci-dessous.
1.On considère le vecteur
w→(0−11)\overrightarrow{w}\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\end{array}\right)w​0−11​​
. Démontrer que
w→\overrightarrow{w}w
 est un vecteur directeur de la droite 
Δ\DeltaΔ
.
2.Soit
n→(233)\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}2\\3\\3\end{array}\right)n​233​​
.a.Démontrer que le vecteur
n→\overrightarrow{n}n
 est normal au plan
PPP
.b.Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est
2x+3y+3z−4=02x+3y+3z-4=02x+3y+3z−4=0
.
3. a.Démontrer que 
H′\text H'H′
a pour coordonnées
(2 ;−1 ; 1)(2~;-1~;~1)(2 ;−1 ; 1)
.b.En déduire une représentation paramétrique de la droite 
Δ\DeltaΔ
.
4. a.Déterminer les coordonnées de
H\text HH
.b.Calculer la longueur
HH’\text {HH'}HH’
.
5.L'objectif de cette question est de montrer que, pour tout point 
M\text MM
appartenant à 
DDD
et tout point 
M′\text M'M′
appartenant à
D′D'D′
,
MM’⩾HH’\text {MM'}\geqslant\text {HH'}MM’⩾HH’
.a.Montrer que
MM’→\overrightarrow{\text {MM'}}MM’
 peut s'écrire comme la somme de
HH’→\overrightarrow{\text {HH'}}HH’
 et d'un vecteur
v→\overrightarrow{v}v
, orthogonal à
HH’→\overrightarrow{\text {HH'}}HH’
.b.En déduire que 
∥MM’→∥2⩾∥HH’→∥2\left\Vert \overrightarrow{\text {MM'}}\right\Vert ^{2}\geqslant\left\Vert \overrightarrow{\text {HH'}}\right\Vert ^{2}​MM’​2⩾​HH’​2
et conclure.
HH’\text {HH'}HH’
 est appelée distance entre les droites \(D\)et\(D'\).

Tétraèdre orthocentrique

Dans un tétraèdre, on appelle hauteur une droite passant par l’un des sommets de ce tétraèdre et perpendiculaire au plan de la face opposée à ce sommet. On dit qu'un tétraèdre est orthocentrique si ses quatre hauteurs sont concourantes.
1.On considère un tétraèdre
ABCD\text {ABCD}ABCD
 et on note
H\text HH
 le projeté orthogonal du point 
A\text AA
sur le plan
(BCD)\text {(BCD)}(BCD)
 et 
H′\text H'H′
le projeté orthogonal de 
B\text BB
sur
(ACD)\text {(ACD)}(ACD)
. Démontrer que, si les hauteurs du tétraèdre
ABCD\text {ABCD}ABCD
 issues des points
A\text A A
et 
B\text BB
sont sécantes, alors la droite
(BH)\text {(BH)}(BH)
 est une hauteur du triangle
BCD\text {BCD}BCD
.
2.Dans l’espace muni d’un repère orthonormal
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
, on donne les points 
A(3 ; 2 ;−1)\text A(3~;~2~;-1)A(3 ; 2 ;−1)
,
B(−6 ; 1 ; 1)\text B(-6~;~1~;~1)B(−6 ; 1 ; 1)
,
C(4 ;−3 ; 3)\text C(4~;-3~;~3)C(4 ;−3 ; 3)
 et
D(−1 ;−5 ;−1)\text D(-1~;-5~;-1)D(−1 ;−5 ;−1)
.a.Vérifier qu’une équation cartésienne du plan
(BCD)\text {(BCD)}(BCD)
 est :
−2x−3y+4z−13=0-2x-3y+4z-13=0−2x−3y+4z−13=0
.b.Déterminer les coordonnées du point
H\text HH
, projeté orthogonal du point
A\text A A
sur le plan
(BCD)\text {(BCD)}(BCD)
.c.Calculer le produit scalaire
BH→⋅CD→\overrightarrow{\text {BH}}\cdot \overrightarrow{\text{CD}}BH⋅CD
.d.Le tétraèdre 
ABCD\text {ABCD}ABCD
est-il orthocentrique ?
3.On définit les points
I(1 ; 0 ; 0)\text I(1~;~0~;~0)I(1 ; 0 ; 0)
,
J(0 ; 1 ; 0)\text J(0~;~1~;~0)J(0 ; 1 ; 0)
 et
K(0 ; 0 ; 1)\text K(0~;~0~;~1)K(0 ; 0 ; 1)
. Le tétraèdre 
OIJK\text {OIJK}OIJK
est-il orthocentrique ?

☆ Sphère circonscrite à un tétraèdre

L'espace est muni d'un repère orthonormé
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)(O ;i,j​,k)
.
Soit
A(0 ; 1 ;−2)\text A(0~;~1~;-2)A(0 ; 1 ;−2)
, 
B(4 ; 5 ;−2)\text B(4~;~5~;-2)B(4 ; 5 ;−2)
, 
C(4 ; 1 ; 0)\text C(4~;~1~;~0)C(4 ; 1 ; 0)
 et 
D(2 ; 3 ; 2)\text D(2~;~3~;~2)D(2 ; 3 ; 2)
 quatre points.
1. Justifier que les quatre points ne sont pas coplanaires. Les quatre points forment donc un tétraèdre 
ABCD\text A\text B\text C\text DABCD
.
2. Déterminerdes équations cartésiennes des plans médiateurs des segments 
[AB][\text A\text B][AB]
, 
[BC][\text B\text C][BC]
 et 
[CD][\text C\text D][CD]
.
3. Justifier que les trois plans médiateurs ont un seul point en commun qu'on notera
G\text GG
 et dont les coordonnées sont 
G(2 ; 3 ;−1)\text G(2~;~3~;-1)G(2 ; 3 ;−1)
.
4. Calculer les longueurs 
GA\text G\text AGA
, 
GB\text G\text BGB
, 
GC\text G\text CGC
 et 
GD\text G\text DGD
. Que déduit-on pour les quatre points
A\text AA
,
B\text BB
,
C\text CC
et
D\text DD
?

Concours GEIPI-Polytech 2023

Une question à choix multiples est signalée par la mentionQCM. Plusieurs réponses sont proposées et il n’y a qu’une seule bonne réponse. Vous entourerez la réponse choisie sur la feuille de réponses. Aucune justification n’est demandée.
Une réponse fausse sera pénalisée par des points négatifs.
Le total des points obtenu à cet exercice ne peut être strictement négatif.
Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse.
1. Résoudre dans
R\mathbb RR
l’équation
X2−4X+2=0X^2 -4X+2 = 0X2−4X+2=0
.
L’espace est rapporté à un repère orthonormé 
(O ;i→,j→,k→)\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \right)(O ;i,j​,k)
. On donne les coordonnées suivantes : 
A(0 ; 0 ; 0)\text A(0~;~0~;~0)A(0 ; 0 ; 0)
,
B(0 ; 1 ; 3)\text B(0~;~1~;~\sqrt 3)B(0 ; 1 ; 3​)
,
C(0 ; 2 ; 0)\text C(0~;~2~;~0)C(0 ; 2 ; 0)
,
D(0 ;1 ;−3)\text D(0~;1~;-\sqrt 3)D(0 ;1 ;−3​)
,
E(4 ; 0 ; 0)\text E(4~;~0~;~0)E(4 ; 0 ; 0)
,
F(4 ; 1 ;−3)\text F(4~;~ 1~; -\sqrt 3)F(4 ; 1 ;−3​)
,
G(4 ; 2 ; 0)\text G(4~;~2~;~0)G(4 ; 2 ; 0)
,
H(4 ; 2 ; 43)\text H(4~;~2~;~4\sqrt 3)H(4 ; 2 ; 43​)
.
Soit
I\text II
un point de coordonnées
I(a ; 0 ; 0)\text I(a~;~0~;~0)I(a ; 0 ; 0)
où
aaa
est un nombre réel de l'intervalle
[0 ; 4][0~;~4][0 ; 4]
.
2.Déterminer les coordonnées des points 
J\text JJ
et
L\text LL
, milieux respectifs des segments
[BF]\mathrm{[BF] }[BF]
et
[DH]\mathrm{[DH]}[DH]
.
3. a. Déterminer le réel 
λ\lambdaλ
 tel que 
AI→=λ⋅AE→\overrightarrow{\mathrm{AI}}=\lambda\cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}AI=λ⋅AE
. On exprimera 
λ\lambdaλ
 en fonction de 
aaa
.b.QCM- Quel est l’ensemble décrit par le point
H\text HH
lorsque 
aaa
décrit l’intervalle
[0 ; 4][0~;~4][0 ; 4]
?
4. Exprimer 
IJ2\text{IJ}^2IJ2
et 
IL2\text{IL}^2IL2
en fonction de
aaa
. On ne demande pas de développer l’expression. On observera, sans la justifier, l'égalité des longueurs 
IJ\text{IJ}IJ
et
IL\text{IL}IL
.
5. a. Déterminer les nombres réels
mmm
,
nnn
, et 
ppp
tels que
IJ→⋅IL→=ma2+na+p\overrightarrow{\mathrm{IJ}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{IL}} = ma^2+na+pIJ⋅IL=ma2+na+p
. Justifier la réponse.b. En déduire les valeurs de
aaa
 pour lesquelles les vecteurs 
IJ→\overrightarrow{\mathrm{IJ}}IJ
 et 
IL→\overrightarrow{\mathrm{IL}}IL
 sont orthogonaux.
Dans les questions qui suivent, on prend 
a=2+2a= 2 +\sqrt2a=2+2​
.
6. a. Justifier que les points
I\text II
,
J\text JJ
et
L\text LL
définissent un plan.b. Justifier que le vecteur 
n→(120)\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} 1\\\sqrt 2\\0\\ \end{pmatrix}n​12​0​​
 est normal au plan
(IJL)(\mathrm{IJL})(IJL)
.c. En déduire une équation cartésienne du plan 
(IJL)(\mathrm{IJL})(IJL)
. Justifier la réponse.
7. Donner une représentation paramétrique de la droite
(CG)\mathrm{(CG)}(CG)
.
8. Déterminer les coordonnées de
K\text KK
, point d’intersection de la droite 
(CG)\mathrm{(CG)}(CG)
et du plan 
(IJL)(\mathrm{IJL})(IJL)
. Justifier la réponse.
9. Préciser la nature du quadrilatère
IJKL\mathrm{IJKL}IJKL
. Aucune justification n’est attendue.

Concours Avenir 2023

Pour chaque question, une seule réponse est correcte. Afin d'éliminer les stratégies de réponses au hasard, chaque réponse exacte est gratifiée de trois points, tandis que chaque réponse fausse est pénalisée par le retrait d’un point. Une question non traitée n'apporte ni ne retire aucun point.
Règle de nommage et représentation d'un cube
Dans ce sujet, un cube
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
 dénote le cube suivant (aux rotations près du cube).
Pour les questions1à5, on se place dans l’espace muni d’un repère orthonormé.
Question 1
On considère le plan
(P)(P)(P)
d’équation :
x+2y+3z−1=0x +2y +3z -1 = 0x+2y+3z−1=0
. Quel vecteur est normal à
(P)(P)(P)
 ?
    a.
n1→=(1 ; 2 ;−1)\overrightarrow{n_1} = (1~;~2~;-1)n1​​=(1 ; 2 ;−1)
    b.
n2→=(1 ; 2 ; 3)\overrightarrow{n_2} = (1~;~2~;~3)n2​​=(1 ; 2 ; 3)
    c.
n3→=(1 ; 3 ;−1)\overrightarrow{n_3} = (1~;~3~;-1)n3​​=(1 ; 3 ;−1)
    d.
n4→=(2 ; 3 ;−1)\overrightarrow{n_4} = (2~;~3~;-1)n4​​=(2 ; 3 ;−1)
Question 2
On considère la droite
(d)(d)(d)
d’équation : 
x−2−1=y−12=z+31\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-1}{2} = \dfrac{z+3}{1}−1x−2​=2y−1​=1z+3​
. Déterminer un vecteur directeur de la droite
(d)(d)(d)
.
    a.
u1→=(2 ; 1 ; 1)\overrightarrow{u_1} = (2~;~1~;~1)u1​​=(2 ; 1 ; 1)
b.
u2→=(1 ; 2 ;−3)\overrightarrow{u_2} = (1~;~2~;-3)u2​​=(1 ; 2 ;−3)
c.
u3→=(−1 ; 2 ; 1)\overrightarrow{u_3} = (-1~;~2~;~1)u3​​=(−1 ; 2 ; 1)
d.
u4→=(2 ; 1 ;−3)\overrightarrow{u_4} = (2~;~1~;-3)u4​​=(2 ; 1 ;−3)
Question 3
On considère les points
A(1 ; 3 ; 0)\text A(1~;~3~;~0)A(1 ; 3 ; 0)
et
B(5 ; 1 ;−2)\text B(5~;~1~;-2)B(5 ; 1 ;−2)
. Déterminer l’équation du plan médiateur du segment
[AB]\mathrm{[AB]}[AB]
.a.
2x−y−z−5=02x - y - z -5 = 02x−y−z−5=0
b.
2x−y−z+5=02x - y - z +5 = 02x−y−z+5=0
c.
x+y+2z−3=0x + y +2z -3 = 0x+y+2z−3=0
d.
3x+2y−z−14=03x +2y - z -14 = 03x+2y−z−14=0
Question 4
On considère les trois points suivants :
A(−1 ;−2 ; 3)\text A(-1~ ;-2~;~3)A(−1 ;−2 ; 3)
;
B(−6 ; 1 ; 1)\text B(-6~;~1~;~1)B(−6 ; 1 ; 1)
 ;
C(−5 ;−3 ; 2)\text C(-5~;-3~;~2)C(−5 ;−3 ; 2)
.
Le triangle
ABC\mathrm{ABC}ABC
est :
    a. équilatéral
    b. rectangle en
A\text AA
    c. rectangle en
C\text CC
    d. isocèle en
C\text CC
Question 5
On considère les trois points suivants :
A(1 ; 2 ; 3)\text A(1~;~2~;~3)A(1 ; 2 ; 3)
 ;
B(3 ; 3 ; 5)\text B(3~;~3~;~5)B(3 ; 3 ; 5)
 ;
C(−1 ; 2 ;−4)\text C(-1~;~2~;-4)C(−1 ; 2 ;−4)
. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de
C\text CC
sur
(AB)\mathrm{(AB)}(AB)
:
    a.
(−1 ; 1 ; 1)(-1~;~1~;~1)(−1 ; 1 ; 1)
    b.
(2 ; 52 ; 4)\left(2~;~ \dfrac52~;~ 4\right)(2 ; 25​ ; 4)
    c.
(0 ; 32 ; 2)\left(0~;~\dfrac32~;~2\right)(0 ; 23​ ; 2)
    d.
(−3 ; 0 ;−1)(-3~;~0~;-1)(−3 ; 0 ;−1)
Dans les questions6à8, on considère un cube
ABCDEFGH\mathrm{ABCDEFGH}ABCDEFGH
, et les points :
M\mathrm{M}M
le milieu de
[CD]\mathrm{[CD]}[CD]
,
P\text PP
le milieu de
[GH]\mathrm{[GH]}[GH]
et
N\text NN
le centre de la face
ABCD\mathrm{ABCD}ABCD
.
Question 6
Quels sont les points coplanaires ?
    a.
M, C, P et F\text{M, C, P et F}M, C, P et F
    b.
A, B, C et P\text{A, B, C et P}A, B, C et P
    c.
M, N, E et H\text{M, N, E et H}M, N, E et H
    d.
M, P, E et F\text{M, P, E et F}M, P, E et F
Question 7
Le plan et la droite sécants sont :
    a.
(ABE) et (CP)\text{(ABE) et (CP)}(ABE) et (CP)
    b.
(ABC) et (DH)\text{(ABC) et (DH)}(ABC) et (DH)
    c.
(MNH) et (BC)\text{(MNH) et (BC)}(MNH) et (BC)
    d.
(DAP) et (MG)\text{(DAP) et (MG)}(DAP) et (MG)
Question 8
Les vecteurs 
AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}}AB
et 
FG→\overrightarrow{\mathrm{FG}}FG
dirigent le plan :
    a.
(BCD)\text{(BCD)}(BCD)
    b.
(ABF)\text{(ABF)}(ABF)
    c.
(ABG)\text{(ABG)}(ABG)
    d.
(FGB)\text{(FGB)}(FGB)
Question 9
Soit
ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}ABCDEFGH
et
BIJCFLKG\text{BIJCFLKG}BIJCFLKG
deux cubes de même taille disposés côte à côte. Soit le point
X\text XX
défini par
AX→=2CJ→+DH→+FG→\overrightarrow{\mathrm{AX}} = 2\overrightarrow{\mathrm{CJ}} +\overrightarrow{\mathrm{DH}} +\overrightarrow{\mathrm{FG}}AX=2CJ+DH+FG
. Le point
X\text XX
se situe en :
    a.
H\text HH
    b.
G\text GG
    c.
K\text KK
    d.
J\text JJ
Question 10
Soit
ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}ABCDEFGH
un cube de côté non nul. Soit les points
I\text II
et
J\text JJ
tels que 
EI→=13EF→\overrightarrow{\mathrm{EI}} =\dfrac13\overrightarrow{\mathrm{EF}}EI=31​EF
 et 
GJ→=23GC→\overrightarrow{\mathrm{GJ}} = \dfrac23\overrightarrow{\mathrm{GC}}GJ=32​GC
. Quel vecteur est dans le plan dirigé par
EC→\overrightarrow{\mathrm{EC}}EC
et 
IJ→\overrightarrow{\mathrm{IJ}}IJ
?
    a.
EA→\overrightarrow{\mathrm{EA}}EA
    b.
FE→\overrightarrow{\mathrm{FE}}FE
    c.
FG→\overrightarrow{\mathrm{FG}}FG
    d.
FJ→\overrightarrow{\mathrm{FJ}}FJ
Question 11
Soit
x∈R+∗x \in \mathbb R_+^*x∈R+∗​
 et un parallélépipède rectangle
ABCDEFGH\text{ABCDEFGH}ABCDEFGH
tel que
AD=AE=xAB\mathrm{AD = AE} = x\text{AB}AD=AE=xAB
. Pour quelle valeur de
xxx
 les droites
(BH)\mathrm{(BH)}(BH)
 et
(AG)\mathrm{(AG)}(AG)
sont-elles orthogonales ?
    a.
111
    b.
22\dfrac{\sqrt 2}{2}22​​
    c.
2\sqrt 22​
    d.
12\dfrac1221​

Exercices issus du Concours général

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Exercice 2 – extrait d’un problème du Concours général 2013
Exercice 3 – extrait d’un problème du Concours général 2015

Liens utiles

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