(***) S'entraîner

* Suites majorées, minorées, bornées

Rappel: pour prouver une inégalité, il peut être judicieux d'étudier le signe d'une différence.

Exercice 1

1.Montrer que la suite

(u_n)

 définie pour tout entier naturel

n

par

u_n=2n^2-4n+9

 est minorée par

1

.
2.Montrer que la suite

(u_n)

 définie pour tout entier naturel

n

par

u_n=\displaystyle\frac{2n-5}{3n+2}

 est majorée par

\displaystyle\frac{2}{3}

.

Exercice 2

Démontrer, dans chacun des cas suivants, que la suite est bornée.
1.

(u_n)

 est la suite définie pour tout entier naturel

n

 non nul par

u_n=5-\displaystyle\frac{1}{n}

.
2.

(u_n)

 est la suite définie pour tout entier naturel

n

par

u_n=4+3\sin(n)

.

Exercice 3

1.Démontrer par récurrence que toute suite croissante est minorée par son premier terme.
2.Énoncer une propriété analogue pour une suite décroissante et la démontrer.

☛ * Récurrence pour étudier une monotonie

Exercice 1

On considère la suite

(u_n)

 définie par

u_0=4

 et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1}=5u_n^2-2u_n

.

1.Étudier les variations de la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=5x^2-2x

.
2. a.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

,

2 \leqslant u_n\leqslant u_{n+1}

.b.Que peut-on en déduire pour la suite

(u_n)

?

Exercice 2

On considère la suite

(u_n)

 définie par

u_0=1

 et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1}=\displaystyle\frac{u_n}{u_n^2+1}

.

1.Étudier les variations de la fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

par

f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}

.
2. a.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

,

0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 1

.b.Que peut-on en déduire pour la suite

(u_n)

?

ÉnoncéUn cas plus général

On considère une fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

. On suppose de plus que

f

 est croissante sur

\mathbb{R}

.
Soit

(u_n)

 une suite de premier terme

u_0

 et telle que, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1}=f(u_n)

.

1.On suppose, dans cette question, que 

u_0 \geqslant u_1

. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que la suite

(u_n)

 est décroissante.
2.On suppose maintenant que

u_0 \leqslant u_1

. Étudier la monotonie de la suite

(u_n)

.

Solution 

1. \(\forall n \in \mathbb{N}\), on pose

P_n

:«

u_{n+1} \leqslant u_n

».

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Initialisation Par hypothèse, 

u_1 \leqslant u_0

 donc

P_0

 est vraie.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;HéréditéSoit 

n

un entier naturel fixé.On suppose que

u_{n+1} \leqslant u_n

.Montrons que 

u_{n+2} \leqslant u_{n+1}

.Par hypothèse de récurrence, 

u_{n+1} \leqslant u_n

.Or, 

f

 est croissante sur

\mathbb{R}

 donc 

f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n)

.

f(u_{n+1})=u_{n+2}

et

f(u_n)=u_{n+1}

 donc

P_{n+1}

 est vraie.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;ConclusionPar récurrence,

\forall n \in \mathbb{N}

,

u_{n+1}\leqslant u_n

.Ainsi la suite

(u_n)

 est décroissante.

2.Dans le cas où

u_0 \leqslant u_1

, la suite

(u_n)

 est croissante. La démonstration se fait par récurrence. Les arguments sont identiques à ceux employés dans la démonstration précédente.

* Forme explicite d'une suite définie par récurrence

Exercice 1

On considère la suite

(u_n)

 définie par

u_0=1

 et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1}=10u_n-9n-8

.

1.Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2.Conjecturer une expression de

u_n

 en fonction de

n

.
3.Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

Exercice 2

On considère la suite

(u_n)

 définie par

u_0=0

 et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2-u_n}

.

1.Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2.Conjecturer une expression de

u_n

 en fonction de

n

.
3.Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

** Une minoration ou une majoration pour en déduire la monotonie

Exercice 1

On considère la suite

(u_n)

 définie par

u_0=1

 et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1}=\sqrt{3u_n}

. On admet que les termes de cette suite sont tous définis.

1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

,

0\leqslant u_n \leqslant 3

.
2.En déduire que la suite

(u_n)

 est croissante.

Exercice 2

On considère la suite

(u_n)

 définie par

u_0=4

 et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{3}u_n+2 \times 0,4^n

.

1. a.Calculer les quatre premiers termes de la suite.b.Conjecturer la monotonie de la suite.
2. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

,

u_n \geqslant 3 \times 0,4^n

.b.Déduire de la question précédente une démonstration de la conjecture faite en 1.b.

Exercice 3

On considère la suite

(u_n )

définie par

u_0=5

 et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1}=3-\displaystyle\frac{10}{u_n+4}

.

1.On donne ci-dessous la courbe 

C_f

de la fonction

f

 définie sur

]-4;+\infty[

par

f(x)=3-\displaystyle\frac{10}{x+4}

 ainsi que la droite

(\Delta)

 d'équation

y=x

.

a.Recopier ce graphique et y représenter graphiquement les premiers termes de la suite

(u_n).

b.Conjecturer la monotonie de la suite

(u_n)

.
2.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

,

u_n \geqslant 1

.
3. a.Démontrer que, pour tout entier naturel

n,

u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{(1-u_n)(u_n+2)}{u_n+4}

.b.Démontrer la conjecture faite à la question 1.

(*) Les tours de Hanoï - Grand Oral

Les tours de Hanoï sont un jeu de réflexion proposé par le mathématicien français Édouard Lucas dans le tome 3 de sesRécréations mathématiques, parues à titre posthume en 1892.

Le jeu est constitué de trois piques fixées sur un socle et de `n` disques de diamètres différents. Au départ, les `n` disques sont empilés sur la première pique dans l'ordre décroissant de leur diamètre, le plus large étant en dessous.

Ce jeu consiste à déplacer les 

n

 disques de la pique 1 à la pique 3 en un minimum de coups, tout en respectant les règles suivantes :

on ne peut pas déplacer plus d'un disque à la fois ;
on ne peut placer un disque que sur un autre disque de diamètre supérieur ou sur un emplacement vide.

Pour tout entier naturel

n

 non nul, on pose

u_n

 le nombre minimal de déplacements nécessaires pourdéplacer une tour de `n` étages d'une pique à une autre.

1.Déterminer

u_1

,

u_2

et

u_3

.
2.En observant plus précisément les manipulations nécessaires à la résolution du problème pour

n=3

, donner une relation liant

u_3

et

u_2

.
3. a.Pour tout entier naturel

n

, exprimer

u_{n+1}

 en fonction de

u_n

.b.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 

n

,

u_n=2^n-1

.
4.Ci-dessous un extrait du texte original :

En supposant qu'il faut une seconde pour déplacer un disque, estimer le nombre d'années qui devront s'écouler avant que les brahmes ne tombent.

(***) S'entraîner

Études de suites

* Suites majorées, minorées, bornées

☛ * Récurrence pour étudier une monotonie

* Forme explicite d'une suite définie par récurrence

** Une minoration ou une majoration pour en déduire la monotonie

(*) Les tours de Hanoï - Grand Oral

Calculs de sommes

** Se familiariser avec les symboles somme et produit

** Récurrence pour calculer des sommes

** Notation ∑ et opérations

*** Démontrer une formule de dérivation

*** Un peu de géométrie

*** Prise d'initiative

Études de suites

* Suites majorées, minorées, bornées

☛ * Récurrence pour étudier une monotonie

* Forme explicite d'une suite définie par récurrence

** Une minoration ou une majoration pour en déduire la monotonie

(***) ** Les tours de Hanoï - Grand Oral

Calculs de sommes

** Se familiariser avec les symboles somme et produit

** Récurrence pour calculer des sommes

** Notation ∑ et opérations

*** Démontrer une formule de dérivation

*** Un peu de géométrie

*** Prise d'initiative

(*) Les tours de Hanoï - Grand Oral