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Rappel: pour prouver une inégalité, il peut être judicieux d'étudier le signe d'une différence.

Sommaire

Études de suites* Suites majorées, minorées, bornées☛ * Récurrence pour étudier une monotonie* Forme explicite d'une suite définie par récurrence** Une minoration ou une majoration pour en déduire la monotonie(***) ** Les tours de Hanoï - Grand Oral
Calculs de sommes** Se familiariser avec les symboles somme et produit** Récurrence pour calculer des sommes** Notation ∑ et opérations
*** Démontrer une formule de dérivation*** Un peu de géométrie*** Prise d'initiative

Études de suites

* Suites majorées, minorées, bornées

Rappel: pour prouver une inégalité, il peut être judicieux d'étudier le signe d'une différence.
Exercice 1
1.Montrer que la suite
(u_n)
 définie pour tout entier naturel
n
 par
u_n=2n^2-4n+9
 est minorée par
1
.
2.Montrer que la suite
(u_n)
 définie pour tout entier naturel
n
 par
un=2n−53n+2u_n=\displaystyle\frac{2n-5}{3n+2}un​=3n+22n−5​
 est majorée par
23\displaystyle\frac{2}{3}32​
.
Exercice 2
Démontrer, dans chacun des cas suivants, que la suite est bornée.
1.
(u_n)
 est la suite définie pour tout entier naturel
n
 non nul par
un=5−1nu_n=5-\displaystyle\frac{1}{n}un​=5−n1​
.
2.
(u_n)
 est la suite définie pour tout entier naturel
n
 par
un=4+3sin⁡(n)u_n=4+3\sin(n)un​=4+3sin(n)
.
Exercice 3
1.Démontrer par récurrence que toute suite croissante est minorée par son premier terme.
2.Énoncer une propriété analogue pour une suite décroissante et la démontrer.

☛ * Récurrence pour étudier une monotonie

Exercice 1
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=4
 et, pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1}=5u_n^2-2u_n
.
1.Étudier les variations de la fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=5x^2-2x
.
2. a.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
2⩽un⩽un+12 \leqslant u_n\leqslant u_{n+1}2⩽un​⩽un+1​
.b.Que peut-on en déduire pour la suite
(u_n)
 ?
Exercice 2
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=1
 et, pour tout entier naturel
n
,
un+1=unun2+1u_{n+1}=\displaystyle\frac{u_n}{u_n^2+1}un+1​=un2​+1un​​
.
1.Étudier les variations de la fonction
f
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f(x)=xx2+1f(x)=\displaystyle\frac{x}{x^2+1}f(x)=x2+1x​
.
2. a.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
0⩽un+1⩽un⩽10\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 10⩽un+1​⩽un​⩽1
.b.Que peut-on en déduire pour la suite
(u_n)
 ?
ÉnoncéUn cas plus général
On considère une fonction
f
 définie sur
R\mathbb{R}R
. On suppose de plus que
f
 est croissante sur
\mathbb{R}
.
Soit
(u_n)
 une suite de premier terme
u_0
 et telle que, pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1}=f(u_n)
.
1.On suppose, dans cette question, que 
u0⩾u1u_0 \geqslant u_1u0​⩾u1​
. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer que la suite
(u_n)
 est décroissante.
2.On suppose maintenant que
u0⩽u1u_0 \leqslant u_1u0​⩽u1​
. Étudier la monotonie de la suite
(u_n)
.
Solution 
1. \(\forall n \in \mathbb{N}\), on pose
P_n
 :«
un+1⩽unu_{n+1} \leqslant u_nun+1​⩽un​
».
    • Initialisation Par hypothèse, 
u1⩽u0u_1 \leqslant u_0u1​⩽u0​
 donc
P_0
 est vraie.
    • HéréditéSoit 
n
un entier naturel fixé.On suppose que
un+1⩽unu_{n+1} \leqslant u_nun+1​⩽un​
.Montrons que 
un+2⩽un+1u_{n+2} \leqslant u_{n+1}un+2​⩽un+1​
.Par hypothèse de récurrence, 
un+1⩽unu_{n+1} \leqslant u_nun+1​⩽un​
.Or, 
f
 est croissante sur
\mathbb{R}
 donc 
f(un+1)⩽f(un)f(u_{n+1}) \leqslant f(u_n)f(un+1​)⩽f(un​)
.
f(un+1)=un+2f(u_{n+1})=u_{n+2}f(un+1​)=un+2​
et
f(u_n)=u_{n+1}
 donc
P_{n+1}
 est vraie.
    • ConclusionPar récurrence,
\forall n \in \mathbb{N}
,
un+1⩽unu_{n+1}\leqslant u_nun+1​⩽un​
.Ainsi la suite
(u_n)
 est décroissante.
2.Dans le cas où
u0⩽u1u_0 \leqslant u_1u0​⩽u1​
, la suite
(u_n)
 est croissante. La démonstration se fait par récurrence. Les arguments sont identiques à ceux employés dans la démonstration précédente.

* Forme explicite d'une suite définie par récurrence

Exercice 1
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=1
 et, pour tout entier naturel
n
,
u_{n+1}=10u_n-9n-8
.
1.Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2.Conjecturer une expression de
u_n
 en fonction de
n
.
3.Démontrer par récurrence la conjecture précédente.
Exercice 2
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=0
 et, pour tout entier naturel
n
,
un+1=12−unu_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2-u_n}un+1​=2−un​1​
.
1.Calculer les quatre premiers termes de la suite.
2.Conjecturer une expression de
u_n
 en fonction de
n
.
3.Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

** Une minoration ou une majoration pour en déduire la monotonie

Exercice 1
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=1
 et, pour tout entier naturel
n
,
un+1=3unu_{n+1}=\sqrt{3u_n}un+1​=3un​​
. On admet que les termes de cette suite sont tous définis.
1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
0⩽un⩽30\leqslant u_n \leqslant 30⩽un​⩽3
.
2.En déduire que la suite
(u_n)
 est croissante.
Exercice 2
On considère la suite
(u_n)
 définie par
u_0=4
 et, pour tout entier naturel
n
,
un+1=13un+2×0,4nu_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{3}u_n+2 \times 0,4^nun+1​=31​un​+2×0,4n
.
1. a.Calculer les quatre premiers termes de la suite.b.Conjecturer la monotonie de la suite.
2. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
un⩾3×0,4nu_n \geqslant 3 \times 0,4^nun​⩾3×0,4n
.b.Déduire de la question précédente une démonstration de la conjecture faite en 1.b.
Exercice 3
On considère la suite
(u_n )
définie par
u_0=5
 et, pour tout entier naturel
n
,
un+1=3−10un+4u_{n+1}=3-\displaystyle\frac{10}{u_n+4}un+1​=3−un​+410​
.
1.On donne ci-dessous la courbe 
C_f
de la fonction
f
 définie sur
]-4;+\infty[
 par
f(x)=3−10x+4f(x)=3-\displaystyle\frac{10}{x+4}f(x)=3−x+410​
 ainsi que la droite
(\Delta)
 d'équation
y=x
.
a.Recopier ce graphique et y représenter graphiquement les premiers termes de la suite
(u_n).
b.Conjecturer la monotonie de la suite
(u_n)
.
2.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
un⩾1u_n \geqslant 1un​⩾1
.
3. a.Démontrer que, pour tout entier naturel
n,
un+1−un=(1−un)(un+2)un+4u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{(1-u_n)(u_n+2)}{u_n+4}un+1​−un​=un​+4(1−un​)(un​+2)​
.b.Démontrer la conjecture faite à la question 1.

(***) ** Les tours de Hanoï - Grand Oral

Les tours de Hanoï sont un jeu de réflexion proposé par le mathématicien français Édouard Lucas dans le tome 3 de sesRécréations mathématiques, parues à titre posthume en 1892.
Le jeu est constitué de trois piques fixées sur un socle et de `n` disques de diamètres différents. Au départ, les `n` disques sont empilés sur la première pique dans l'ordre décroissant de leur diamètre, le plus large étant en dessous.
Ce jeu consiste à déplacer les 
n
 disques de la pique 1 à la pique 3 en un minimum de coups, tout en respectant les règles suivantes :
  • on ne peut pas déplacer plus d'un disque à la fois ;
  • on ne peut placer un disque que sur un autre disque de diamètre supérieur ou sur un emplacement vide.
Pour tout entier naturel
n
 non nul, on pose
u_n
 le nombre minimal de déplacements nécessaires pourdéplacer une tour de `n` étages d'une pique à une autre.
1.Déterminer
u_1
,
u_2
 et
u_3
.
2.En observant plus précisément les manipulations nécessaires à la résolution du problème pour
n=3
, donner une relation liant
u_3
 et
u_2
.
3. a.Pour tout entier naturel
n
, exprimer
u_{n+1}
 en fonction de
u_n
.b.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel 
n
,
u_n=2^n-1
.
4.Ci-dessous un extrait du texte original :
En supposant qu'il faut une seconde pour déplacer un disque, estimer le nombre d'années qui devront s'écouler avant que les brahmes ne tombent.

Calculs de sommes

** Se familiariser avec les symboles somme et produit

Pour écrire synthétiquement unesomme de termesd'une suite
(u_n)
, on peut avoir recours à la lettre grecque majuscule sigma :
∑\displaystyle\sum∑
.
Par exemple,
u0+u1+⋯+un=∑k=0nuku_0+u_1+\cdots+u_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_ku0​+u1​+⋯+un​=k=0∑n​uk​
.
Pour écrire synthétiquement unproduit de termesd'une suite
(u_n)
, on peut avoir recours à la lettre grecque majuscule pi :
∏\displaystyle\prod∏
.
Par exemple,
u0×u1×⋯×un=∏k=0nuku_0 \times u_1\times \cdots\times u_n=\displaystyle \prod_{k=0}^{n}u_ku0​×u1​×⋯×un​=k=0∏n​uk​
.
Exercice 1
Dans cet exercice,
(u_n)
 est une suite de réels.
1.Écrire sans le symbole \(\displaystyle\sum\) les sommes suivantes.
    a.
∑k=26uk\displaystyle \sum_{k=2}^{6}u_kk=2∑6​uk​
b.
∑k=03(uk)3\displaystyle \sum_{k=0}^{3}(u_k)^3k=0∑3​(uk​)3
    c.
∑k=042uk\displaystyle \sum_{k=0}^{4}2^{u_k}k=0∑4​2uk​
d.
∑k=02uk2\displaystyle \sum_{k=0}^{2}u_{k^2}k=0∑2​uk2​
2.Écrire sans le symbole \(\displaystyle\prod\) les produits suivants.
    a.
∏k=14u2k\displaystyle \prod_{k=1}^{4}u_{2k}k=1∏4​u2k​
    b.
∏k=612ukuk+1\displaystyle \prod_{k=6}^{12}u_ku_{k+1}k=6∏12​uk​uk+1​
    c.
∏k=02u3k+1\displaystyle \prod_{k=0}^{2}u_{3k+1}k=0∏2​u3k+1​
Exercice 2
Calculer les sommes et produits proposés.
a.
∑k=110k\displaystyle \sum_{k=1}^{10}kk=1∑10​k
b.
∑k=17(2k−1)\displaystyle \sum_{k=1}^{7}(2k-1)k=1∑7​(2k−1)
c.
∑k=265k+1\displaystyle \sum_{k=2}^{6}5^{k+1}k=2∑6​5k+1
d.
∑k=16(−1)kk\displaystyle \sum_{k=1}^{6}(-1)^kkk=1∑6​(−1)kk
e.
∏k=15k\displaystyle \prod_{k=1}^{5}kk=1∏5​k
f.
∏k=38k+1k\displaystyle \prod_{k=3}^{8}\displaystyle\frac{k+1}{k}k=3∏8​kk+1​
g.
∏k=04ek\displaystyle \prod_{k=0}^{4}\text{e}^kk=0∏4​ek
h.
∏k=15(2k)\displaystyle \prod_{k=1}^{5}(2k)k=1∏5​(2k)

** Récurrence pour calculer des sommes

1.Démontrer par récurrence les égalités suivantes.
    a.Pour tout entier naturel
n
,
1+2+⋯+n=n(n+1)21+2+\cdots+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}1+2+⋯+n=2n(n+1)​
.
    b.Pour tout entier naturel
n
,
12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2+2^2+\cdots+n^2=\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)​
.c.Soit
q
 un réel différent de
1
. Pour tout entier naturel
n
,
1+q+q2+⋯+qn=1−qn+11−q1+q+q^2+\cdots+q^n=\displaystyle\frac{1-q^{n+1}}{1-q}1+q+q2+⋯+qn=1−q1−qn+1​
.d.Pour tout entier naturel
n
 non nul,
11×2+12×3+⋯+1n×(n+1)=nn+1\displaystyle\frac{1}{1 \times 2}+\displaystyle\frac{1}{2 \times 3}+\cdots+\displaystyle\frac{1}{n \times (n+1)}=\displaystyle\frac{n}{n+1}1×21​+2×31​+⋯+n×(n+1)1​=n+1n​
.e.Pour tout entier naturel
n
 non nul,
1+3+5+⋯+(2n−1)=n21+3+5+\cdots+(2n-1)=n^21+3+5+⋯+(2n−1)=n2
.
2.Réécrire chacune de ces égalités en utilisant le symbole
∑\displaystyle\sum∑
 pour le membre de gauche.

** Notation ∑ et opérations

On considère deux suites 
(un)(u_n)(un​)
 et 
(vn)(v_n)(vn​)
.
Soit
ppp
un nombre entier naturel.
Les sommes des
p+1p+1p+1
premiers termes de chacune des suites sont :
u0+u1+⋯+upu_0+u_1+\cdots +u_pu0​+u1​+⋯+up​
 et 
v0+v1+⋯+vpv_0+v_1+\cdots +v_pv0​+v1​+⋯+vp​
.
Pour calculer la somme
(u0+v0)+(u1+v1)+⋯+(up+vp)(u_0+v_0)+(u_1+v_1)+\cdots +(u_p+v_p)(u0​+v0​)+(u1​+v1​)+⋯+(up​+vp​)
, par associativité, on a :
(u0+v0)+(u1+v1)+⋯+(up+vp)=(u0+u1+⋯+up)+(v0+v1+⋯+vp)(u_0+v_0)+(u_1+v_1)+\cdots +(u_p+v_p)=(u_0+u_1+\cdots +u_p)+(v_0+v_1+\cdots +v_p)(u0​+v0​)+(u1​+v1​)+⋯+(up​+vp​)=(u0​+u1​+⋯+up​)+(v0​+v1​+⋯+vp​)
Soit 
∑k=0p(uk+vk)=∑k=0puk+∑k=0pvk\displaystyle \boxed{\sum_{k=0}^{p}(u_k+v_k) = \displaystyle \sum_{k=0}^{p}u_k + \sum_{k=0}^{p}v_k}k=0∑p​(uk​+vk​)=k=0∑p​uk​+k=0∑p​vk​​
.
Pour calculer la factorisation :
∑k=0p(a×uk)=au0+au1+⋯+aup=a(u0+u1+⋯+up)=a∑k=0puk\displaystyle \sum_{k=0}^{p}(a\times u_k) = au_0+au_1+\cdots +au_p = a(u_0+u_1+\cdots +u_p)=a\displaystyle \sum_{k=0}^{p}u_kk=0∑p​(a×uk​)=au0​+au1​+⋯+aup​=a(u0​+u1​+⋯+up​)=ak=0∑p​uk​
.
Soit : 
∑k=0p(a×uk)=a∑k=0puk\displaystyle \boxed{\sum_{k=0}^{p}(a\times u_k) = a\displaystyle \sum_{k=0}^{p}u_k}k=0∑p​(a×uk​)=ak=0∑p​uk​​
.
Cas particulier : on considère une suite
(un)(u_n)(un​)
constante.
Pour tout entier naturel
nnn
, on a : 
un=au_n=aun​=a
(où
aaa
est un nombre réel).
Alors 
∑k=0puk=∑k=0pa=(p+1)×a\displaystyle \sum_{k=0}^{p}u_k = \displaystyle \sum_{k=0}^{p}a = (p+1)\times ak=0∑p​uk​=k=0∑p​a=(p+1)×a
.
Plus généralement, 
∑k=pna=(n−p+1)×a\displaystyle \boxed{\sum_{k=p}^{n}a = (n-p+1)\times a}k=p∑n​a=(n−p+1)×a​
, où \(n-p+1\)est le nombre de termes de la somme.
Exercice
On considère la suite\((u_n)\) définie par
u0=1u_0=1u0​=1
 et, pour tout entier naturel
n, un+1=4un−9n,\ u_{n+1}=4u_n-9n, un+1​=4un​−9
.1. Montrer que, pour tout entier naturel\(n\),
un=3−2×4nu_n=3-2 \times 4^nun​=3−2×4n
.2. En déduire, pour tout entier naturel\(n\), la valeur de \(S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_k\).

*** Démontrer une formule de dérivation

Soit
n
 un entier naturel non nul.
On considère la fonction
f_n
 définie sur
\mathbb{R}
 par
f_n(x)=x^n
.
On admet que
f_n
 est dérivable sur
\mathbb{R}
.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
 non nul,
f_{n}^{'}(x)=nx^{n-1}
.

*** Un peu de géométrie

On appelle diagonale d'un polygone tout segment qui relie deux sommets non consécutifs. Par exemple, un triangle n'a pas de diagonales, un quadrilatère en a deux
1.Combien de diagonalesaun pentagone ? un hexagone ?
2.Démontrer que le nombre de diagonales d'un polygone à
n
 côtés est égal à
n(n−3)2\dfrac{n(n-3)}{2}2n(n−3)​
.

*** Prise d'initiative

Soit
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 la suite définie par
u_0=1
 et pour tout entier naturel
n
 par
un+1=unun2+1u_{n+1}=\dfrac{u_{n}}{\sqrt{u_{n}^{2}+1}}un+1​=un2​+1​un​​
.
Démontrer que
u2 025=145u_{2\,025}=\dfrac{1}{45}u2025​=451​
.