On considère la suite (
) définie par :
1.Calculer les valeurs exactes de
et
. On détaillera les calculs.
2.On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel
donné, affiche le terme
. Compléter les lignes
et
de ce programme.
3.On admet que tous les termes de la suite (
) sont strictement positifs.a.Montrer que, pour tout entier naturel
non nul, on a :
.b.En déduire que la suite (
) est décroissante.
4.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul, on a :
.
Polynésie, mai 2022 (partiel)
Soit (
) la suite définie par
et pour tout entier naturel
.
1. a.Calculer les termes
,
et
. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.b.Recopier le script Python ci-dessous et compléter les lignes
et
pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel
et renvoie la liste des premières valeurs de la suite (
) de
à
.
2.On admet que, pour tout entier naturel
,
est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite (
).
3. a.Conjecturer une expression de
en fonction de
.b.Démontrer par récurrence la conjecture précédente.