Revenir
Revenir

Les perles du BAC

\(\begin{cases} u_1&= \dfrac{1}{\text e} \\ \\u_{n+1}&= \dfrac{1}{\text e}(1+\frac{1}{n})u_n\;\text{pour...

Sommaire

Métropole, septembre 2023 (partiel)Polynésie, mai 2022 (partiel)

Métropole, septembre 2023 (partiel)

On considère la suite (
unu_nun​
) définie par :
{u1=1eun+1=1e(1+1n)un  pour tout entier  n⩾1\begin{cases} u_1&= \dfrac{1}{\text e} \\ \\u_{n+1}&= \dfrac{1}{\text e}(1+\frac{1}{n})u_n\;\text{pour tout entier} \;n\geqslant1\end{cases}⎩⎨⎧​u1​un+1​​=e1​=e1​(1+n1​)un​pour tout entiern⩾1​
1.Calculer les valeurs exactes de
u2u_2u2​
 et
u3u_3u3​
. On détaillera les calculs.
2.On considère une fonction écrite en langage Python qui, pour un entier naturel 
nnn
donné, affiche le terme
unu_nun​
. Compléter les lignes
L2L_2L2​
 et
L4L_4L4​
 de ce programme.
L1def suite(n): L2.................L3for i in range(1, n): L4u=.....................L5return u\begin{array}{| l| } \hline L_1 & \texttt{def suite(n): } \\ L_2 & \quad................. \\ L_3 &\quad \texttt{for i in range(1, n): } \\ L_4 &\quad\quad\texttt{u=.....................} \\ L_5 &\texttt{return u} \\ \hline \end{array}L1​L2​L3​L4​L5​​def suite(n): .................for i in range(1, n): u=.....................return u​​
3.On admet que tous les termes de la suite (
unu_nun​
) sont strictement positifs.a.Montrer que, pour tout entier naturel 
nnn
non nul, on a :
1+1n⩽e\displaystyle1+\frac{1}{n}\leqslant \text e1+n1​⩽e
.b.En déduire que la suite (
unu_nun​
) est décroissante.
4.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul, on a :
un=nen\displaystyle u_n = \frac{n}{\text e^n}un​=enn​
.

Polynésie, mai 2022 (partiel)

Soit (
unu_nun​
) la suite définie par
u0=1u_0=1u0​=1
 et pour tout entier naturel
nnn
un+1=un1+unu_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}un+1​=1+un​un​​
.
1. a.Calculer les termes 
u1u_1u1​
,
u2u_2u2​
 et
u3u_3u3​
. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.b.Recopier le script Python ci-dessous et compléter les lignes
333
 et 
666
pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel
kkk
 et renvoie la liste des premières valeurs de la suite (
unu_nun​
) de
u0u_0u0​
 à
uku_kuk​
.
1.def liste(k) : 2.L=[] 3.u=... 4.for i in range(0, k+1):5.L.append(u)6.u=....7.return(L)\begin{array}{| l| } \hline 1. & \texttt{def liste(k) : } \\ 2. &\quad\qquad \texttt{L=[] } \\ 3. &\quad\qquad \texttt{u=... } \\ 4. &\quad\qquad\texttt{for i in range(0, k+1):} \\ 5. &\qquad\qquad\texttt{L.append(u)} \\ 6. &\qquad\qquad\texttt{u=....}\\ 7. &\quad\qquad\texttt{return(L)}\\ \hline \end{array}1.2.3.4.5.6.7.​def liste(k) : L=[] u=... for i in range(0, k+1):L.append(u)u=....return(L)​​
2.On admet que, pour tout entier naturel 
nnn
,
unu_nun​
 est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite (
unu_nun​
).
3. a.Conjecturer une expression de
unu_nun​
 en fonction de
nnn
.b.Démontrer par récurrence la conjecture précédente.