☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

3.On peut remarquer que, pour tout entier naturel

n

,

10^n+1=10^n-1+2

 puis utiliser le fait que

10^n-1

 est un multiple de 9.

1.On pourra se ramener à l'étude du signe d'un quotient.
2.Pour l'hérédité, on peut noter que

\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}x_{k}}\right)\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{x_{k}}}\right)=\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_{k}}\right)\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_{k}}}\right)+x_{n+1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_{k}}}+\dfrac{1}{x_{n+1}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_{k}}+1

puis utiliser la question 1.

Énoncé

On suppose que, pour tout entier

n

,

x^3_0 + x^3_1 + \ldots + x^3_n = (x_0 + x_1 + \ldots + x_n)^2

.

Initialisation :

x_0

 vérifie

x^3_0=x_0^2

 soit

x_0=0

ou

x_0=1

.

On a bien 

\displaystyle 0=\frac{0(0 + 1)}{2}

et

\displaystyle1 = \frac{1(1+1)}{2}

.

Soit

n \in \mathbb{N}

. On suppose qu'il existe un entier naturel

m

qui vérifie : 

\displaystyle x_0+\ldots+x_n=\frac{m(m+1)}{2}

.

Solution

Il s'agit de démontrer qu'il existe un entier naturel

p

tel que

x_0 + \ldots + x_{n+1} =\dfrac{p(p + 1)}{2}

.

D'après l'énoncé,

x^3_0+\ldots+x^3_{x+1}=(x_0+\ldots+x_{n+1})^2

, soit en utilisant l'hypothèse de récurrence,

x_0^3+\ldots+x^3_{n+1}=\left( \dfrac{m(m+1)}{2}+x_{n+1}\right)^2

.
De plus, 

x^3_0+x^3_1+\ldots+x^3_n=(x_0+x_1+\ldots+x_n)^2=\left(\dfrac{m(m+1)}{2}\right)^2

, ce qui donne : 

\displaystyle \frac{m^2(m+1)^2}{4}+x^3_{n+1}=\frac{m^2(m+1)^2}{4}+m(m+1)x_{n+1}+x^2_{n+1}

.

On obtient alors une condition nécessaire sur

x_{n+1}

, à savoir : 

x^3_{n+1} - x^2_{n+1} - m(m + 1)x_{n+1} = 0

 équivalente à

x_{n+1}=0

ou

x^2_{n+1} - x_{n+1} - m(m + 1) = 0

.

Cette dernière équation a pour discriminant :  

\Delta = 1 + 4m(m + 1) = 4m^2 + 4m + 1 = (2m + 1)^2

.

Il y a donc deux solutions :

\displaystyle\frac{1+\sqrt{(2m+1)^2}}{2}

ou

\displaystyle\frac{1-\sqrt{(2m+1)^2}}{2}

 soit

\displaystyle\frac{1\pm(2m+1)}{2}

 soit enfin

m + 1

ou

-m

.

Reste à vérifier que ces

3

valeurs conviennent :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si

x_{n+1} = 0

, alors

\displaystyle x_0 + \ldots + x_{n+1} = \frac{m(m + 1)}{2}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si

x_{n+1} = m + 1

, alors

\displaystyle x_0+\ldots+x_{n+1}=\frac{m(m+1)}{2}+m+1=\frac{(m+1)(m+2)}{2}

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si

x_{n+1}=-m

, alors

\displaystyle x_0+\ldots+x_{n+1}=\frac{m(m+1)}{2}-m=\frac{(m-1)m}{2}

Par récurrence,

\forall n \in\mathbb{N}

,

\exists m \in\mathbb{N}

 tel que

\displaystyle x_0+\ldots+x_n=\frac{m(m+1)}{2}

.

⚒ Quand une propriété est héréditaire mais fausse