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☆ À n'ouvrir qu'en cas d'urgence ☆

3.On peut remarquer que, pour tout entier naturel

Sommaire

⚒ Quand une propriété est héréditaire mais fausse⚒ Un produit de sommes☛ Étonnant, non ?

⚒ Quand une propriété est héréditaire mais fausse

3.On peut remarquer que, pour tout entier naturel
n
,
10^n+1=10^n-1+2
 puis utiliser le fait que
10^n-1
 est un multiple de 9.

⚒ Un produit de sommes

1.On pourra se ramener à l'étude du signe d'un quotient.
2.Pour l'hérédité, on peut noter que
(∑k=1n+1xk)(∑k=1n+11xk)=(∑k=1nxk)(∑k=1n1xk)+xn+1∑k=1n1xk+1xn+1∑k=1nxk+1\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}x_{k}}\right)\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{x_{k}}}\right)=\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_{k}}\right)\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_{k}}}\right)+x_{n+1}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_{k}}}+\dfrac{1}{x_{n+1}}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_{k}}+1(k=1∑n+1​xk​)(k=1∑n+1​xk​1​)=(k=1∑n​xk​)(k=1∑n​xk​1​)+xn+1​k=1∑n​xk​1​+xn+1​1​k=1∑n​xk​+1
puis utiliser la question 1.

☛ Étonnant, non ?

Énoncé
On suppose que, pour tout entier
nnn
,
x03+x13+…+xn3=(x0+x1+…+xn)2x^3_0 + x^3_1 + \ldots + x^3_n = (x_0 + x_1 + \ldots + x_n)^2x03​+x13​+…+xn3​=(x0​+x1​+…+xn​)2
.
Initialisation :
x0x_0x0​
 vérifie
x03=x02x^3_0=x_0^2x03​=x02​
 soit
x0=0x_0=0x0​=0
 ou
x0=1x_0=1x0​=1
.
On a bien 
0=0(0+1)2\displaystyle 0=\frac{0(0 + 1)}{2}0=20(0+1)​
 et
1=1(1+1)2\displaystyle1 = \frac{1(1+1)}{2}1=21(1+1)​
.
Soit
n∈Nn \in \mathbb{N}n∈N
. On suppose qu'il existe un entier naturel
mmm
qui vérifie : 
x0+…+xn=m(m+1)2\displaystyle x_0+\ldots+x_n=\frac{m(m+1)}{2}x0​+…+xn​=2m(m+1)​
.
Solution
Il s'agit de démontrer qu'il existe un entier naturel
ppp
tel que
x0+…+xn+1=p(p+1)2x_0 + \ldots + x_{n+1} =\dfrac{p(p + 1)}{2}x0​+…+xn+1​=2p(p+1)​
.
D'après l'énoncé,
x03+…+xx+13=(x0+…+xn+1)2x^3_0+\ldots+x^3_{x+1}=(x_0+\ldots+x_{n+1})^2x03​+…+xx+13​=(x0​+…+xn+1​)2
, soit en utilisant l'hypothèse de récurrence,
x03+…+xn+13=(m(m+1)2+xn+1)2x_0^3+\ldots+x^3_{n+1}=\left( \dfrac{m(m+1)}{2}+x_{n+1}\right)^2x03​+…+xn+13​=(2m(m+1)​+xn+1​)2
.
De plus, 
x03+x13+…+xn3=(x0+x1+…+xn)2=(m(m+1)2)2x^3_0+x^3_1+\ldots+x^3_n=(x_0+x_1+\ldots+x_n)^2=\left(\dfrac{m(m+1)}{2}\right)^2x03​+x13​+…+xn3​=(x0​+x1​+…+xn​)2=(2m(m+1)​)2
, ce qui donne : 
m2(m+1)24+xn+13=m2(m+1)24+m(m+1)xn+1+xn+12\displaystyle \frac{m^2(m+1)^2}{4}+x^3_{n+1}=\frac{m^2(m+1)^2}{4}+m(m+1)x_{n+1}+x^2_{n+1}4m2(m+1)2​+xn+13​=4m2(m+1)2​+m(m+1)xn+1​+xn+12​
.
On obtient alors une condition nécessaire sur
xn+1x_{n+1}xn+1​
, à savoir : 
xn+13−xn+12−m(m+1)xn+1=0x^3_{n+1} - x^2_{n+1} - m(m + 1)x_{n+1} = 0xn+13​−xn+12​−m(m+1)xn+1​=0
 équivalente à
xn+1=0x_{n+1}=0xn+1​=0
 ou 
xn+12−xn+1−m(m+1)=0x^2_{n+1} - x_{n+1} - m(m + 1) = 0xn+12​−xn+1​−m(m+1)=0
.
Cette dernière équation a pour discriminant :  
Δ=1+4m(m+1)=4m2+4m+1=(2m+1)2\Delta = 1 + 4m(m + 1) = 4m^2 + 4m + 1 = (2m + 1)^2Δ=1+4m(m+1)=4m2+4m+1=(2m+1)2
.
Il y a donc deux solutions :
1+(2m+1)22\displaystyle\frac{1+\sqrt{(2m+1)^2}}{2}21+(2m+1)2​​
 ou
1−(2m+1)22\displaystyle\frac{1-\sqrt{(2m+1)^2}}{2}21−(2m+1)2​​
 soit
1±(2m+1)2\displaystyle\frac{1\pm(2m+1)}{2}21±(2m+1)​
 soit enfin
m+1m + 1m+1
 ou
−m-m−m
.
Reste à vérifier que ces
333
valeurs conviennent :
    • Si
xn+1=0x_{n+1} = 0xn+1​=0
, alors
x0+…+xn+1=m(m+1)2\displaystyle x_0 + \ldots + x_{n+1} = \frac{m(m + 1)}{2}x0​+…+xn+1​=2m(m+1)​
    • Si
xn+1=m+1x_{n+1} = m + 1xn+1​=m+1
, alors
x0+…+xn+1=m(m+1)2+m+1=(m+1)(m+2)2\displaystyle x_0+\ldots+x_{n+1}=\frac{m(m+1)}{2}+m+1=\frac{(m+1)(m+2)}{2}x0​+…+xn+1​=2m(m+1)​+m+1=2(m+1)(m+2)​
    • Si
xn+1=−mx_{n+1}=-mxn+1​=−m
, alors
x0+…+xn+1=m(m+1)2−m=(m−1)m2\displaystyle x_0+\ldots+x_{n+1}=\frac{m(m+1)}{2}-m=\frac{(m-1)m}{2}x0​+…+xn+1​=2m(m+1)​−m=2(m−1)m​
Par récurrence,
∀n∈N\forall n \in\mathbb{N}∀n∈N
,
∃m∈N\exists m \in\mathbb{N}∃m∈N
 tel que
x0+…+xn=m(m+1)2\displaystyle x_0+\ldots+x_n=\frac{m(m+1)}{2}x0​+…+xn​=2m(m+1)​
.