Exercices vers le supérieur

Démontrer les égalités suivantes par récurrence.

1.

\forall n\in \mathbb{N},

\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}k^{2}=(-1)^{n}\dfrac{n(n+1)}{2}

2.

\forall n\in \mathbb{N}^*,

\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}

Pour tout entier naturel non nul `n`, on appelle factorielle

n

 le nombre entier noté 

n!

 égal au produit des entiers de 1 à

n

, soit

n!=\displaystyle \prod _{k=1}^nk

. Par convention, \(0!=1\).

Démontrer par récurrence que :

1.

\forall n\geqslant0

,

\displaystyle \prod_{k=0}^{n} (2k+1)=\dfrac{(2n+1)!}{2^nn!}

2.

\forall n\geqslant1

,

\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} \dfrac{n!}{k!}=\displaystyle \prod_{k=1}^{n} k^k

Soit

n

 un entier naturel supérieur ou égal à 1 et

u

 une fonction dérivable sur un intervalle`I`.
En utilisant la formule de dérivation d'un produit, démontrer que 

u^n

 est dérivable sur`I` et que

(u^n)'=n u^(n-1)u'

.

Le principe de récurrence double s'énonce comme suit.

Soit 

P_n

une propriété dépendant de l'entier naturel

n

. Supposons que :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;il existe un entier 

n_0

tel que 

P_{n_0}

et

P_{n_0+1}

soient vraies(initialisation);

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;pour tout entier

n \geqslant n_0

, si 

P_n

et

P_{n+1}

 sont vraies, alors 

P_{n+2}

est vraie(hérédité).

Alors,

P_n

est vraie pour tout entier naturel

n \geqslant n_0

.

Exercice

On considère la suite

\left(F_n\right)

 (dite de Fibonacci) définie par : 

F_0=0, F_1=1

 et, pour tout entier naturel

n

,

F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}

.

1.Calculer

F_2

,

F_3

,...,

F_{10}

.
2. a.Développer

\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}

et

\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}

.b.Démontrer que

\forall n\in\mathbb{N},

F_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right)

.

Le principe de récurrence forte s'énonce comme suit.

Soit 

P_n

une propriété dépendant de l'entier naturel

n

. Supposons que :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;il existe un entier 

n_0

tel que 

P_{n_0}

est vraie (initialisation) ;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;pour tout entier

n \geqslant n_0

, si \(P_{n_0}\), 

P_{n_0+1}

, ..., `P_n` sont vraies, alors

P_{n+1}

est vraie (hérédité).

Alors, 

P_n

est vraie pour tout entier naturel

n \geqslant n_0

.

Exercice 1

Soit

\left(u_{n}\right)

 la suite définie par : 

u_0=1

 et\(\forall n\in\mathbb{N}\), `u_{n+1}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}}u_{k}`. Démontrer que

\forall n\in\mathbb{N}^{*}, u_{n}=2^{n-1}

.

Exercice 2

1.Démontrer que tout entier naturel non nul s'écrit comme un produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair, c'est-à-dire 

\forall n\in\mathbb{N}^*,

\exists\left(p,q\right)\in\mathbb{N}^{2}

;

n=2^{p}\left(2q+1\right)

.
2. Cette décomposition est-elle unique ?

1.Démontrer que, pour tout réel

x>0

,

x+\dfrac{1}{x}\geqslant2

.
2.Soit

x_1, x_2,...,x_n

 des réels strictement positifs. Démontrerque, pour tout entier naturelnon nul

n

,

\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k\right)\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_k}\right)\geqslant n^2

.

Remarque

Cette inégalité est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy Schwarz.
Si

x_1,...,x_n,y_1,...,y_n

 sont des réels positifs, alors 

\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k^2\right)\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}y_k^2\right)\geqslant \left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_ky_k\right)^2

.

Soit

n

 un entier naturel. On désigne par

P_n

et

Q_n

 les propriétés suivantes.

P_n

 :«`10^n-1` est un multiple de 9 ».

Q_n

 : «`10^n+1` est un multiple de 9 ».

1.

P_0

et

Q_0

 sont-elles vraies ?
2.Démontrer que, pour tout entier naturel

n

,

P_n

 est vraie.
3.Démontrer que, pour tout entier naturel

n

,

Q_n

 est fausse.

Soit

\left(x_{n}\right)

 une suite de réels qui vérifient, pour tout entier naturel

n

,

x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+...+x_n^{3}=\left(x_{0}+x_{1}+...+x_{n}\right)^{2}

.
Démontrer que 

\forall n\in\mathbb{N}, \exists m\in\mathbb{N}

 tel que 

x_{0}+x_{1}+...+x_{n}=\dfrac{m\left(m+1\right)}{2}

.

Des sommes