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Exercices vers le supérieur

Démontrer les égalités suivantes par récurrence.

Sommaire

Des sommesDes produitsDémontrer une formule de dérivationRécurrence double - Grand OralRécurrence forte☆ Un produit de sommes☆ Quand une propriété est héréditaire mais fausse☆ Étonnant, non ?

Des sommes

Démontrer les égalités suivantes par récurrence.
1.
∀n∈N,\forall n\in \mathbb{N},∀n∈N,
∑k=0n(−1)kk2=(−1)nn(n+1)2\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}k^{2}=(-1)^{n}\dfrac{n(n+1)}{2}k=0∑n​(−1)kk2=(−1)n2n(n+1)​
2.
∀n∈N∗,\forall n\in \mathbb{N}^*,∀n∈N∗,
∑k=12n(−1)k+1k=∑k=1n1n+k\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}k=1∑2n​k(−1)k+1​=k=1∑n​n+k1​

Des produits

Pour tout entier naturel non nul `n`, on appelle factorielle
n
 le nombre entier noté 
n!
 égal au produit des entiers de 1 à
n
, soit
n!=∏k=1nkn!=\displaystyle \prod _{k=1}^nkn!=k=1∏n​k
. Par convention, \(0!=1\).
Démontrer par récurrence que :
1.
∀n⩾0\forall n\geqslant0∀n⩾0
, 
∏k=0n(2k+1)=(2n+1)!2nn!\displaystyle \prod_{k=0}^{n} (2k+1)=\dfrac{(2n+1)!}{2^nn!}k=0∏n​(2k+1)=2nn!(2n+1)!​
2.
∀n⩾1\forall n\geqslant1∀n⩾1
,  
∏k=0n−1n!k!=∏k=1nkk\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1} \dfrac{n!}{k!}=\displaystyle \prod_{k=1}^{n} k^kk=0∏n−1​k!n!​=k=1∏n​kk

Démontrer une formule de dérivation

Soit
n
 un entier naturel supérieur ou égal à 1 et
u
 une fonction dérivable sur un intervalle`I`.
En utilisant la formule de dérivation d'un produit, démontrer que 
u^n
 est dérivable sur`I` et que
(u^n)'=n u^(n-1)u'
.

Récurrence double - Grand Oral

Le principe de récurrence double s'énonce comme suit.
Soit 
P_n
une propriété dépendant de l'entier naturel
n
. Supposons que :
    • il existe un entier 
n_0
tel que 
P_{n_0}
et
P_{n_0+1}
soient vraies(initialisation);
    • pour tout entier
n⩾n0n \geqslant n_0n⩾n0​
, si 
P_n
et 
P_{n+1}
 sont vraies, alors 
P_{n+2}
est vraie(hérédité).
Alors,
P_n
est vraie pour tout entier naturel
n⩾n0n \geqslant n_0n⩾n0​
.
Exercice
On considère la suite
(Fn)\left(F_n\right)(Fn​)
 (dite de Fibonacci) définie par : 
F0=0,F1=1F_0=0, F_1=1F0​=0,F1​=1
 et, pour tout entier naturel
n
,
F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}
.
1.Calculer
F2F_2F2​
, 
F3F_3F3​
,...,
F10F_{10}F10​
.
2. a.Développer
(1+52)2\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{2}(21+5​​)2
 et
(1−52)2\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{2}(21−5​​)2
.b.Démontrer que
∀n∈N,\forall n\in\mathbb{N},∀n∈N,
Fn=15((1+52)n−(1−52)n)F_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right)Fn​=5​1​((21+5​​)n−(21−5​​)n)
.

Récurrence forte

Le principe de récurrence forte s'énonce comme suit.
Soit 
P_n
une propriété dépendant de l'entier naturel
n
. Supposons que :
    • il existe un entier 
n_0
tel que 
P_{n_0}
est vraie (initialisation) ;
    • pour tout entier
n⩾n0n \geqslant n_0n⩾n0​
, si \(P_{n_0}\), 
Pn0+1P_{n_0+1}Pn0​+1​
, ..., `P_n` sont vraies, alors
P_{n+1}
est vraie (hérédité).
Alors, 
P_n
est vraie pour tout entier naturel
n⩾n0n \geqslant n_0n⩾n0​
.
Exercice 1
Soit
(un)\left(u_{n}\right)(un​)
 la suite définie par : 
u_0=1
 et\(\forall n\in\mathbb{N}\), `u_{n+1}=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum}}u_{k}`. Démontrer que
∀n∈N∗,un=2n−1\forall n\in\mathbb{N}^{*}, u_{n}=2^{n-1}∀n∈N∗,un​=2n−1
.
Exercice 2
1.Démontrer que tout entier naturel non nul s'écrit comme un produit d'une puissance de 2 et d'un nombre impair, c'est-à-dire 
∀n∈N∗,\forall n\in\mathbb{N}^*,∀n∈N∗,
∃(p,q)∈N2\exists\left(p,q\right)\in\mathbb{N}^{2}∃(p,q)∈N2
 ;
n=2p(2q+1)n=2^{p}\left(2q+1\right)n=2p(2q+1)
.
2. Cette décomposition est-elle unique ?

☆ Un produit de sommes

1.Démontrer que, pour tout réel
x>0
, 
x+1x⩾2x+\dfrac{1}{x}\geqslant2x+x1​⩾2
.
2.Soit
x_1, x_2,...,x_n
 des réels strictement positifs. Démontrerque, pour tout entier naturelnon nul
n
,
(∑k=1nxk)(∑k=1n1xk)⩾n2\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k\right)\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{x_k}\right)\geqslant n^2(k=1∑n​xk​)(k=1∑n​xk​1​)⩾n2
.
Remarque
Cette inégalité est un cas particulier de l'inégalité de Cauchy Schwarz.
Si
x_1,...,x_n,y_1,...,y_n
 sont des réels positifs, alors 
(∑k=1nxk2)(∑k=1nyk2)⩾(∑k=1nxkyk)2\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k^2\right)\left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}y_k^2\right)\geqslant \left(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_ky_k\right)^2(k=1∑n​xk2​)(k=1∑n​yk2​)⩾(k=1∑n​xk​yk​)2
.

☆ Quand une propriété est héréditaire mais fausse

Soit
n
 un entier naturel. On désigne par
PnP_nPn​
 et
Q_n
 les propriétés suivantes.
P_n
 :«`10^n-1` est un multiple de 9 ».
Q_n
 : «`10^n+1` est un multiple de 9 ».
1.
P_0
 et
Q_0
 sont-elles vraies ?
2.Démontrer que, pour tout entier naturel
n
,
P_n
 est vraie.
3.Démontrer que, pour tout entier naturel
n
,
Q_n
 est fausse.

☆ Étonnant, non ?

Soit
(xn)\left(x_{n}\right)(xn​)
 une suite de réels qui vérifient, pour tout entier naturel
n
, 
x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+...+x_n^{3}=\left(x_{0}+x_{1}+...+x_{n}\right)^{2}
.
Démontrer que 
∀n∈N,∃m∈N\forall n\in\mathbb{N}, \exists m\in\mathbb{N}∀n∈N,∃m∈N
 tel que 
x0+x1+...+xn=m(m+1)2x_{0}+x_{1}+...+x_{n}=\dfrac{m\left(m+1\right)}{2}x0​+x1​+...+xn​=2m(m+1)​
.