Limites et opérations

✎ ☛ Lever une indétermination dans une somme

Méthode

Pour lever une indétermination dans une somme, il peut être judicieux defactoriser par le terme qui tend« le plus vite » vers l'infinipour ensuite utiliser les règles sur les produits.

Énoncé Cas d'une suite polynomiale

Déterminer

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2n^4-n^2-5\right)

.

Solution

\lim\limits_{n \to +\infty}2n^4=+\infty

et

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-n^2-5\right)=-\infty

On constate que nous avons affaire à une forme indéterminée.
On va donc appliquer la méthode proposée en mettant en facteur

n^4

(de façon générale, on choisit la plus grande puissance de`n` lorsque la suite est du type polynomiale).

Pour tout entier naturel

n \neq 0

, on a : 

2n^4-n^2-5=n^4\left(\displaystyle\frac{2n^4}{n^4}-\displaystyle\frac{n^2}{n^4}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)

soit 

2n^4-n^2-5=n^4\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)

.

Passons maintenant aux calculs de limites.

\lim\limits_{n \to +\infty}n^4=+\infty

et

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)=2

donc par produit

\lim\limits_{n \to +\infty}n^4\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)=+\infty

.

✎ ☛ Lever une indétermination dans un quotient

Méthode

Pour lever une indétermination dans un quotient, il peut être judicieux defactoriser par le terme qui tend «le plus vite » vers l'infini au numérateur et le terme qui tend« le plus vite 
» vers l'infini au dénominateur. On simplifie ensuite la fraction, puis on utilise les règles sur les produits et quotients.

Énoncé 1Cas d'une suite définie par une fraction rationnelle

Déterminer

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{3n-5}{2n+4}\right)

.

Solution

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3n-5\right)=+\infty

et

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2n+4\right)=+\infty

On constate que nous avons affaire à une forme indéterminée.
On va donc appliquer la méthode proposée en mettant 

n

en facteur au numérateur et au dénominateur.

Pour tout entier naturel

n \neq 0

, on a : 

\displaystyle\frac{3n-5}{2n+4}=\displaystyle\frac{n\left(3-\displaystyle\frac{5}{n}\right)}{n\left(2+\displaystyle\frac{4}{n}\right)}

\displaystyle\frac{3n-5}{2n+4}=\displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{5}{n}}{2+\displaystyle\frac{4}{n}}

Passons maintenant aux calculs de limites.

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3-\displaystyle\frac{5}{n}\right)=3

et

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2+\displaystyle\frac{4}{n}\right)=2

w

Donc par quotient

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{5}{n}}{2+\displaystyle\frac{4}{n}}\right)=\displaystyle\frac{3}{2}

.

Énoncé 2

Déterminer

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{4n^2-5n+8}{6n-7}\right)

.

Solution

Pour tout entier naturel

n \neq 0

, on a 

\displaystyle\frac{4n^2+5n+8}{6n-7}=\displaystyle\frac{n^2\left(4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}\right)}{n\left(6-\displaystyle\frac{7}{n}\right)}

\displaystyle\frac{4n^2+5n+8}{6n-7}=n \times \displaystyle\frac{4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}}{6-\displaystyle\frac{7}{n}}

Passons maintenant aux calculs de limites.

\lim\limits_{n \to +\infty}n=+\infty

,

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}\right)=4

et

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(6-\displaystyle\frac{7}{n}\right)=6

Donc par quotient et produit

\lim\limits_{n \to +\infty}\left(n \times \displaystyle\frac{4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}}{6-\displaystyle\frac{7}{n}}\right)=+\infty

.

Limites et opérations

Limites et somme

Tableau récapitulatif : limite d'une somme de suites

☛ Exemples d'application

Limites et produit

Tableau récapitulatif : limite d'un produit de suites

☛ Exemples d'application

Limites et quotient

Tableau récapitulatif : limite d'un quotient de suites

☛ Exemples d'application

Lever une indétermination

✎ ☛ Lever une indétermination dans une somme

✎ ☛ Lever une indétermination dans un quotient