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Limites et opérations

deux suites. On s'intéresse à la limite de la suite

Sommaire

Limites et sommeTableau récapitulatif : limite d'une somme de suites☛ Exemples d'application
Limites et produitTableau récapitulatif : limite d'un produit de suites☛ Exemples d'application
Limites et quotientTableau récapitulatif : limite d'un quotient de suites☛ Exemples d'application
Lever une indétermination✎ ☛ Lever une indétermination dans une somme✎ ☛ Lever une indétermination dans un quotient

Limites et somme

Tableau récapitulatif : limite d'une somme de suites

Propriété
Soit
(u_n)
 et
(v_n)
deux suites. On s'intéresse à la limite de la suite
(u_n+v_n)
.
FIsignifieFormeIndéterminée.
lim⁡n→+∞unℓ1∈Rℓ∈Rℓ∈R+∞+∞−∞lim⁡n→+∞vnℓ2∈R+∞−∞+∞−∞−∞lim⁡n→+∞(un+vn)ℓ1+ℓ2+∞−∞+∞FI−∞\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R} & +\infty & \color{red}{+\infty} & -\infty\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}v_n} & \ell_2 \in \mathbb{R} & +\infty & -\infty & +\infty & \color{red}{-\infty} & -\infty\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}\left(u_{n}+v_{n}\right)} & \ell_1+\ell_2 & +\infty & -\infty & +\infty & \color{red}{\textbf{FI}} & -\infty \\ \hline \end{array}n→+∞lim​un​n→+∞lim​vn​n→+∞lim​(un​+vn​)​ℓ1​∈Rℓ2​∈Rℓ1​+ℓ2​​ℓ∈R+∞+∞​ℓ∈R−∞−∞​+∞+∞+∞​+∞−∞FI​−∞−∞−∞​​
Par exemple, l'avant-dernière colonne du tableau signifie que, si
lim⁡n→+∞un=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=+\inftyn→+∞lim​un​=+∞
 et
lim⁡n→+∞vn=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=-\inftyn→+∞lim​vn​=−∞
, on ne peut pas conclure directement.
Remarque
Attention ! Forme indéterminée ne signifie pas que la suite
(u_n+v_n)
n'a pas de limite ! En effet,
    • Soit
(u_n)
définie par 
u_n=n²
  et
(v_n)
définie par 
vn=n2+1v_n=n2+1vn​=n2+1
.
On a
lim⁡n→+∞n2=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\inftyn→+∞lim​n2=+∞
 et
lim⁡n→+∞(−n2+1)=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-n^2+1\right)=-\inftyn→+∞lim​(−n2+1)=−∞
.Or, 
n^2-n^2+1=1
 donc
lim⁡n→+∞(n2−n2+1)=1\lim\limits_{n \to +\infty}\left(n^2-n^2+1\right)=1n→+∞lim​(n2−n2+1)=1
.Dans ce cas, la suite 
(u_n+v_n)
a pour limite
1
.
    • Soit
(u_n)
définie par 
u_n=2n²
  et
(v_n)
définie par 
vn=−n2v_n=-n^2vn​=−n2
.On a 
lim⁡n→+∞2n2=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}2n^2=+\inftyn→+∞lim​2n2=+∞
 et
lim⁡n→+∞−n2=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}-n^2=-\inftyn→+∞lim​−n2=−∞
.Or,
2n^2-n^2=n^2
 donc
lim⁡n→+∞(2n2−n2)=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2n^2-n^2\right)=+\inftyn→+∞lim​(2n2−n2)=+∞
.Dans ce cas, la suite
(un+vn)(u_n+v_n)(un​+vn​)
a pour limite
+\infty
.

☛ Exemples d'application

Énoncé 1
Calculer
lim⁡n→+∞(−n2+1n)\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-n^2+\displaystyle\frac{1}{n}\right)n→+∞lim​(−n2+n1​)
.
Solution
lim⁡n→+∞−n2=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}-n^2=-\inftyn→+∞lim​−n2=−∞
 et
lim⁡n→+∞1n=0\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{n}=0n→+∞lim​n1​=0
 donc par somme 
lim⁡n→+∞(−n2+1n)=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-n^2+\displaystyle\frac{1}{n}\right)=-\inftyn→+∞lim​(−n2+n1​)=−∞
.Énoncé 2
Calculer
lim⁡n→+∞(en+n)\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\text{e}^n+\sqrt{n}\right)n→+∞lim​(en+n​)
.
Solution
lim⁡n→+∞en=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}^n=+\inftyn→+∞lim​en=+∞
 et
lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\sqrt{n}=+\inftyn→+∞lim​n​=+∞
 donc par somme 
lim⁡n→+∞(en+n)=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\text{e}^n+\sqrt{n}\right)=+\inftyn→+∞lim​(en+n​)=+∞
.Énoncé  3
Calculer
lim⁡n→+∞(1+1n2)\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)n→+∞lim​(1+n21​)
.
Solution
lim⁡n→+∞1=1\lim\limits_{n \to +\infty}1= 1n→+∞lim​1=1
et
lim⁡n→+∞1n2=0\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}=0n→+∞lim​n21​=0
 donc par somme 
lim⁡n→+∞(1+1n2)=1\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{n^2}\right)=1n→+∞lim​(1+n21​)=1
.

Limites et produit

Tableau récapitulatif : limite d'un produit de suites

Propriété
Soit
(u_n)
 et
(v_n)
deux suites. On s'intéresse à la limite de la suite 
(u_n v_n)
.
FIsignifieFormeIndéterminée.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R}, \ell\neq 0 & \pm \infty & \color{red}{\pm \infty} \\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}v_n} & \ell_2 \in \mathbb{R} & \pm \infty & \pm \infty & \color{red}{0}\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n \times v_n} & \ell_1\times \ell_2 & \pm \infty \text{ (règle des signes)} & \pm \infty \text{( règle des signes)} & \color{red}{\textbf{FI}} \\ \hline \end{array}
Par exemple, la dernière colonne du tableau signifie que, si
lim⁡n→+∞un=±∞\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\pm \inftyn→+∞lim​un​=±∞
 et
lim⁡n→+∞vn=0\lim\limits_{n \to +\infty}v_n=0n→+∞lim​vn​=0
, on ne peut pas conclure directement.
Remarque
Attention ! Forme indéterminée ne signifie pas que la suite 
(u_n v_n)
n'a pas de limite ! En effet
    • Soit
(u_n)
définie par 
u_n=n²
  et
(v_n)
définie par 
vn=1n2v_n=\frac{1}{n^2}vn​=n21​
.On a 
lim⁡n→+∞n2=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\inftyn→+∞lim​n2=+∞
 et
lim⁡n→+∞1n2=0\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}=0n→+∞lim​n21​=0
.Or
n2×1n2=1n^2 \times \displaystyle\frac{1}{n^2}=1n2×n21​=1
 donc
lim⁡n→+∞n2×1n2=1\lim\limits_{n \to +\infty}n^2 \times \displaystyle\frac{1}{n^2}=1n→+∞lim​n2×n21​=1
.Dans ce cas, la suite
(unvn)(u_n v_n)(un​vn​)
a pour limite
1
.
    • Soit
(u_n)
définie par 
u_n=n^3
  et
(v_n)
définie par 
vn=1n2v_n=\frac{1}{n^2}vn​=n21​
.On a
lim⁡n→+∞n3=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^3=+\inftyn→+∞lim​n3=+∞
 et
lim⁡n→+∞1n2=0\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{1}{n^2}=0n→+∞lim​n21​=0
.Or
n3×1n2=nn^3 \times \displaystyle\frac{1}{n^2}=nn3×n21​=n
 donc
lim⁡n→+∞n3×1n2=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^3 \times \displaystyle\frac{1}{n^2}=+\inftyn→+∞lim​n3×n21​=+∞
.Dans ce cas, la suite
(unvn)(u_n v_n)(un​vn​)
a pour limite
+\infty
.

☛ Exemples d'application

Énoncé 1
Calculer
lim⁡n→+∞8n5\lim\limits_{n \to +\infty}8n^5n→+∞lim​8n5
.
Solution
lim⁡n→+∞8=8\lim\limits_{n \to +\infty}8=8n→+∞lim​8=8
 et
lim⁡n→+∞n5=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^5=+\inftyn→+∞lim​n5=+∞
 donc par produit
lim⁡n→+∞8n5=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}8n^5=+\inftyn→+∞lim​8n5=+∞
.
Énoncé 2
Calculer
lim⁡n→+∞−2n4\lim\limits_{n \to +\infty}-2n^4n→+∞lim​−2n4
.
Solution
lim⁡n→+∞−2=−2\lim\limits_{n \to +\infty}-2=-2n→+∞lim​−2=−2
 et 
lim⁡n→+∞n4=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^4=+\inftyn→+∞lim​n4=+∞
donc par produit
lim⁡n→+∞−2n4=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}-2n^4=-\inftyn→+∞lim​−2n4=−∞
.
Énoncé 3
Calculer
lim⁡n→+∞(1−n2)(n3+2)\lim\limits_{n \to +\infty}(1-n^2)(n^3+2)n→+∞lim​(1−n2)(n3+2)
.
Solution
\(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1-n^2\right)=-\infty\) et
lim⁡n→+∞(n3+2)=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(n^3+2\right)=+\inftyn→+∞lim​(n3+2)=+∞
donc par produit 
lim⁡n→+∞(1−n2)(n3+2)=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}(1-n^2)(n^3+2)=-\inftyn→+∞lim​(1−n2)(n3+2)=−∞
.
Énoncé 4
Calculer
lim⁡n→+∞(1n3−3)(1−en)\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{n^3}-3\right)(1-\text{e}^n)n→+∞lim​(n31​−3)(1−en)
.
Solution
\(\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{n^3}-3\right)=-3\) et
lim⁡n→+∞(1−en)=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(1-\text{e}^n\right)=-\inftyn→+∞lim​(1−en)=−∞
donc par produit 
lim⁡n→+∞(1n3−3)(1−en)=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{1}{n^3}-3\right)(1-\text{e}^n)=+\inftyn→+∞lim​(n31​−3)(1−en)=+∞
.

Limites et quotient

Tableau récapitulatif : limite d'un quotient de suites

Propriété
Soit
(u_n)
et
(v_n)
deux suites telles que la suite 
(v_n)
ne s'annule pas.
On s'intéresse à la limite de la suite 
(u_n/v_n)
.
FIsignifieFormeIndéterminée.
lim⁡n→+∞unℓ1∈Rℓ∈R, ℓ≠0ℓ∈R±∞0±∞lim⁡n→+∞vnℓ2∈R, ℓ2≠00±∞ℓ∈R0±∞lim⁡n→+∞unvnℓ1ℓ2±∞(reˋgle des signes)0±∞(reˋgle des signes)FIFI\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R},\ \ell\neq 0 & \ell \in \mathbb{R} & \pm \infty & \color{red}{0} & \color{red}{\pm \infty} \\\hline \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}v_n} & \ell_2 \in \mathbb{R},\ \ell_2\neq 0 & 0 & \pm \infty & \ell \in \mathbb{R} & \color{red}{0} & \color{red}{\pm \infty}\\\hline & & & & & &\\ \boldsymbol{\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{u_n}{v_n}} & \displaystyle\frac{\ell_1}{\ell_2} & \pm \infty \text{(règle des signes)} & 0 & \pm \infty \text{(règle des signes)} & \color{red}{\textbf{FI}} & \color{red}{\textbf{FI}} \\ & & & & & &\\ \hline\end{array}n→+∞lim​un​n→+∞lim​vn​n→+∞lim​vn​un​​​ℓ1​∈Rℓ2​∈R, ℓ2​=0ℓ2​ℓ1​​​ℓ∈R, ℓ=00±∞(reˋgle des signes)​ℓ∈R±∞0​±∞ℓ∈R±∞(reˋgle des signes)​00FI​±∞±∞FI​​
Remarques
1. À nouveau, on constate des cas d'indétermination. Rappelons que cela ne signifie pas qu'il n'existe pas de limite pour la suite
(u_n/v_n)
, mais juste que l'on ne peut pas conclure par un calcul direct. En effet,
lim⁡n→+∞n2=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^2=+\inftyn→+∞lim​n2=+∞
 et
lim⁡n→+∞n5=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^5=+\inftyn→+∞lim​n5=+∞
or
n2n5=1n3\displaystyle\frac{n^2}{n^5}=\displaystyle\frac{1}{n^3}n5n2​=n31​
 donc
lim⁡n→+∞n2n5=0\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{n^2}{n^5}=0n→+∞lim​n5n2​=0
.Dans ce cas, la suite quotient a pour limite
0
.
    • 
lim⁡n→+∞n7=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^7=+\inftyn→+∞lim​n7=+∞
 et
lim⁡n→+∞n3=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^3=+\inftyn→+∞lim​n3=+∞
.or
n7n3=n4\displaystyle\frac{n^7}{n^3}=n^4n3n7​=n4
 donc
lim⁡n→+∞n7n3=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\displaystyle\frac{n^7}{n^3}=+\inftyn→+∞lim​n3n7​=+∞
.Dans ce cas, la suite quotient a pour limite
+\infty
.
2. Les résultats de la colonne 3, et de la colonne 5 dans le cas où \(\ell =0\), sont conditionnés par le fait que la suite 
(v_n)
 soit de signe constant à partir d'un certain rang.

☛ Exemples d'application

Énoncé 1
Calculer
lim⁡n→+∞(4n−3)\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{4}{n-3}\right)n→+∞lim​(n−34​)
.
Solution\(\lim\limits_{n \to +\infty}4=4\)  et
lim⁡n→+∞(n−3)=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(n-3\right)=+\inftyn→+∞lim​(n−3)=+∞
 donc par quotient
lim⁡n→+∞(4n−3)=0\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{4}{n-3}\right)=0n→+∞lim​(n−34​)=0
.
Énoncé 2
Calculer
lim⁡n→+∞(en−2+1n)\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{\text{e}^n}{-2+\displaystyle\frac{1}{n}}\right)n→+∞lim​​−2+n1​en​​
.
Solution
lim⁡n→+∞en=+∞\lim\limits_{n \to +\infty} \text{e}^n=+\inftyn→+∞lim​en=+∞
et
lim⁡n→+∞(−2+1n)=−2\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-2+\displaystyle\frac{1}{n}\right)=-2n→+∞lim​(−2+n1​)=−2
  donc par quotient
lim⁡n→+∞(en−2+1n)=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{\text{e}^n}{-2+\displaystyle\frac{1}{n}}\right)=-\inftyn→+∞lim​​−2+n1​en​​=−∞
.

Lever une indétermination

✎ ☛ Lever une indétermination dans une somme

Méthode
Pour lever une indétermination dans une somme, il peut être judicieux defactoriser par le terme qui tend« le plus vite » vers l'infinipour ensuite utiliser les règles sur les produits.
Énoncé Cas d'une suite polynomiale
Déterminer
lim⁡n→+∞(2n4−n2−5)\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2n^4-n^2-5\right)n→+∞lim​(2n4−n2−5)
.
Solution
lim⁡n→+∞2n4=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}2n^4=+\inftyn→+∞lim​2n4=+∞
 et 
lim⁡n→+∞(−n2−5)=−∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(-n^2-5\right)=-\inftyn→+∞lim​(−n2−5)=−∞
On constate que nous avons affaire à une forme indéterminée.
On va donc appliquer la méthode proposée en mettant en facteur
n^4
(de façon générale, on choisit la plus grande puissance de`n` lorsque la suite est du type polynomiale).
Pour tout entier naturel
n≠0n \neq 0n=0
, on a : 
2n4−n2−5=n4(2n4n4−n2n4−5n4)2n^4-n^2-5=n^4\left(\displaystyle\frac{2n^4}{n^4}-\displaystyle\frac{n^2}{n^4}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)2n4−n2−5=n4(n42n4​−n4n2​−n45​)
soit 
2n4−n2−5=n4(2−1n2−5n4)2n^4-n^2-5=n^4\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)2n4−n2−5=n4(2−n21​−n45​)
.
Passons maintenant aux calculs de limites.
lim⁡n→+∞n4=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^4=+\inftyn→+∞lim​n4=+∞
et 
lim⁡n→+∞(2−1n2−5n4)=2\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)=2n→+∞lim​(2−n21​−n45​)=2
donc par produit
lim⁡n→+∞n4(2−1n2−5n4)=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n^4\left(2-\displaystyle\frac{1}{n^2}-\displaystyle\frac{5}{n^4}\right)=+\inftyn→+∞lim​n4(2−n21​−n45​)=+∞
.

✎ ☛ Lever une indétermination dans un quotient

Méthode
Pour lever une indétermination dans un quotient, il peut être judicieux defactoriser par le terme qui tend «le plus vite » vers l'infini au numérateur et le terme qui tend« le plus vite 
» vers l'infini au dénominateur. On simplifie ensuite la fraction, puis on utilise les règles sur les produits et quotients.
Énoncé 1Cas d'une suite définie par une fraction rationnelle
Déterminer
lim⁡n→+∞(3n−52n+4)\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{3n-5}{2n+4}\right)n→+∞lim​(2n+43n−5​)
.
Solution
lim⁡n→+∞(3n−5)=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3n-5\right)=+\inftyn→+∞lim​(3n−5)=+∞
 et 
lim⁡n→+∞(2n+4)=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2n+4\right)=+\inftyn→+∞lim​(2n+4)=+∞
On constate que nous avons affaire à une forme indéterminée.
On va donc appliquer la méthode proposée en mettant 
nnn
en facteur au numérateur et au dénominateur.
Pour tout entier naturel
n≠0n \neq 0n=0
, on a : 
3n−52n+4=n(3−5n)n(2+4n)\displaystyle\frac{3n-5}{2n+4}=\displaystyle\frac{n\left(3-\displaystyle\frac{5}{n}\right)}{n\left(2+\displaystyle\frac{4}{n}\right)}2n+43n−5​=n(2+n4​)n(3−n5​)​
3n−52n+4=3−5n2+4n\displaystyle\frac{3n-5}{2n+4}=\displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{5}{n}}{2+\displaystyle\frac{4}{n}}2n+43n−5​=2+n4​3−n5​​
Passons maintenant aux calculs de limites.
lim⁡n→+∞(3−5n)=3\lim\limits_{n \to +\infty}\left(3-\displaystyle\frac{5}{n}\right)=3n→+∞lim​(3−n5​)=3
et 
lim⁡n→+∞(2+4n)=2\lim\limits_{n \to +\infty}\left(2+\displaystyle\frac{4}{n}\right)=2n→+∞lim​(2+n4​)=2
w
Donc par quotient
lim⁡n→+∞(3−5n2+4n)=32\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{3-\displaystyle\frac{5}{n}}{2+\displaystyle\frac{4}{n}}\right)=\displaystyle\frac{3}{2}n→+∞lim​​2+n4​3−n5​​​=23​
.
Énoncé 2
Déterminer
lim⁡n→+∞(4n2−5n+86n−7)\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\displaystyle\frac{4n^2-5n+8}{6n-7}\right)n→+∞lim​(6n−74n2−5n+8​)
.
Solution
Pour tout entier naturel
n≠0n \neq 0n=0
, on a 
4n2+5n+86n−7=n2(4+5n+8n2)n(6−7n)\displaystyle\frac{4n^2+5n+8}{6n-7}=\displaystyle\frac{n^2\left(4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}\right)}{n\left(6-\displaystyle\frac{7}{n}\right)}6n−74n2+5n+8​=n(6−n7​)n2(4+n5​+n28​)​
4n2+5n+86n−7=n×4+5n+8n26−7n\displaystyle\frac{4n^2+5n+8}{6n-7}=n \times \displaystyle\frac{4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}}{6-\displaystyle\frac{7}{n}}6n−74n2+5n+8​=n×6−n7​4+n5​+n28​​
Passons maintenant aux calculs de limites.
lim⁡n→+∞n=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}n=+\inftyn→+∞lim​n=+∞
,
lim⁡n→+∞(4+5n+8n2)=4\lim\limits_{n \to +\infty}\left(4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}\right)=4n→+∞lim​(4+n5​+n28​)=4
 et 
lim⁡n→+∞(6−7n)=6\lim\limits_{n \to +\infty}\left(6-\displaystyle\frac{7}{n}\right)=6n→+∞lim​(6−n7​)=6
Donc par quotient et produit
lim⁡n→+∞(n×4+5n+8n26−7n)=+∞\lim\limits_{n \to +\infty}\left(n \times \displaystyle\frac{4+\displaystyle\frac{5}{n}+\displaystyle\frac{8}{n^2}}{6-\displaystyle\frac{7}{n}}\right)=+\inftyn→+∞lim​​n×6−n7​4+n5​+n28​​​=+∞
.