Appliquer

Dans chacun des cas suivants, déterminer si l'énoncé permet d'affirmer avec certitude que la suite

(u_n)

 converge.

1.Pour tout entier naturel

n

,

-1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n

.

2.Pour tout entier naturel

n

,

5 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1}

.

3.Pour tout entier naturel

n

,

u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 20

.

4.Pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 2

.

5.

(u_n)

 est une suite décroissante de réels positifs.

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite

(u_n)

.

1.

u_n=7-\displaystyle\frac{1}{n}

(

n \geqslant 1

)

2.

u_n=n^4+3n^2-1

3.

u_n=-2n^2-4n+3

4.

u_n=5\text{e}^n-\displaystyle\frac{2}{n^2}

(

n \geqslant 1

)

5.

u_n=-9\sqrt{n}+\displaystyle\frac{6}{n}

(

n \geqslant 1

)

6.

(u_n)

 est la suite arithmétique de premier terme

u_0=6

 et de raison

-10

.

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite

(u_n)

.

1.

u_n=\left(n^2+2n-3\right)\left(\displaystyle\frac{1}{n^3}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)

(

n \geqslant 1

)

2.

u_n=(3-n^3)(4-\text{e}^n)

3.

u_n=\left(n^5+\displaystyle\frac{3}{n^4}+1\right)(2\sqrt{n}-15)

(

n \geqslant 1

)

4.

u_n=\left(\displaystyle\frac{5}{n^2}-4\right)\left(2+\displaystyle\frac{1}{n}\right)

(

n \geqslant 1

)

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite

(u_n)

.

1.

u_n=\displaystyle\frac{9}{3n^2+2n-5}

(

n \geqslant 2

)

2.

u_n=\displaystyle\frac{3+\frac{2}{n}}{4+\frac{1}{\text{e}^n}}

(

n \geqslant 1

)

3.

u_n=\displaystyle\frac{4\text{e}^n}{\frac{5}{n}-7}

(

n \geqslant 1

)

4.

u_n=\displaystyle\frac{3n^2+6n-5}{2+\frac{1}{\sqrt{n}}}

(

n \geqslant 1

)

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite

(u_n)

.

1.

u_n=1,5^n

.

2.

u_n=0,4^n

.

3.

(u_n)

 est une suite géométrique de premier terme

u_0=4

 et de raison

-\displaystyle\frac{2}{3}

.

4.

(u_n)

 est une suite géométrique de premier terme

u_0=-10

 et de raison

\sqrt{2}

.

5.

u_n=\text{e}^{-n}

.

6.

u_n=150+30 \times 0,2^n

.

7.

u_n=200-10 \times 1,05^n

.

8.

u_n=5\times (-0,9)^n-12

.

1.On considère la suite

(u_n)

 définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_n=1+\displaystyle\frac{3}{7}+\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^2+\cdots+\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^n

.
    a.Calculer, pour tout entier naturel

n

, la valeur de

u_n

.b.Déterminer

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n

.

2.Mêmes questions que précédemment avec la suite

(v_n)

 définie, pour tout entier naturel

n

, par

v_n=1-\displaystyle\frac{2}{9}+\left(\displaystyle\frac{2}{9}\right)^2-\cdots+(-1)^n\times \left(\displaystyle\frac{2}{9}\right)^n

.

Étudier la limite de la suite

(u_n)

 dans chacun des cas suivants.

1. Pour tout entier naturel

n

,

u_n \geqslant 3n-5

.

2. Pour tout entier naturel

n

,

u_n \leqslant -n^3-5n-2

.

3. Pour tout entier naturel

n

,

u_n=4n^2+2\times(-1)^n

.

4. Pour tout entier naturel

n

,

u_n=-2n^4+5\cos(n)

.

Étudier la limite de la suite

(u_n)

 dans chacun des cas suivants.

1. Pour tout entier naturel

n

,

0 \leqslant u_n \leqslant 6 \times \left(\displaystyle\frac{1}{7}\right)^n

.

2. Pour tout entier naturel

n

 non nul,

u_n=\displaystyle\frac{\sin(n)}{n^2}

.

3. Pour tout entier naturel

n

,

u_n=\displaystyle\frac{4+2\cos(n)}{3n+5}

.

Convergence des suites monotones