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Dans chacun des cas suivants, déterminer si l'énoncé permet d'affirmer avec certitude que la suite

Sommaire

Convergence des suites monotonesLimites et opérations - Somme et produit par un réelLimites et opérations - ProduitsLimites et opérations - QuotientsLimites et opérations - Avec des suites géométriquesLimites et opérations - Avec une somme à calculerComparaison et limites infiniesThéorème des gendarmes

Convergence des suites monotones

Dans chacun des cas suivants, déterminer si l'énoncé permet d'affirmer avec certitude que la suite
(u_n)
 converge.
1.Pour tout entier naturel
n
,
−1⩽un+1⩽un-1 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n−1⩽un+1​⩽un​
.
2.Pour tout entier naturel
n
,
5⩽un⩽un+15 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1}5⩽un​⩽un+1​
.
3.Pour tout entier naturel
n
,
un⩽un+1⩽20u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 20un​⩽un+1​⩽20
.
4.Pour tout entier naturel
n
,
un+1⩽un⩽2u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 2un+1​⩽un​⩽2
.
5.
(u_n)
 est une suite décroissante de réels positifs.

Limites et opérations - Somme et produit par un réel

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite
(u_n)
.
1.
un=7−1nu_n=7-\displaystyle\frac{1}{n}un​=7−n1​
(
n⩾1n \geqslant 1n⩾1
)   
2.
u_n=n^4+3n^2-1
3.
u_n=-2n^2-4n+3
4.
un=5en−2n2u_n=5\text{e}^n-\displaystyle\frac{2}{n^2}un​=5en−n22​
  (
n⩾1n \geqslant 1n⩾1
)                               
5.
un=−9n+6nu_n=-9\sqrt{n}+\displaystyle\frac{6}{n}un​=−9n​+n6​
(
n⩾1n \geqslant 1n⩾1
)   
6.
(u_n)
 est la suite arithmétique de premier terme
u_0=6
 et de raison
-10
.

Limites et opérations - Produits

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite
(u_n)
.
1.
un=(n2+2n−3)(1n3−12)u_n=\left(n^2+2n-3\right)\left(\displaystyle\frac{1}{n^3}-\displaystyle\frac{1}{2}\right)un​=(n2+2n−3)(n31​−21​)
 (
n⩾1n \geqslant 1n⩾1
)                   
2.
u_n=(3-n^3)(4-\text{e}^n)
3.
un=(n5+3n4+1)(2n−15)u_n=\left(n^5+\displaystyle\frac{3}{n^4}+1\right)(2\sqrt{n}-15)un​=(n5+n43​+1)(2n​−15)
 (
n⩾1n \geqslant 1n⩾1
) 
4.
un=(5n2−4)(2+1n)u_n=\left(\displaystyle\frac{5}{n^2}-4\right)\left(2+\displaystyle\frac{1}{n}\right)un​=(n25​−4)(2+n1​)
 (
n⩾1n \geqslant 1n⩾1
) 

Limites et opérations - Quotients

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite
(u_n)
.
1.
un=93n2+2n−5u_n=\displaystyle\frac{9}{3n^2+2n-5}un​=3n2+2n−59​
  (
n⩾2n \geqslant 2n⩾2
)                   
2.
un=3+2n4+1enu_n=\displaystyle\frac{3+\frac{2}{n}}{4+\frac{1}{\text{e}^n}}un​=4+en1​3+n2​​
 (
n⩾1n \geqslant 1n⩾1
)      
3.
un=4en5n−7u_n=\displaystyle\frac{4\text{e}^n}{\frac{5}{n}-7} un​=n5​−74en​
  (
n⩾1n \geqslant 1n⩾1
)   
4.
un=3n2+6n−52+1nu_n=\displaystyle\frac{3n^2+6n-5}{2+\frac{1}{\sqrt{n}}}un​=2+n​1​3n2+6n−5​
  (
n⩾1n \geqslant 1n⩾1
) 

Limites et opérations - Avec des suites géométriques

Dans chacun des cas suivants, calculer la limite de la suite
(u_n)
.
1.
u_n=1,5^n
.                                            
2.
u_n=0,4^n
.
3.
(u_n)
 est une suite géométrique de premier terme
u_0=4
 et de raison
−23-\displaystyle\frac{2}{3}−32​
.
4.
(u_n)
 est une suite géométrique de premier terme
u_0=-10
 et de raison
2\sqrt{2}2​
.
5.
u_n=\text{e}^{-n}
.
6. 
u_n=150+30 \times 0,2^n
.
7. 
u_n=200-10 \times 1,05^n
.
8. 
u_n=5\times (-0,9)^n-12
.

Limites et opérations - Avec une somme à calculer

1.On considère la suite
(u_n)
 définie, pour tout entier naturel
n
, par
un=1+37+(37)2+⋯+(37)nu_n=1+\displaystyle\frac{3}{7}+\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^2+\cdots+\left(\displaystyle\frac{3}{7}\right)^nun​=1+73​+(73​)2+⋯+(73​)n
.
    a.Calculer, pour tout entier naturel
nnn
, la valeur de
unu_nun​
.b.Déterminer
lim⁡n→+∞un\lim\limits_{n \to +\infty}u_nn→+∞lim​un​
.
2.Mêmes questions que précédemment avec la suite
(v_n)
 définie, pour tout entier naturel
n
, par
vn=1−29+(29)2−⋯+(−1)n×(29)nv_n=1-\displaystyle\frac{2}{9}+\left(\displaystyle\frac{2}{9}\right)^2-\cdots+(-1)^n\times \left(\displaystyle\frac{2}{9}\right)^nvn​=1−92​+(92​)2−⋯+(−1)n×(92​)n
.

Comparaison et limites infinies

Étudier la limite de la suite
(u_n)
 dans chacun des cas suivants.
1. Pour tout entier naturel
n
,
un⩾3n−5u_n \geqslant 3n-5un​⩾3n−5
.
2. Pour tout entier naturel
n
,
un⩽−n3−5n−2u_n \leqslant -n^3-5n-2un​⩽−n3−5n−2
.
3. Pour tout entier naturel
n
,
u_n=4n^2+2\times(-1)^n
.
4. Pour tout entier naturel
n
,
u_n=-2n^4+5\cos(n)
.

Théorème des gendarmes

Étudier la limite de la suite
(u_n)
 dans chacun des cas suivants.
1. Pour tout entier naturel
n
,
0⩽un⩽6×(17)n0 \leqslant u_n \leqslant 6 \times \left(\displaystyle\frac{1}{7}\right)^n0⩽un​⩽6×(71​)n
.
2. Pour tout entier naturel
n
 non nul,
un=sin⁡(n)n2u_n=\displaystyle\frac{\sin(n)}{n^2}un​=n2sin(n)​
.
3. Pour tout entier naturel
n
,
un=4+2cos⁡(n)3n+5u_n=\displaystyle\frac{4+2\cos(n)}{3n+5}un​=3n+54+2cos(n)​
.