Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique. Au début de l’étude, la population est de
insectes. Pour préserver l’équilibre du milieu naturel, le nombre d’insectes ne doit pas dépasser
.
Partie A - Étude d’un premier modèle en laboratoire
L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de
chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite
où, pour tout entier naturel
,
modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de
mois.
On a donc
.
1.Justifier que, pour tout entier naturel
:
.
2.Déterminer la limite de la suite
.
3.Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.
Partie B - Étude d’un second modèle
En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite
, définie par :
et, pour tout entier naturel
,
, où, pour tout entier naturel
,
est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de
mois.
1.Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.
2.On considère la fonction
définie sur l’intervalle
par
.
a.Résoudre l’équation
.b.Montrer que la fonction
est croissante sur l’intervalle
.
3. a.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
,
.b.Montrer que la suite
est convergente.
On note
la valeur de sa limite. On admet que
est solution de l’équation
.c.Déterminer la valeur de
. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.
4.On donne ci-dessous la fonction seuil, écrite en langage Python.
a. Qu’observe-t-on si on saisit seuil(0.4)
\(\)
? b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0.35). Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
Métropole, septembre 2021
Soit
la fonction définie sur l’intervalle
par :
.
On considère la suite
définie par
et, pour tout entier naturel
,
.
1.Calculer
.
2.On admet que la fonction
est croissante sur l’intervalle
.
a.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel
, on a :
.
b.En déduire que la suite
est convergente.
c.On appelle
la limite de la suite
. Déterminer la valeur de
.
3. a.Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif
, détermine la plus petite valeur
tel que :
.
b.Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où
.
4.On considère la suite
définie, pour tout entier naturel
, par
.
a.Montrer que la suite
est géométrique de raison
. En déduire, pour tout entier naturel
, l’expression de
en fonction de
.b.Démontrer que, pour tout entier naturel
, on a :
.c.Montrer alors que, pour tout entier naturel
, on a :
. Retrouver par le calcul la limite de la suite
.
Amérique du Nord, mai 2022
Dans cet exercice, on considère la suite
définie par :
et, pour tout entier naturel
,
.
1. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
,
.b.Vérifier que, pour tout entier naturel
,
. En déduire le sens de variation de la suite
.c.Conclure de ce qui précède que la suite
est convergente. Justifier.
2.Pour tout entier naturel
, on pose :
.a.Montrer que la suite
est une suite géométrique dont on précisera la raison.b.En déduire que, pour tout entier naturel
,
.c.Calculer la limite de la suite
.
3.Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution de la température au centre d’un gâteau après sa sortie du four.
On considère qu’à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de
et celle de l’air ambiant de
.
La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente
. Plus précisément,
représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius,
minutes après sa sortie du four.
a.Expliquer pourquoi la limite de la suite
déterminée à la question2.c.était prévisible dans le contexte de l’exercice.b.On considère la fonction Python ci-dessous :
Donner le résultat obtenu en exécutant la commande temp(120). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
La Réunion, mars 2023
On considère la suite \((u_n)\)définie par
et, pour tout entier naturel
, \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}n+1\).
Partie A
Cette partie est un questionnaire à choix multiples.Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.Une réponse fausse, une absence de réponse ou une réponse multiple ne rapporte ni n’enlève de point.
1. La valeur de \(u_2\)est égale à :
2. La suite \((v_n)\)définie, pour tout entier naturel
, par
est :
\qquad\begin{array} &\textbf{a.}\,\textrm{arithmétique de raison}\;{\dfrac{1}{2}} & & & & \textbf{b.}\;\textrm{géométrique de raison}{\dfrac{1}{2}} \\ \\\textbf{c.}\;\textrm{constante.} & & & & \textbf{d.}\;\textrm{ni arithmétique, ni géométrique}. \end{array}
3. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python.\(n\) désigne un entier naturel non nul.On rappelle qu’en langage Python « \(\text{i in range (n)}\)» signifie que
varie de
à
.
Pour que le terme \((n)\)renvoie la valeur de
, on peut compléter la ligne 4 par :
Partie B
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\):
.
2. En déduire la limite de la suite\((u_n)\).
3. Déterminer la limite de la suite \(\left(\dfrac{u_n}{n}\right)\).
QCM posé au BAC
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
1.On considère une suite
telle que, pour tout entier naturel, on a :
.
On peut affirmer que la suite
:
\qquad\begin{array} &\textbf{a.}\;\textrm{converge vers 2}\,{;} & & & & \textbf{b.}\;\textrm{converge vers 1}\,{;} \\ \\\textbf{c.}\;\textrm{diverge vers}\;\mathrm{+\infty}\,{;} & & & & \textbf{d.}\;\textrm{n'a pas de limite}. \end{array}
2.On considère une suite
telle que, pour tout entier naturel
non nul :
.
On peut alors affirmer que :
\qquad\begin{array} &\textbf{a.}\;\textrm{la suite}\, {(u_n)}\, \textrm{diverge}\,{;} & & & & \textbf{b.}\;\textrm{la suite}\, {(u_n)}\, \textrm{converge}\,{;} \\ \\\textbf{c.}\;{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty }u_n=0}\,{;} & & & & \textbf{d.}\;{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n=1}. \end{array}
3.On considère la suite
définie pour tout
dans
par :
.
La limite de la suite
est égale à :
En lien avec les probabilités - Polynésie, mars 2023 (partiel)
Chaque jour, un athlète doit sauter une haie à la fin de l’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :
• si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans
des cas le jour suivant ;
• si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans
des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
On note pour tout entier naturel
:
l’événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la
séance » ;
la probabilité de l’événement
. On considère que
.
1.Soit
un entier naturel. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.
2.Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel
, on a :
.
3.On considère la suite
définie, pour tout entier naturel
, par
.a.Démontrer que la suite
est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.b.Démontrer que, pour tout entier
naturel
:
.c.En déduire que la suite
est convergente et déterminer sa limite
.d.Interpréter la valeur de
dans le cadre de l’exercice.