Quizéo

Des biologistes étudient l’évolution d’une population d’insectes dans un jardin botanique. Au début de l’étude, la population est de 

100\,000

insectes. Pour préserver l’équilibre du milieu naturel, le nombre d’insectes ne doit pas dépasser

400\,000

.

Partie A - Étude d’un premier modèle en laboratoire

L’observation de l’évolution de ces populations d’insectes en laboratoire, en l’absence de tout prédateur, montre que le nombre d’insectes augmente de 

60\,\%

 chaque mois.
En tenant compte de cette observation, les biologistes modélisent l’évolution de la population d’insectes à l’aide d’une suite 

(u_n)

où, pour tout entier naturel

n

,

u_n

 modélise le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de 

n

mois.
On a donc 

u_0=0,1

.

1.Justifier que, pour tout entier naturel 

n

:

u_n=0,1\times1,6^n

.

2.Déterminer la limite de la suite

(u_n)

.

3.Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel serait-il préservé ? Justifier la réponse.

Partie B - Étude d’un second modèle

En tenant compte des contraintes du milieu naturel dans lequel évoluent les insectes, les biologistes choisissent une nouvelle modélisation.
Ils modélisent le nombre d’insectes à l’aide de la suite

(v_n)

, définie par : 

v_0=0,1

 et, pour tout entier naturel

n

,

v_{n+1}=1,6v_n-1,6v^2_n

, où, pour tout entier naturel

n

,

v_n

est le nombre d’insectes, exprimé en millions, au bout de 

n

mois.

1.Déterminer le nombre d’insectes au bout d’un mois.

2.On considère la fonction 

f

définie sur l’intervalle

\left[0\,; \dfrac{1}{2} \right]

par

f (x) = 1, 6x - 1, 6x^2

.
    a.Résoudre l’équation

f (x) = x

.b.Montrer que la fonction 

f

est croissante sur l’intervalle

\left[0\,; \dfrac{1}{2} \right]

.

3. a.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

,

0\leqslant v_n\leqslant v_{n+1}\leqslant \dfrac{1}{2}

.b.Montrer que la suite 

(v_n)

est convergente.
On note 

\ell

la valeur de sa limite. On admet que 

\ell

est solution de l’équation

f(x)=x

.c.Déterminer la valeur de

\ell

. Selon ce modèle, l’équilibre du milieu naturel sera-t-il préservé ? Justifier la réponse.

4.On donne ci-dessous la fonction seuil, écrite en langage Python.

\begin{array}{| l| } \hline \text{def seuil(a) : } \\ \qquad \text{v=0.1} \\\qquad \text{n=0 } \\ \qquad\text{while v<a :} \\\qquad\qquad\text{v=1.6*v-1.6*v*v}\\\qquad\qquad\text{n=n+1}\\\qquad\text{return n} \\ \hline \end{array}

    a. Qu’observe-t-on si on saisit seuil(0.4)
\(\)
 ?    b. Déterminer la valeur renvoyée par la saisie de seuil(0.35). Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Métropole, septembre 2021

Soit 

f

la fonction définie sur l’intervalle 

\left] -\dfrac{1}{3} \;; +\infty \right[

par : 

f(x)=\dfrac{4x}{1+3x}

.

On considère la suite 

(u_n)

définie par 

u_0 = \dfrac{1}{2}

et, pour tout entier naturel

n

,

u_{n+1} = f (u_n)

.

1.Calculer

u_1

.

2.On admet que la fonction 

f

est croissante sur l’intervalle

\left] \dfrac{1}{3} \;; +\infty \right[

.
    a.Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

, on a :

\dfrac{1}{2}\leqslant u_n\leqslant {u_{n+1}}\leqslant 2

.
    b.En déduire que la suite

(u_n)

 est convergente.
    c.On appelle 

\ell

la limite de la suite

(u_n)

. Déterminer la valeur de

\ell

.

3. a.Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif

E

, détermine la plus petite valeur 

P

tel que :

1 - u_P < E

.

\begin{array}{| l| } \hline \text{def seuil(E) : }\\\quad \text{u = 0,5} \\ \quad \text{n = 0 } \\ \quad\text{while .....................} \\\qquad \text{u = ......................} \\\qquad \text{n = n + 1}\\\quad \text{return u} \\ \hline \end{array}

    b.Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où

E=10^{-4}

.

4.On considère la suite 

(v_n)

définie, pour tout entier naturel

n

, par 

v_n= \dfrac{u_n}{1-u_n}

.
    a.Montrer que la suite

(v_n)

 est géométrique de raison

4

. En déduire, pour tout entier naturel

n

, l’expression de 

v_n

en fonction de

n

.b.Démontrer que, pour tout entier naturel

n

, on a :

u_n= \dfrac{v_n}{v_n+1}

.c.Montrer alors que, pour tout entier naturel 

n

, on a : 

u_n=\dfrac{1}{1+0,25^n}

. Retrouver par le calcul la limite de la suite

(u_n)

.

Amérique du Nord, mai 2022

Dans cet exercice, on considère la suite 

(T_n)

définie par : 

T_0=180

 et, pour tout entier naturel

n

,

T_{n+1}=0,955T_n+0,9

.

1. a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel

n

,

T_n\geqslant20

.b.Vérifier que, pour tout entier naturel

n

,

T_{n+1}-T_n=-0,045(T_n-20)

. En déduire le sens de variation de la suite

(T_n)

.c.Conclure de ce qui précède que la suite 

(T_n)

est convergente. Justifier.

2.Pour tout entier naturel

n

, on pose :

u_n=T_n-20

.a.Montrer que la suite 

(u_n)

est une suite géométrique dont on précisera la raison.b.En déduire que, pour tout entier naturel

n

,

T_n=20+160\times0,955^n

.c.Calculer la limite de la suite

(T_n)

.

3.Dans cette partie, on s’intéresse à l’évolution de la température au centre d’un gâteau après sa sortie du four.
On considère qu’à la sortie du four, la température au centre du gâteau est de 

180\;^\circ\!C

et celle de l’air ambiant de 

20\;^\circ\!C

.
La loi de refroidissement de Newton permet de modéliser la température au centre du gâteau par la suite précédente

(T_n)

. Plus précisément, 

T_n

représente la température au centre du gâteau, exprimée en degré Celsius, 

n

minutes après sa sortie du four.
    a.Expliquer pourquoi la limite de la suite 

(Tn)

déterminée à la question2.c.était prévisible dans le contexte de l’exercice.b.On considère la fonction Python ci-dessous :

\begin{array}{| l| } \hline \text{def temp(x) : } \\ \quad \text{T=180} \\\quad \text{n=0} \\ \quad\text{while T > x :} \\\quad\quad\text{T=0.955*T+0.9}\\\quad\quad\text{n=n+1}\\\quad\text{return n} \\ \hline \end{array}

Donner le résultat obtenu en exécutant la commande temp(120). Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

La Réunion, mars 2023

On considère la suite \((u_n)\)définie par 

u_0=3

et, pour tout entier naturel

n

, \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+\dfrac{1}{2}n+1\).

Partie A

Cette partie est un questionnaire à choix multiples.Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée.Une réponse fausse, une absence de réponse ou une réponse multiple ne rapporte ni n’enlève de point.

1. La valeur de \(u_2\)est égale à :

\qquad\begin{matrix} \mathbf{a.\,}{\dfrac{11}{4}} & & & & & & \mathbf{b.\,}{\dfrac{13}{2}} \\ & & \\ \mathbf{c.\,}3,5 & & & & & & \mathbf{d.\,}2,7 \end{matrix}

 2. La suite \((v_n)\)définie, pour tout entier naturel

n

, par 

v_n=u_n-n

est :

\qquad\begin{array} &\textbf{a.}\,\textrm{arithmétique de raison}\;{\dfrac{1}{2}} & & & & \textbf{b.}\;\textrm{géométrique de raison}{\dfrac{1}{2}} \\ \\\textbf{c.}\;\textrm{constante.} & & & & \textbf{d.}\;\textrm{ni arithmétique, ni géométrique}. \end{array}

3. On considère la fonction ci-dessous, écrite de manière incomplète en langage Python.\(n\) désigne un entier naturel non nul.On rappelle qu’en langage Python « \(\text{i in range (n)}\)» signifie que 

i

varie de 

0

à

n-1

.

\begin{array}{| l| } \hline 1 & \text{def terme (n) } \\ 2 & \qquad\; \text{U=3} \\ 3 &\qquad\; \text{for i in range(n): } \\ 4 &\text{.........} \\ 5 &\qquad\;\text{return u} \\ \hline \end{array}

Pour que le terme \((n)\)renvoie la valeur de

u_n

, on peut compléter la ligne 4 par :

\qquad \begin{matrix} \mathbf{a.}\;\mathrm{U=U/2+(i+1)/2+1} & & & & \mathbf{b.}\;\mathrm{U=U/2+n/2+1} \\ & & \\ \mathbf{c.}\;\mathrm{U=U/2+(i-1)/2+1} & & & & \mathbf{d.\,} \mathrm{U=U/2+i/2+1}\end{matrix}

Partie B

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\): 

n \leqslant u_n \leqslant n + 3

.

2. En déduire la limite de la suite\((u_n)\).

3. Déterminer la limite de la suite \(\left(\dfrac{u_n}{n}\right)\).

QCM posé au BAC

Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

1.On considère une suite 

(u_n)

telle que, pour tout entier naturel, on a : 

\displaystyle 1 + \left( \dfrac{1}{4} \right)^n \leqslant u_n\leqslant 2 - \dfrac{n}{n+1}

.
On peut affirmer que la suite 

(u_n)

:

\qquad\begin{array} &\textbf{a.}\;\textrm{converge vers 2}\,{;} & & & & \textbf{b.}\;\textrm{converge vers 1}\,{;} \\ \\\textbf{c.}\;\textrm{diverge vers}\;\mathrm{+\infty}\,{;} & & & & \textbf{d.}\;\textrm{n'a pas de limite}. \end{array}

2.On considère une suite 

(u_n)

telle que, pour tout entier naturel 

n

non nul :

u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac{1}{n}

.
On peut alors affirmer que :

\qquad\begin{array} &\textbf{a.}\;\textrm{la suite}\, {(u_n)}\, \textrm{diverge}\,{;} & & & & \textbf{b.}\;\textrm{la suite}\, {(u_n)}\, \textrm{converge}\,{;} \\ \\\textbf{c.}\;{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty }u_n=0}\,{;} & & & & \textbf{d.}\;{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}u_n=1}. \end{array}

3.On considère la suite 

(a_n)

définie pour tout 

n

dans 

\mathbb{N}

par :

a_n=\dfrac{1-3^n}{1+2^n}

.
La limite de la suite 

(a_n)

est égale à :

\qquad\begin{matrix} \mathbf{a.}\;{-\infty} & & & & \mathbf{b.}\;{=-1} & & & &\mathbf{c.}\,=1 & & & & \mathbf{d.\,}\;{+\infty} \end{matrix}

En lien avec les probabilités - Polynésie, mars 2023 (partiel)

Chaque jour, un athlète doit sauter une haie à la fin de l’entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente, que :

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si l’athlète franchit la haie un jour, alors il la franchira dans 

90\,\%

des cas le jour suivant ;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;si l’athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans 

70\,\%

des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.

On note pour tout entier naturel 

n

:

R_n

 l’événement : « L’athlète réussit à franchir la haie lors de la 

n^{ieme}

séance » ;

p_n

 la probabilité de l’événement

R_n

. On considère que

p_0=0,6

.

1.Soit 

n

un entier naturel. Recopier l’arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

2.Justifier en vous aidant de l’arbre que, pour tout entier naturel

n

, on a : 

p_{n+1}=0,6p_n+0,3

.

3.On considère la suite 

(u_n)

définie, pour tout entier naturel

n

, par

u_n=p_n-0,75

.a.Démontrer que la suite 

(u_n)

est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.b.Démontrer que, pour tout entier 

n

naturel 

n

:

p_n=0,75-0,15\times0,6^n

.c.En déduire que la suite 

(p_n)

est convergente et déterminer sa limite

\ell

.d.Interpréter la valeur de 

\ell

dans le cadre de l’exercice.

Les perles du BAC

Métropole, mars 2023

Métropole, septembre 2021

Amérique du Nord, mai 2022

La Réunion, mars 2023

QCM posé au BAC

En lien avec les probabilités - Polynésie, mars 2023 (partiel)