Opérations, comparaison et composition

Limite d'une somme de fonctions

Propriété

Soit

f

et

g

 deux fonctions. On s'intéresse à la limite de la fonction

f+g

.

\alpha

 désigne 

-\infty

,

+\infty

 ou un réel.

FIsignifieFormeIndéterminée.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R} & +\infty & \color{red}{+\infty} & -\infty\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)} & \ell_2 \in \mathbb{R} & +\infty & -\infty & +\infty & \color{red}{-\infty} & -\infty\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}(f+g)(x)} & \ell_1+\ell_2 & +\infty & -\infty & +\infty & \color{red}{\textbf{FI}} & -\infty \\ \hline \end{array}

Énoncé

Déterminer les limites suivantes : 

\lim\limits_{x \to -\infty}(x^2-2x+7)

et

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}\left(x^3+\displaystyle\frac{1}{x}\right)

.

Solution

\lim\limits_{x \to -\infty}x^2=+\infty

et

\lim\limits_{x \to -\infty}(-2x+7)=+\infty

donc par somme

\lim\limits_{x \to -\infty}(x^2-2x+7)=+\infty

.

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\}}x^3=0

 donc

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}x^3=0

et

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}\displaystyle\frac{1}{x}=-\infty

donc par somme

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x<0}}\left(x^3+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=-\infty

.

Limite d'un produit de fonctions

Propriété

Soit

f

et

g

 deux fonctions. On s'intéresse à la limite de la fonction

f \times g

.

\alpha

 désigne 

-\infty

,

+\infty

 ou un réel.

FIsignifieFormeIndéterminée.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R}, \ell\neq 0 & \pm \infty & \color{red}{\pm \infty} \\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)} & \ell_2 \in \mathbb{R} & \pm \infty & \pm \infty & \color{red}{0}\\ \hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}(f \times g)(x)} & \ell_1\times \ell_2 & \pm \infty \text{ (règle des signes)} & \pm \infty \text{( règle des signes)} & \color{red}{\textbf{FI}} \\ \hline \end{array}

Énoncé

Déterminerles limites suivantes : 

\lim\limits_{x \to -\infty}(-10x^5)

et

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left[\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(5x^2-7\right)\right]

.

Solution

\lim\limits_{x \to -\infty}(-10)=-10

et

\lim\limits_{x \to -\infty}x^5=-\infty

donc par produit

\lim\limits_{x \to -\infty}(-10x^5)=+\infty

.

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=+\infty

et

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left(5x^2-7\right)=-7

donc par produit

\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x>0}}\left[\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)\left(5x^2-7\right)\right]=-\infty

.

Limite d'un quotient de fonctions

Propriété

Soit

f

et

g

deux fonctions telles que la fonction

g

 ne s'annule pas. On s'intéresse à la limite dela fonction

f/g

.

\alpha

 désigne

-\infty

,

+\infty

 ou un réel.

FIsignifieFormeIndéterminée.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)} & \ell_1 \in \mathbb{R} & \ell \in \mathbb{R},\ \ell\neq 0 & \ell \in \mathbb{R} & \pm \infty & \color{red}{0} & \color{red}{\pm \infty} \\\hline \boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)} & \ell_2 \in \mathbb{R},\ \ell_2\neq 0 & 0 & \pm \infty & \ell \in \mathbb{R} & \color{red}{0} & \color{red}{\pm \infty}\\\hline & & & & & &\\\boldsymbol{\lim\limits_{x \to \alpha}\displaystyle\frac{f}{g}(x)} & \displaystyle\frac{\ell_1}{\ell_2} & \pm \infty \text{(règle des signes)} & 0 & \pm \infty \text{(règle des signes)} & \color{red}{\textbf{FI}} & \color{red}{\textbf{FI}} \\ & & & & & &\\ \hline\end{array}

Remarque

Les résultats de lacolonne 3, et de la colonne 5dans le cas où 

\ell =0

, ne s'appliquent que lorsque la fonction

g

 est de signe constant au voisinage de

\alpha

.

Énoncé

Déterminerles limites suivantes :

\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{2}{x^2+1}

et

\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}\displaystyle\frac{1-x}{4-2x}

.

Solution

\lim\limits_{x \to -\infty}2=2

et

\lim\limits_{x \to -\infty}(x^2+1)=+\infty

donc par quotient

\lim\limits_{x \to -\infty}\displaystyle\frac{2}{x^2+1}=0

.

\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}(1-x)=-1

.

\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}(4-2x)=0

.Comme

4-2x

 se trouve au dénominateur, il est important devérifier que, lorsque

x

 tend vers

2

 par valeurs supérieures,

4-2x

 est de signe constant.

x \mapsto 4-2x

 est une fonction affine qui s'annule en

x=2

.Son tableau de signes est le suivant.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Lorsque

x

 tend vers

2

 par valeurs supérieures,

4-2x

estnégatif, on écrira alors que 

\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}(4-2x)=0^-

donc, par quotient, en appliquant la règle des signes, 

\lim\limits_{\substack{x \to 2 \\ x>2}}\displaystyle\frac{1-x}{4-2x}=+\infty

.

Théorème de comparaison

Dans cette perle, 

\alpha

désigne

-\infty

,

+\infty

 ou un réel.

Théorème

Soit `f`et 

g

deux fonctions telles que, au voisinage de 

\alpha

, on a

f(x) \leqslant g(x)

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si

\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=+\infty

, alors

\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=+\infty

.

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;Si

\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=-\infty

, alors

\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=-\infty

.

Énoncé

On considère une fonction

f

 définie sur

\mathbb{R}

ettelle que, pour tout réel

x \in [0\ ;+\infty[

,

f(x)\geqslant \sqrt{x}

.
Déterminer

\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)

.

Solution

\lim\limits_{x \to +\infty}\sqrt{x}=+\infty

 donc, d'après le théorème de comparaison,

\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty

.

Théorème des gendarmes

Dans cette perle, 

\alpha

désigne

-\infty

,

+\infty

 ou un réel.

Théorème des gendarmes

Soit 

f

,

g

et

h

 trois fonctions telles que :

f(x) \leqslant g(x) \leqslant h(x)

 auvoisinage de 

\alpha

;

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;•&nbsp;il existe 

\ell \in \mathbb{R}

tel que 

\lim\limits_{x \to \alpha}f(x)=\ell

et

\lim\limits_{x \to \alpha}h(x)=\ell

;

alors 

\lim\limits_{x \to \alpha}g(x)=\ell

.

Énoncé

Déterminerla limite suivante : 

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x}\right)

.

Solution

Pour tout réel

x, \ -1 \leqslant \sin(x^2) \leqslant 1

.
Pour tout réel

x>0, \ -\displaystyle\frac{1}{x} \leqslant \displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x} \leqslant \displaystyle\frac{1}{x}

.
Enfin, pour tout réel

x>0, \ 1-\displaystyle\frac{1}{x} \leqslant 1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x} \leqslant 1+\displaystyle\frac{1}{x}

.

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1-\displaystyle\frac{1}{x}\right)=1

et

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{1}{x}\right)=1

 donc, d'après le théorème des gendarmes,

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x}\right)=1

.

Remarque

D'après le résultat précédent, la courbe représentativede la fonction

f

 définie sur

[1\ ;+\infty[

par

f(x)=1+\displaystyle\frac{\sin(x^2)}{x}

 admet une asymptote horizontale d'équation

y=1

 au voisinage de

+\infty

.

Opérations, comparaison et composition

Limites et opérations

Limite d'une somme de fonctions

Limite d'un produit de fonctions

Limite d'un quotient de fonctions

Limites et ordre

Théorème de comparaison

Théorème des gendarmes

Limite et composée

Limite d'une fonction composée